Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Propiedad de intersección finita

En general, la topología , una rama de las matemáticas , una familia A {\displaystyle {\mathcal {A}}} de subconjuntos de un conjunto incógnita {\displaystyle X} Se dice que tien...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En general, la topología , una rama de las matemáticas , una familiaA{\displaystyle {\mathcal {A}}}de subconjuntos de un conjuntoincógnita{\displaystyle X}Se dice que tiene la propiedad de intersección finita (FIP) si cualquier subfamilia finita deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}tiene intersección no vacía . Tiene la propiedad de intersección finita fuerte (SFIP) si cualquier subfamilia finita tiene intersección infinita. Los conjuntos con la propiedad de intersección finita también se denominan sistemas centrados y subbases de filtro . [ 1 ]

La propiedad de intersección finita puede utilizarse para reformular la compacidad topológica en términos de conjuntos cerrados ; esta es su aplicación más destacada. Otras aplicaciones incluyen demostrar que ciertos conjuntos perfectos son incontables y la construcción de ultrafiltros .

Definición

Dejarincógnita{\displaystyle X}ser un conjunto yA{\displaystyle {\mathcal {A}}}una familia de subconjuntos deincógnita{\displaystyle X}(un subconjunto del conjunto potencia deincógnita{\displaystyle X}). EntoncesA{\displaystyle {\mathcal {A}}}Se dice que tiene la propiedad de intersección finita si la intersección de un número finito de subconjuntos deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}siempre es no vacío; se dice que tiene la propiedad de intersección finita fuerte si esa intersección es siempre infinita. [ 1 ]

En el estudio de los filtros , la intersección de una familia de conjuntos se llama su núcleo . Las familias con núcleo vacío se llaman libres ; las que tienen núcleo no vacío, fijas . [ 2 ]

Ejemplos y contraejemplos

El conjunto vacío no puede pertenecer a ninguna familia con la propiedad de intersección finita.

SiA{\displaystyle {\mathcal {A}}}tiene un núcleo no vacío, entonces tiene la propiedad de intersección finita trivialmente. Lo contrario es falso en general (aunque se cumple trivialmente cuandoA{\displaystyle {\mathcal {A}}}es finito). Por ejemplo, la familia de todos los subconjuntos cofinitos de un conjunto infinito fijo —el filtro de Fréchet— tiene la propiedad de intersección finita, aunque su núcleo sea vacío. De forma más general, cualquier filtro propio tiene la propiedad de intersección finita.

La propiedad de intersección finita es estrictamente más fuerte que requerir que la intersección por pares no sea vacía, por ejemplo, la familia{{1,2},{2,3},{1,3}}{\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}}tiene intersecciones por pares no vacías, pero no posee la propiedad de intersección finita. De manera más general, seanorte{\displaystyle n}Sea un número natural, seaincógnita{\displaystyle X}ser un conjunto connorte{\displaystyle n}elementos y dejarA{\displaystyle {\mathcal {A}}}consta de aquellos subconjuntos deincógnita{\displaystyle X}que contienen todos los elementos menos uno. Entonces la intersección de menos denorte{\displaystyle n}subconjuntos deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}tiene una intersección no vacía, peroA{\displaystyle {\mathcal {A}}}carece de la propiedad de intersección finita.

Construcciones de tipo extremo

SiA0⊇A1⊇A2⋯{\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\cdots }es una secuencia decreciente de conjuntos no vacíos, entonces la familiaA={A0,A1,A2,…}{\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \right\}}tiene la propiedad de intersección finita (e incluso es un sistema π ). Si cadaAi{\displaystyle A_{i}}es infinito, entoncesA{\textstyle {\mathcal {A}}}También admite la propiedad de intersección finita fuerte.

De manera más general, cualquier familia de conjuntos no vacíos que esté totalmente ordenada por inclusión tiene la propiedad de intersección finita, y cualquier familia de conjuntos infinitos que esté totalmente ordenada por inclusión tiene la propiedad de intersección finita fuerte. Al mismo tiempo, el núcleo puede ser vacío: considérese la familia de subconjuntos[a,+∞){\displaystyle [a,+\infty )}paraa∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }.

Conjuntos y propiedades "genéricos"

La familia de todos los subconjuntos de Borel de[0,1]{\displaystyle [0,1]}con medida de Lebesgue 1 tiene la propiedad de intersección finita, al igual que la familia de conjuntos comeagre . [ 3 ] [ 4 ]

Siincógnita=(0,1){\displaystyle X=(0,1)}y, para cada entero positivoi{\displaystyle i}, el subconjuntoincógnitai{\displaystyle X_{i}}es precisamente todos los elementos deincógnita{\displaystyle X}que tiene dígito0{\displaystyle 0}en eli{\displaystyle i}lugar decimal , entonces cualquier intersección finita deincógnitai{\displaystyle X_{i}}no está vacío  , solo toma0{\displaystyle 0}en esos pocos lugares y1{\displaystyle 1}en el resto. Pero la intersección deincógnitai{\displaystyle X_{i}}a pesar dei≥1{\displaystyle i\geq 1}está vacío, ya que ningún elemento de(0,1){\displaystyle (0,1)}tiene todos los dígitos cero.

Filtros y topologías generados

SiK⊆incógnita{\displaystyle K\subsetequ X}es un conjunto no vacío, entonces la familiaA={S⊆incógnita:K⊆S}{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}}tiene el FIP; esta familia se llama filtro principal enincógnita{\textstyle X}generado porK{\textstyle K}. El subconjuntoB={I⊆R:K⊆I y I un intervalo abierto}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ y }}I{\text{ un intervalo abierto}}\}}tiene el FIP por una razón muy similar: los núcleos contienen el conjunto no vacíoK{\textstyle K}. SiK{\textstyle K}es un intervalo abierto, entonces el conjuntoK{\textstyle K}es de hecho igual a los núcleos deA{\textstyle {\mathcal {A}}}oB{\textstyle {\mathcal {B}}}y , por lo tanto, es un elemento de cada filtro. Pero, en general, el núcleo de un filtro no tiene por qué ser un elemento del filtro.

Un filtro adecuado posee la propiedad de intersección finita. Cada subbase de vecindad en un punto de un espacio topológico posee la propiedad de intersección finita, y lo mismo ocurre con cada base de vecindad y cada filtro de vecindad en un punto (porque cada uno es, en particular, también una subbase de vecindad).

Relación con los sistemas π y los filtros

Un sistema π es una familia de conjuntos que es cerrada bajo intersecciones finitas de uno o más de sus conjuntos. Para una familia de conjuntos ⁠A{\displaystyle {\mathcal {A}}}⁠ , la familia de conjuntosπ(A)={A1∩⋯∩Anorte:1≤norte<∞ y A1,…,Anorte∈A},{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ y }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\},}que son todas las intersecciones finitas de uno o más conjuntos deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}, se denomina sistema π generado porA{\textstyle {\mathcal {A}}}, porque es el sistema π más pequeño que tieneA{\textstyle {\mathcal {A}}}como un subconjunto.

El cierre ascendente deπ(A){\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}enincógnita{\textstyle X}es el conjuntoπ(A)↑incógnita={S⊆incógnita:PAG⊆S para algunos PAG∈π(A)}.{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ para algún }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}}Para cualquier familiaA{\textstyle {\mathcal {A}}}La propiedad de intersección finita es equivalente a cualquiera de las siguientes :

  • El sistema π generado porA{\displaystyle {\mathcal {A}}}no tiene el conjunto vacío como un elemento; es decir,∅∉π(A).{\displaystyle \varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).}
  • El conjuntoπ(A){\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}tiene la propiedad de intersección finita.
  • El conjuntoπ(A){\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}es un prefiltro (apropiado) [ 5 ] .
  • La familiaA{\displaystyle {\mathcal {A}}}es un subconjunto de algún prefiltro (apropiado) . [ 1 ]
  • El cierre ascendenteπ(A)↑incógnita{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}es un filtro (apropiado) enincógnita{\displaystyle X}. En este caso,π(A)↑incógnita{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}se llama el filtro enincógnita{\displaystyle X}generado porA{\displaystyle {\mathcal {A}}}, porque es el mínimo (con respecto a⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}) filtro enincógnita{\displaystyle X}que contieneA{\displaystyle {\mathcal {A}}}como un subconjunto.
  • A{\displaystyle {\mathcal {A}}}es un subconjunto de algún filtro (propio) [ 5 ] . [ 1 ]

Aplicaciones

Compacidad

La propiedad de intersección finita es útil para formular una definición alternativa de compacidad :

Teorema : Un espacio es compacto si y solo si toda familia de subconjuntos cerrados que tiene la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía . [ 6 ] [ 7 ]

Esta formulación de compacidad se utiliza en algunas demostraciones del teorema de Tychonoff .

Incontables espacios perfectos

Otra aplicación común es demostrar que los números reales son incontables . Nótese que un subconjunto de un espacio topológico es perfecto si es cerrado y tiene la propiedad de que ningún subconjunto de un punto es abierto .

Teorema — Seaincógnita{\displaystyle X}ser un espacio Hausdorff no vacío, perfecto y compacto .incógnita{\displaystyle X}es incontable .

Ejemplos de fallos:

  1. El teorema puede fallar sin la condición de Hausdorff; un conjunto numerable con al menos dos puntos y con la topología indiscreta es perfecto y compacto, pero no es no numerable.
  2. El teorema puede fallar sin la condición de compacidad, como lo demuestra el conjunto de los números racionales .
  3. El teorema puede fallar sin la condición perfecta, como lo demuestra cualquier espacio finito con topología discreta .
Prueba

Para una demostración por contradicción , supongamos que existe una sobreyección ,F:norte→incógnita{\displaystyle f:\mathbb {N} \to X}, dondenorte={1,2,3,…}{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}es el conjunto de los números naturales. SeaU0=incógnita{\displaystyle U_{0}=X}⁠ . El conjuntoU0{\displaystyle U_{0}}no está vacío y está abierto. En el paso general parai∈norte{\displaystyle i\in \mathbb {N} }⁠ , elegiremos un conjunto abierto no vacío.Ui⊆Ui−1{\displaystyle U_{i}\subseteq U_{i-1}}cuyo cierre no contieneF(i){\displaystyle f(i)}Observamos queUi−1{\displaystyle U_{i-1}}contiene al menos dos puntos porque no es vacío y es abierto, yincógnita{\displaystyle X}es perfecto. Elige un puntoy{\displaystyle y}deUi−1{\displaystyle U_{i-1}}eso es diferente deF(i){\displaystyle f(i)}Por la condición de Hausdorff, elija conjuntos abiertos disjuntos .V{\displaystyle V}yW{\displaystyle W}que contieneny{\displaystyle y}y​F(i){\displaystyle f(i)}⁠ , respectivamente. EntoncesUi=Ui−1∩V{\displaystyle U_{i}=U_{i-1}\cap V}Satisface los requisitos deseados.

La colección{Ui:i∈norte}{\displaystyle \left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}satisface la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, la intersección de sus clausuras no es vacía debido a la compacidad de ⁠incógnita{\displaystyle X}⁠ . Dejaincógnita{\displaystyle x}ser un punto en esta intersección. Para cualquieri∈norte{\displaystyle i\in \mathbb {N} }⁠ , no puede ser el caso queincógnita=F(i){\displaystyle x=f(i)}porqueF(i){\displaystyle f(i)}no pertenece al cierre deUi{\displaystyle U_{i}}peroincógnita{\displaystyle x}Sí. Es decir, hemos demostrado queF{\displaystyle f}no es una sobreyección; una contradicción. Debe ser queincógnita{\displaystyle X}es incontable.

Corolario : Todo intervalo cerrado[a,b]{\displaystyle [a,b]}cona<b{\displaystyle a<b}es incontable. Por lo tanto,R{\displaystyle \mathbb {R} }es incontable.

Corolario : Cada espacio Hausdorff perfecto y compacto a nivel local es incontable.

Prueba

Siincógnita{\displaystyle X}Si también es compacto, entonces el teorema implica inmediatamente queincógnita{\displaystyle X}es incontable. Siincógnita{\displaystyle X}no es compacto entonces la compactificación de un punto deincógnita{\displaystyle X}es un espacio de Hausdorff perfecto y compacto, y por lo tanto no numerable según el teorema. Dado que quitar un solo punto de un conjunto no numerable todavía deja un conjunto no numerable,incógnita{\displaystyle X}También es incontable.

Ultrafiltros

Dejarincógnita{\displaystyle X}no estar vacío,F⊆2incógnita.{\displaystyle F\subseteq 2^{X}.}F{\displaystyle F}que tiene la propiedad de intersección finita. Entonces existe unaU{\displaystyle U}ultrafiltro (en2incógnita{\displaystyle 2^{X}}) tal queF⊆U.{\displaystyle F\subseteq U.} Este resultado se conoce como el lema del ultrafiltro . [ 8 ]

Véase también

Referencias

Notas

Citas

  1. 1 2 3 4 Joshi 1983 , pp. 242−248.
  2. ↑ Dolecki y Mynard 2016 , págs. 27–29, 33–35.
  3. ↑ Bourbaki 1987 , págs. 57–68.
  4. ↑ Wilansky 2013 , págs. 44–46.
  5. 1 2 Un filtro o prefiltro en un conjunto esadecuado oNo degenerado si no contiene el conjunto vacío como elemento. Al igual que muchos autores (aunque no todos), este artículo requerirá la no degeneración como parte de las definiciones de "prefiltro" y "filtro".
  6. ↑ Munkres 2000 , pág. 169.
  7. ↑A space is compact iff any family of closed sets having fip has non-empty intersection at PlanetMath.
  8. ↑Csirmaz, László; Hajnal, András (1994), Matematikai logika(In Hungarian), Budapest: Eötvös Loránd University.

General sources

  • Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4[Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. doi:10.1007/978-3-642-61701-0. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
  • Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. General Topology 2: Chapters 5–10[Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
  • Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
  • Comfort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). The Theory of Ultrafilters. Vol. 211. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC 1205452.
  • Császár, Ákos (1978). General topology. Translated by Császár, Klára. Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
  • Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
  • Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
  • Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
  • Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (20 de octubre de 2021). "Sobre filtros débiles y ultrafiltros: teoría de conjuntos desde (y para) la representación del conocimiento". Logic Journal of the IGPL . 31 : 68–95 . doi : 10.1093/jigpal/jzab030 .
  • MacIver R., David (1 de julio de 2004). "Filtros en análisis y topología" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 9 de octubre de 2007.(Ofrece una introducción a los filtros en topología y en espacios métricos).
  • Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª  ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 .​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
  • Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114​​ 
  • Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4OCLC 227923899​​ 
  • "Propiedad de intersección finita" . PlanetMath .