Filtro (simulación de grandes remolinos)

La operación de filtrado de paso bajo utilizada en LES se puede aplicar a un campo espacial y temporal, por ejemplo${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$. La operación del filtro LES puede ser espacial, temporal o ambas. El campo filtrado, denotado con una barra, se define como: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},t^{\prime })G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},tt^{\prime })dt^{\prime }d{\boldsymbol {r}},}$

dónde${\displaystyle G}$es un núcleo de convolución único para el tipo de filtro utilizado. Esto se puede escribir como una operación de convolución:

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

El núcleo del filtro${\displaystyle G}$utiliza escalas de tiempo y longitud de corte, denotadas${\displaystyle \Delta }$y${\displaystyle \tau _{c},}$respectivamente. Las escalas más pequeñas que estas se eliminan de${\displaystyle {\overline {\phi }}.}$ Utilizando esta definición, cualquier campo${\displaystyle \phi }$puede dividirse en una porción filtrada y subfiltrada (denotada con una prima), como

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

Esto también se puede escribir como una operación de convolución,

${\displaystyle \phi ^{\prime }=\left(1-G\right)\star \phi .}$

La operación de filtrado elimina las escalas asociadas con altas frecuencias, y la operación puede interpretarse en consecuencia en el espacio de Fourier . Para un campo escalar${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t),}$la transformada de Fourier de${\displaystyle \phi }$es${\displaystyle {\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$una función de${\displaystyle {\boldsymbol {k}},}$el número de onda espacial y${\displaystyle \omega ,}$la frecuencia temporal. ${\displaystyle {\sombrero {\phi }}}$puede filtrarse mediante la transformada de Fourier correspondiente del núcleo del filtro, denotada${\displaystyle {\sombrero {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ):}$

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}({\boldsymbol {k}},\omega )={\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ){\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega )}$

o,

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}={\hat {G}}{\hat {\phi }}.}$

El ancho del filtro${\displaystyle \Delta }$tiene un número de onda de corte asociado${\displaystyle k_{c},}$y el ancho del filtro temporal${\displaystyle \tau _{c}}$También tiene una frecuencia de corte asociada.${\displaystyle \omega _{c}.}$ La porción sin filtrar de${\displaystyle {\sombrero {\phi }}}$es:

${\displaystyle {\sombrero {\phi ^{\prime }}}=(1-{\sombrero {G}}){\sombrero {\phi }}.}$

La interpretación espectral de la operación de filtrado es esencial para la simulación de grandes remolinos (LES), ya que el espectro de los flujos turbulentos es fundamental para los modelos de subescala de LES, que reconstruyen el efecto de las subescalas del filtro (las frecuencias más altas). Uno de los retos en el modelado de subescala es imitar eficazmente la cascada de energía cinética desde las bajas hasta las altas frecuencias. Esto hace que las propiedades espectrales del filtro LES implementado sean cruciales para los esfuerzos de modelado de subescala.

Los filtros LES homogéneos deben satisfacer el siguiente conjunto de propiedades cuando se aplican a las ecuaciones de Navier-Stokes. ^{[ 1 ]}

1. Conservación de las constantes

El valor de una constante filtrada debe ser igual a la constante,

${\displaystyle {\overline {a}}=a,}$

lo cual implica,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G({\boldsymbol {\xi }},t^{\prime })d^{3}{\boldsymbol {\xi }}dt^{\prime }=1.}$

2. Linealidad

${\displaystyle {\overline {\phi +\psi }}={\overline {\phi }}+{\overline {\psi }}.}$

3. Conmutación con derivadas

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \phi }{\partial s}}}={\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial s}},\qquad s={\boldsymbol {x}},t.}$

Si se introduce una notación para la conmutación de operadores${\displaystyle [f,g]}$para dos operadores arbitrarios${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$, dónde

${\displaystyle [f,g]\phi =f\circ g(\phi )-g\circ f(\phi )=f(g(\phi ))-g(f(\phi )),}$

Entonces esta tercera propiedad puede expresarse como

${\displaystyle \left[G\star ,{\frac {\partial }{\partial s}}\right]=0.}$

Los filtros que satisfacen estas propiedades generalmente no son operadores de Reynolds , lo que significa, en primer lugar:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overline {\overline {\phi }}}&\neq &{\overline {\phi }},\\G\star G\star \phi =G^{2}\star \phi &\neq &G\star \phi ,\end{array}}}$

y segundo,

${\displaystyle {\overline {\phi ^{\prime }}}=G\star (1-G)\star \phi \neq 0.}$

El núcleo del filtro en el espacio físico viene dado por:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta }},&{\text{if}}\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}\right|\leq {\frac {\Delta }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

El núcleo del filtro en el espacio espectral viene dado por:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})={\frac {\sin {({\frac {1}{2}}k\Delta )}}{{\frac {1}{2}}k\Delta }}.}$

El núcleo del filtro en el espacio físico viene dado por:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})=\left({\frac {6}{\pi \Delta ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left(-{\frac {6({\boldsymbol {x-r}})^{2}}{\Delta ^{2}}}\right)}.}$

El núcleo del filtro en el espacio espectral viene dado por:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=\exp {\left(-{\frac {{\boldsymbol {k}}^{2}\Delta ^{2}}{24}}\right)}.}$

El núcleo del filtro en el espacio físico viene dado por:

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\frac {\sin {(\pi ({\boldsymbol {x-r}})/\Delta )}}{\pi ({\boldsymbol {x-r}})}}.}$

El núcleo del filtro en el espacio espectral viene dado por:

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=H\left(k_{c}-\left|k\right|\right),\qquad k_{c}={\frac {\pi }{\Delta }}.}$