Simulación numérica directa

Una simulación numérica directa ( DNS ) ^{[ 1 ] [ 2 ]} es una simulación en dinámica de fluidos computacional (CFD) en la que las ecuaciones de Navier-Stokes se resuelven numéricamente sin ningún modelo de turbulencia . Esto significa que se debe resolver todo el rango de escalas espaciales y temporales de la turbulencia . Todas las escalas espaciales de la turbulencia deben resolverse en la malla computacional, desde las escalas disipativas más pequeñas ( microescalas de Kolmogorov ) hasta la escala integral .${\displaystyle L}$, asociada con los movimientos que contienen la mayor parte de la energía cinética. La escala de Kolmogorov,${\displaystyle \eta }$, se da por

${\displaystyle \eta =(\nu ^{3}/\varepsilon )^{1/4}}$

dónde${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática y${\displaystyle \varepsilon }$es la tasa de disipación de energía cinética . Por otro lado, la escala integral depende generalmente de la escala espacial de las condiciones de contorno.

Para satisfacer estos requisitos de resolución, el número de puntos${\displaystyle N}$a lo largo de una dirección de malla determinada con incrementos${\displaystyle h}$, debe ser

${\displaystyle Nh>L,\,}$

de modo que la escala integral esté contenida dentro del dominio computacional, y también

${\displaystyle h\leq \eta ,\,}$

para que se pueda resolver la escala de Kolmogorov.

Desde

${\displaystyle \varepsilon \approx {u'}^{3}/L,}$

dónde${\displaystyle u'}$es la raíz cuadrática media (RMS) de la velocidad , las relaciones anteriores implican que una DNS tridimensional requiere una cantidad de puntos de malla${\displaystyle N^{3}}$satisfactorio

${\displaystyle N^{3}\geq \mathrm {Re} ^{9/4}=\mathrm {Re} ^{2.25}}$

dónde${\displaystyle \mathrm {Re} }$es el número de Reynolds turbulento :

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u'L}{\nu }}.}$

Por lo tanto, el requisito de almacenamiento de memoria en un DNS crece muy rápidamente con el número de Reynolds. Además, dada la gran cantidad de memoria necesaria, la integración de la solución en el tiempo debe hacerse mediante un método explícito. Esto significa que, para ser precisa, la integración, para la mayoría de los métodos de discretización , debe hacerse con un paso de tiempo,${\displaystyle \Delta t}$lo suficientemente pequeño como para que una partícula de fluido se mueva solo una fracción del espacio de la malla.${\displaystyle h}$en cada paso. Es decir,

${\displaystyle C={\frac {u'\Delta t}{h}}<1}$

(${\displaystyle C}$(aquí se encuentra el número de Courant ). El intervalo de tiempo total simulado es generalmente proporcional a la escala de tiempo de la turbulencia.${\displaystyle \tau }$dado por

${\displaystyle \tau ={\frac {L}{u'}}.}$

Combinando estas relaciones, y el hecho de que${\displaystyle h}$debe ser del orden de${\displaystyle \eta }$, el número de pasos de integración temporal debe ser proporcional a${\displaystyle L/(C\eta )}$Por otro lado, a partir de las definiciones de${\displaystyle \mathrm {Re} }$,${\displaystyle \eta }$y${\displaystyle L}$Dado lo anterior, se deduce que

${\displaystyle {\frac {L}{\eta }}\sim \mathrm {Re} ^{3/4},}$

y, en consecuencia, el número de pasos de tiempo también crece como una ley potencial del número de Reynolds.

Se puede estimar que el número de operaciones de punto flotante necesarias para completar la simulación es proporcional al número de puntos de la malla y al número de pasos de tiempo, y en conclusión, el número de operaciones crece a medida que${\displaystyle \mathrm {Re} ^{3}}$.

Por lo tanto, el coste computacional de la DNS es muy elevado, incluso a bajos números de Reynolds. Para los números de Reynolds que se encuentran en la mayoría de las aplicaciones industriales, los recursos computacionales requeridos por una DNS excederían la capacidad de los ordenadores más potentes disponibles actualmente . Sin embargo, la simulación numérica directa es una herramienta útil en la investigación fundamental de la turbulencia. Mediante la DNS es posible realizar "experimentos numéricos" y extraer de ellos información difícil o imposible de obtener en el laboratorio, lo que permite una mejor comprensión de la física de la turbulencia. Asimismo, las simulaciones numéricas directas son útiles en el desarrollo de modelos de turbulencia para aplicaciones prácticas, como modelos de subescala para la simulación de grandes remolinos (LES) y modelos para métodos que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS). Esto se realiza mediante pruebas "a priori", en las que los datos de entrada para el modelo se toman de una simulación DNS, o mediante pruebas "a posteriori", en las que los resultados producidos por el modelo se comparan con los obtenidos por la DNS.

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