Fibonacci aniones

En física de la materia condensada , un anión de Fibonacci es un tipo de anión que reside en sistemas bidimensionales topológicamente ordenados . El anión de Fibonacci${\displaystyle \tau }$Se distingue de forma única por el hecho de que satisface la regla de fusión.${\displaystyle \tau \otimes \tau ={\bf {1}}\oplus \tau }$Alternativamente, el anión de Fibonacci puede definirse por el hecho de que se describe algebraicamente mediante el único objeto simple no trivial en la categoría de Fibonacci. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Experimentalmente, se ha propuesto que los aniones de Fibonacci podrían alojarse en el sistema de efecto Hall cuántico fraccionario . En particular, es posible que los aniones de Fibonacci estén presentes en el sistema con factor de llenado${\displaystyle \nu =12/5}$. ^{[ 3 ]}

Los aniones de Fibonacci se han desarrollado principalmente en el contexto de la computación cuántica topológica . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 1 ]} Esto se debe a que estos aniones permiten la computación cuántica universal basada completamente en el trenzado y la realización de mediciones de carga topológica, y por lo tanto forman un entorno natural para la computación cuántica topológica . Esto contrasta con los aniones basados ​​en la teoría de gauge discreta , que requieren un uso más sutil de ancillas para realizar computación cuántica universal. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

Matemáticamente, los aniones de Fibonacci se identifican por el hecho de que se describen mediante la categoría de Fibonacci, una cierta categoría tensorial modular . Debido a sus conexiones con la teoría cuántica de campos y su estructura particularmente simple, la categoría de Fibonacci fue una de las primeras categorías tensoriales modulares en ser consideradas. ^{[ 9 ]} Fue desarrollada a principios de la década de 2000 por Michael Freedman , Zhenghan Wang y Michael Larsen en el contexto de la computación cuántica topológica mediante aniones de Fibonacci. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 7 ] [ 1 ]} El término "categoría de Fibonacci" fue acuñado por Greg Kuperberg , en referencia al hecho de que sus reglas de fusión se describen mediante números de Fibonacci . ^{[ 10 ]}

La categoría Fibonacci${\displaystyle {\bf {Ficción}}}$se define de la siguiente manera. ^{[ 13 ]} El conjunto de objetos simples de${\displaystyle {\bf {Ficción}}}$tiene tamaño dos y se denota${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{1,\tau \}}$Su regla de fusión no trivial viene dada por${\displaystyle \tau \otimes \tau =1\oplus \tau }$Las demás reglas de fusión son:${\displaystyle \tau \otimes 1=1\otimes \tau =\tau }$y${\displaystyle 1\otimes 1=1}$Los valores de torsión son${\displaystyle \theta _{1}=1}$y${\displaystyle \theta _ {\tau }=e^{4\pi i/5}}$Los símbolos R son${\displaystyle R_{1}^{\tau ,\tau }=e^{-4\pi i/5}}$,${\displaystyle R_{\tau }^{\tau ,\tau }=e^{3\pi i/5}}$, y${\displaystyle R_{1}^{1,1}=R_{\tau }^{1,\tau }=R_{\tau }^{\tau ,1}=1}$Todos los símbolos F distintos de cero son todos iguales a 1, excepto los símbolos${\displaystyle F_{\tau ;1,1}^{\tau ,\tau ,\tau }=\varphi ^{-1}}$,${\displaystyle F_{\tau$ ;\tau ,1}^{\tau ,\tau ,\tau }=F_{\tau ;1,\tau }^{\tau ,\tau ,\tau }=\varphi ^{-1/2}} , y${\displaystyle F_{\tau$ ;\tau ,\tau }^{\tau ,\tau ,\tau }=-\varphi ^{-1}} donde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea .

La categoría de Fibonacci posee varias propiedades algebraicas destacables.

• Tomando el rastro de la identidad${\displaystyle \tau \otimes \tau =1\oplus \tau }$Se llega a la fórmula${\displaystyle d_{\tau }^{2}=1+d_{\tau }}$dónde${\displaystyle d_{\tau }}$es la dimensión cuántica de${\displaystyle \tau }$Dado que la categoría de Fibonacci es unitaria, todas sus dimensiones cuánticas son positivas, y por lo tanto${\displaystyle d_{\tau}=\varphi}$es la proporción áurea , la única solución positiva a la ecuación${\displaystyle x^{2}=1+x}$. Es un teorema que cualquier objeto simple en la categoría tensorial modular unitaria cuya dimensión cuántica${\displaystyle d}$Satisface${\displaystyle 1\leq d<2}$debe ser de la forma${\displaystyle d=2\cos(\pi /n)}$para algunos${\displaystyle n\geq 3}$. ^{[ 14 ]} Este teorema es consistente con la categoría de Fibonacci, ya que${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)}$.
• La categoría de Fibonacci es la única categoría tensorial modular unitaria con exactamente un objeto simple no trivial, tal que este objeto no trivial no es abeliano (en el sentido de que su dimensión cuántica es mayor que uno). Existe otra categoría tensorial modular unitaria con exactamente un objeto simple no trivial, conocida como categoría de semiones, pero su objeto no trivial es abeliano. ^{[ 13 ]}
• Existe una relación de fusión.${\displaystyle \tau ^{\otimes n}=F_{n-1}\oplus F_{n}\tau }$, dónde${\displaystyle F_{n}}$es el${\displaystyle n}$el número de Fibonacci , normalizado de modo que${\displaystyle F_{0}=0}$y${\displaystyle F_{1}=1}$. Aquí,${\displaystyle \tau ^{\otimes n}}$denota el${\displaystyle n}$-producto tensorial de pliegues de${\displaystyle \tau }$consigo mismo, y${\displaystyle F_{n}\tau }$denota el${\displaystyle F_{n}}$-suma directa de pliegues${\displaystyle \tau }$consigo misma. Esta relación puede demostrarse mediante una simple inducción. Es de esta relación de donde la categoría de Fibonacci recibe su nombre. ^{[ 15 ]}

En el contexto de la teoría cuántica de campos topológica , la categoría de Fibonacci corresponde a la teoría cuántica de Chern-Simons con grupo de gauge.${\displaystyle G=SO(3)}$en el nivel${\displaystyle k=5}$. ^{[ 10 ]} Dado que${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$es una doble cubierta de${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$La categoría de Fibonacci puede describirse alternativamente como los sectores pares en la teoría de Chern-Simons con grupo de gauge.${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$en el nivel${\displaystyle k=3}$. ^{[ 16 ]}

Desde esta perspectiva, se puede ver una conexión entre los aniones de Fibonacci y el polinomio de Jones utilizando las técnicas clásicas de Edward Witten . ^{[ 17 ]} En su artículo fundamental de 1989, Witten demostró que el enlace y los invariantes de variedad de la teoría cuántica de Chern-Simons con grupo de gauge${\displaystyle G=SU(2)}$están íntimamente relacionados con el polinomio de Jones evaluado en raíces de la unidad . Dado que la categoría de Fibonacci está relacionada con${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$La teoría de Chern-Simons establece una relación entre la categoría de Fibonacci y el polinomio de Jones.

Una idea clave de Michael Freedman en 1997 fue comparar los resultados de Witten con el hecho de que la evaluación del polinomio de Jones en${\displaystyle k}$Calcular las raíces de la unidad es un problema computacionalmente difícil. En particular, evaluar el polinomio de Jones de forma exacta es un problema #P-completo siempre que${\displaystyle k=5}$y${\displaystyle k\geq 7}$, ^{[ 18 ]} y dar una aproximación aditiva del polinomio de Jones es BQP-completo siempre que${\displaystyle k=5}$y ${\displaystyle k\geq 7}$. ^{[ 7 ] [ 19 ] [ 20 ]} Bajo la correspondencia de Witten, la teoría de Fibonacci (relacionada con${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$en el nivel${\displaystyle k=3}$) está relacionado con el polinomio de Jones evaluado en las raíces quintas de la unidad y, por lo tanto, cuando se usa adecuadamente, puede permitir resolver problemas BQP-completos .

La categoría modular de Fibonacci está relacionada con un modelo separado de la teoría de campos conformes no unitarios , conocida como la teoría de Yang-Lee . ^{[ 21 ] [ 22 ]} Esta teoría describe el comportamiento del modelo de Ising bidimensional en su fase paramagnética en su valor imaginario crítico del campo magnético . John Cardy demostró que la teoría de Yang-Lee tiene dos campos primarios, denotados${\displaystyle \mathbb {I} }$y${\displaystyle \Phi }$y que satisfacen la relación de fusión no trivial${\displaystyle \Phi \otimes \Phi =\mathbb {I} \oplus \Phi }$. ^{[ 23 ]} Esta es la misma relación de fusión de la categoría de Fibonacci. La teoría de Yang-Lee está relacionada con una teoría de campos conformes no unitaria y, como tal, corresponde a una categoría tensorial modular no unitaria . ^{[ 13 ]}

A pesar de tener las mismas reglas de fusión, la categoría tensorial modular asociada a la teoría de Yang-Lee no es la misma que la categoría modular de Fibonacci. La diferencia entre estas dos categorías está presente en sus reglas de asociatividad y trenzado. La relación entre estas dos teorías es que la teoría de Yang-Lee es el conjugado de Galois de la teoría de Fibonacci. ^{[ 13 ]} Es decir, existe un automorfismo${\displaystyle \sigma$ :{\overline {\mathbb {Q} }}\to {\overline {\mathbb {Q} }}} viviendo en el grupo de Galois absoluto de los números racionales tal que aplicando${\displaystyle \sigma }$A todos los datos de la teoría de Fibonacci se recuperan los datos de la teoría de Yang-Lee. Esto significa que para cualquier símbolo F${\displaystyle F_{d;e,f}^{a,b,c}}$o símbolo R${\displaystyle R_{c}^{a,b}}$de la teoría de Fibonacci, el símbolo F o símbolo R correspondiente de la teoría de Yang-Lee es${\displaystyle \sigma (F_{d;e,f}^{a,b,c})}$o${\displaystyle \sigma (R_{c}^{a,b})}$.

La categoría de Fibonacci está relacionada con el corchete de Kauffman por el hecho de que el invariante de Reshetikhin-Turaev de enlaces enmarcados asociados a${\displaystyle {\bf {Fib}}}$es igual al corchete de Kauffman con parámetro${\displaystyle A=e^{3\pi i/5}}$. ^{[ 10 ] [ 12 ] [ 1 ] [ 15 ]} Dado que el corchete de Kauffman está relacionado con el polinomio de Jones a través de un cambio de normalización, también existe una estrecha relación entre${\displaystyle {\bf {Fib}}}$y el polinomio de Jones .

La información técnica que relaciona los invariantes de enlace enmarcados asociados en${\displaystyle {\bf {Fib}}}$La relación con el corchete de Kauffman es la baja dimensionalidad de los espacios hom en la categoría de Fibonacci, lo que implica la existencia de muchas relaciones lineales entre sus morfismos. En particular, el espacio hom${\displaystyle {\text{Hom}}_{\bf {Fib}}(\tau \otimes \tau ,\tau \otimes \tau )}$es bidimensional ya que${\displaystyle \tau =1\oplus \tau }$Utilizando técnicas estándar para calcular sus coeficientes, se observa que la siguiente relación lineal es cierta:

Esto se puede comparar con la relación de Skein habitual para el corchete de Kauffman, con${\displaystyle A=e^{3\pi i/5}}$.

Como un invariante extendido

Debido a la existencia de un morfismo${\displaystyle \tau \otimes \tau \to \tau }$, la categoría de Fibonacci también se presta naturalmente a definir invariantes de una generalización de enlaces que permite vértices de grado 3 ("ramificaciones"). ^{[ 24 ]} Estos invariantes también pueden definirse utilizando relaciones de Skein generalizadas. ^{[ 15 ] [ 24 ]} Para ello, se eligen algunos morfismos distinguidos${\displaystyle \tau \otimes \tau \to \tau }$y${\displaystyle \tau \to \tau \otimes \tau }$, representado visualmente a continuación.

Elegir estos morfismos distinguidos de manera que

Entonces se cumple la siguiente relación de Skein generalizada:

Nótese que para crear un invariante topológico adecuado es necesario tener en cuenta más estructura en los enlaces, como las orientaciones en las hebras. ^{[ 24 ]}

El proceso para la computación cuántica universal con aniones de Fibonacci se puede describir de la siguiente manera. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 2 ]} Primero, se da una instancia de un problema de decisión que pertenece a la clase de complejidad BQP (por ejemplo, un entero grande cuya factorización se desea determinar). Dado que el problema de aproximar aditivamente una normalización del polinomio de Jones en una raíz tercera de la unidad es BQP completo , ^{[ 25 ]} esto significa por definición que existe un algoritmo clásico de tiempo polinomial para tomar cualquier circuito cuántico eficiente y asignarle un enlace enmarcado tal que una aproximación aditiva del invariante de Jones (o realmente, corchete de Kauffman) de ese enlace evaluado en${\displaystyle e^{3\pi i/5}}$codifica la solución del problema de decisión. Por ejemplo, utilizando este procedimiento, el algoritmo de Shor para factorizar un entero correspondería a algún enlace grande. Para relacionar el corchete de Kauffman de este enlace evaluado en${\displaystyle e^{3\pi i/5}}$Para trasladarlo al mundo físico, se tomaría algún material que albergara aniones de Fibonacci y se realizaría una serie de operadores de creación, entrelazamiento y fusión, de modo que las trayectorias espaciotemporales de los aniones de Fibonacci en este proceso formen el enlace resultante del paso anterior. A continuación, se repetiría este experimento polinómicamente muchas veces y se registraría la probabilidad de que todas las mediciones de fusión resultaran en el sector de vacío. Las propiedades algebraicas de la categoría de Fibonacci implican que esta probabilidad es aproximadamente igual al corchete de Kauffman evaluado en${\displaystyle e^{3\pi i/5}}$, hasta la normalización por alguna potencia de la proporción áurea. Por construcción, existe entonces un algoritmo clásico de tiempo polinomial para tomar esta aproximación y usarla para deducir el resultado del problema de decisión original con alta probabilidad (por ejemplo, en el caso de la factorización, este algoritmo usaría los dígitos de la aproximación del corchete de Kauffman normalizado para recuperar la factorización del entero de entrada). Este proceso se muestra a continuación

El espacio de estados de Hilbert completo de una colección de anyones de Fibonacci no es un producto tensorial de sus subsistemas propios, lo cual se puede ver fácilmente a partir del hecho de que la dimensión de dicho espacio de estados es un número${\displaystyle F_{n}}$en la secuencia de Fibonacci. Para cada${\displaystyle F_{n}>1}$existe un árbol de fusión aniónica apropiado tal que la acción natural del grupo de trenzado correspondiente es irreductible en${\displaystyle \mathbb {C} ^{F_{n}}}$y denso en el${\displaystyle SU(F_{n})}$.

Sin embargo, el hecho de que cualquier${\displaystyle U\in SU(F_{n})}$puede aproximarse mediante una trenza aniónica es existencial en naturaleza y puede reducirse a la práctica solo dado un conjunto de algoritmos clásicos de síntesis de trenzas. Dichos algoritmos para${\displaystyle F_{3}=2}$, basados ​​en el enfoque de Monte Carlo se han desarrollado en. ^{[ 16 ]} Los métodos de Monte Carlo propuestos son agnósticos con respecto a la estructura algebraica de las matrices de trenzas y, si bien conservan una generalidad razonable, son subóptimos tanto en términos de tiempo de ejecución clásico como de profundidad de las trenzas compiladas resultantes. El algoritmo de ^{[ 26 ]} se basa en propiedades de teoría de números de las representaciones de grupos de trenzas aniónicas que son específicas de los aniones de Fibonacci. Ese algoritmo produce trenzas compiladas con profundidad asintóticamente óptima y tiene un tiempo de ejecución clásico polinomial óptimo.