Tensor electromagnético

La 2-forma diferencial de Faraday viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}F={}&(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt\\&+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle dt}$es el elemento tiempo multiplicado por la velocidad de la luz${\displaystyle c}$.

Esta es la derivada exterior de su antiderivada de 1-forma, la forma covariante del cuadripotencial, es ^{[ 4 ] : 315}

$${\displaystyle A=(\phi /c)\,dt-A_{x}\,dx-A_{y}\,dy-A_{z}\,dz,}$$

dónde${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$tiene${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\phi =\mathbf {E} }$(${\displaystyle \phi }$es un potencial escalar para el campo vectorial irrotacional/conservativo${\displaystyle \mathbf {E} }$) y${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$tiene${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$(${\displaystyle \mathbf {A} }$es un potencial vectorial para el campo vectorial solenoidal${\displaystyle \mathbf {B} }$).

Los campos eléctrico y magnético se pueden obtener a partir de los componentes del tensor electromagnético. La relación es más simple en coordenadas cartesianas :

$${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$$ donde c es la velocidad de la luz, y $${\displaystyle B_{i}=-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}F^{jk},}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon _ {ijk}}$es el tensor de Levi-Civita . Este da los campos en un sistema de referencia particular; si se cambia el sistema de referencia, los componentes del tensor electromagnético se transformarán de forma covariante , y los campos en el nuevo sistema vendrán dados por los nuevos componentes.

En forma de matriz contravariante con signatura métrica (+,−,−,−), ^{[ 4 ] : 313}$${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$

La forma covariante viene dada por la disminución del índice ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mu \nu }&=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\ -E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ El dual de Hodge del tensor de Faraday es $${\displaystyle {\begin{aligned}G^{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

De ahora en adelante en este artículo, cuando se mencionen los campos eléctricos o magnéticos, se asumirá un sistema de coordenadas cartesianas, y los campos eléctricos y magnéticos se considerarán con respecto al sistema de referencia de coordenadas, como en las ecuaciones anteriores.

La forma matricial del tensor de campo produce las siguientes propiedades: ^{[ 2 ]}

1. Antisimetría :$${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. Seis componentes independientes: En coordenadas cartesianas, estas son simplemente las tres componentes espaciales del campo eléctrico ( E _x , E _y , E _z ) y del campo magnético ( B _x , B _y , B _z ).
3. Producto interno: Si se forma un producto interno del tensor de intensidad de campo, se forma un invariante de Lorentz.$${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$$lo que significa que este número no cambia de un marco de referencia a otro.
4. Invariante pseudoescalar : El producto del tensor${\displaystyle F^{\mu \nu }}$con su Hodge dual${\displaystyle G^{\mu \nu }}$da un invariante de Lorentz :$${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$dónde${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$es el símbolo Levi-Civita de rango 4. El signo para lo anterior depende de la convención utilizada para el símbolo Levi-Civita. La convención utilizada aquí es${\displaystyle \varepsilon _{0123}=-1}$Este invariante de Lorentz, al igual que el anterior, desaparece en el caso de campos cruzados.
5. Determinante :$${\displaystyle \det F={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$que es proporcional al cuadrado del invariante anterior.
6. Rastro :$${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$lo cual es igual a cero.

Este tensor simplifica y reduce las ecuaciones de Maxwell, que son cuatro ecuaciones de cálculo vectorial, a dos ecuaciones de campo tensorial. En electrostática y electrodinámica , la ley de Gauss y la ley circuital de Ampère son, respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$

y reducir a la ecuación de Maxwell no homogénea:

$${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta },}$$ dónde${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$es la corriente de cuatro vías .

En magnetostática y magnetodinámica, la ley de Gauss para el magnetismo y la ecuación de Maxwell-Faraday son, respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$

que se reducen a la identidad de Bianchi :

$${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$$

o utilizando la notación de índices con corchetes ^{[nota 1]} para la parte antisimétrica del tensor:

$${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$$ Utilizando la expresión que relaciona el tensor de Faraday con el cuadripotencial, se puede demostrar que la cantidad antisimétrica anterior se anula idénticamente (${\displaystyle \equiv 0}$Esta ecuación tensorial reproduce las ecuaciones homogéneas de Maxwell.

La densidad hamiltoniana se puede obtener con la relación usual,

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}\,.}$$

Aquí${\displaystyle \phi ^{i}=A^{i}}$son los campos y la densidad de momento del campo electromagnético es

$${\displaystyle \pi _{i}=T_{0i}={\frac {1}{\mu _{0}}}F_{0}{}^{\alpha }F_{i\alpha }={\frac {1}{\mu _{0}c}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$ de tal manera que la cantidad conservada asociada con la traslación del teorema de Noether es el momento total. $${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {1}{\mu _{0}c}}\int _{\mathcal {V}}\mathrm {d} ^{3}x\,\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,.}$$

La densidad hamiltoniana para el campo electromagnético está relacionada con el tensor de energía-impulso electromagnético.$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$$

como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}=T_{00}&={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.\end{aligned}}}$$

donde hemos despreciado la densidad de energía de la materia , asumiendo solo el campo EM, y la última igualdad asume el sistema CGS. El momento de las cargas no relativistas que interactúan con el campo EM en el calibre de Coulomb (${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =\nabla _{i}A^{i}=0}$) es

$${\displaystyle \mathbf {p} _{\alpha }=m_{\alpha }{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }+{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\,.}$$

El hamiltoniano total del sistema materia + campo electromagnético es

$${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,T_{00}=H_{\text{mat}}+H_{\text{em}}\,.}$$

donde para partículas puntuales no relativistas en el calibre de Coulomb

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{mat}}&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left|{\dot {\mathbf {x} }}_{\alpha }\right|^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\\[1ex]&=\sum _{\alpha }{\frac {1}{2m_{\alpha }}}\left[\mathbf {p} _{\alpha }-{\frac {q_{\alpha }}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {x} _{\alpha })\right]^{2}+\sum _{\alpha <\beta }{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{\left|\mathbf {x} _{\alpha }-\mathbf {x} _{\beta }\right|}}\,.\end{aligned}}}$$

donde el último término es idéntico${\textstyle {\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\,\mathbf {E} _{\parallel }^{2}}$dónde${\displaystyle {E}_{\parallel i}={\nabla _{i}}A_{0}}$ y

$${\displaystyle H_{\text{em}}={\frac {1}{8\pi }}\int _{\mathcal {V}}d^{3}x\left(\mathbf {E} _{\perp }^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\,.}$$ donde y ${\textstyle {E}_{\perp i}=-{\frac {1}{c}}\partial _{0}A_{i}}$.

El lagrangiano de la electrodinámica cuántica se extiende más allá del lagrangiano clásico establecido en la relatividad para incorporar la creación y aniquilación de fotones (y electrones):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$$

donde la primera parte del lado derecho contiene el espinor de Dirac${\displaystyle \psi }$, representa el campo de Dirac . En la teoría cuántica de campos se utiliza como plantilla para el tensor de intensidad del campo de gauge. Al emplearse además del lagrangiano de interacción local, retoma su función habitual en electrodinámica cuántica.