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Función de Faddeeva

Función de Faddeeva en el plano complejo La función de Faddeeva o función de Kramp es una función de error complementaria compleja escalada , w ( z ) := mi − z 2 erfc ⁡ ( − i z ...

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Función de Faddeeva en el plano complejo

La función de Faddeeva o función de Kramp es una función de error complementaria compleja escalada ,

w(z):=mi−z2erfc⁡(−iz)=erfcx⁡(−iz)=mi−z2(1+2iπ∫0zmit2dt).{\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}

Está relacionada con la integral de Fresnel , con la integral de Dawson y con la función de Voigt .

Esta función surge en diversos problemas físicos, generalmente relacionados con respuestas electromagnéticas en medios complejos.

  • problemas que involucran ondas de pequeña amplitud que se propagan a través de plasmas maxwellianos , y en particular aparece en la permitividad del plasma a partir de la cual se derivan las relaciones de dispersión , por lo que a veces se la denomina función de dispersión del plasma [ 1 ] [ 2 ] (aunque este nombre a veces se usa en su lugar para la función reescaladaZ(z)=iπw(z){\displaystyle Z(z)=i{\sqrt {\pi }}w(z)}definido por Fried y Conte , 1961 [ 1 ] [ 3 ] ).
  • Las funciones de permitividad infrarroja de los óxidos amorfos presentan resonancias (debido a fonones ) que a veces resultan demasiado complejas para ajustarlas mediante osciladores armónicos simples. El modelo de oscilador de Brendel-Bormann utiliza una superposición infinita de osciladores con frecuencias ligeramente diferentes y una distribución gaussiana. [ 4 ] La respuesta integrada puede expresarse en términos de la función de Faddeeva.
  • La función de Faddeeva también se utiliza en el análisis de ondas electromagnéticas del tipo empleado en la radio AM. Las ondas terrestres son ondas polarizadas verticalmente que se propagan sobre un terreno con pérdidas, de resistividad y permitividad finitas.
  • La función de Faddeeva también describe los cambios en las secciones transversales de neutrones de los materiales al variar la temperatura. [ 5 ]

Propiedades

Partes reales e imaginarias

La descomposición en partes reales e imaginarias se suele escribir

w(incógnita+iy)=V(incógnita,y)+iL(incógnita,y){\displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)},

donde V y L se denominan las funciones de Voigt real e imaginaria , puesto que V(x,y) es el perfil de Voigt (salvo prefactores).

Inversión de signo

Para argumentos con signo invertido, se aplican las siguientes condiciones:

w(−z)=2mi−z2−w(z){\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}

y

w(−z)=w(z∗)∗{\displaystyle w(-z)=w\left(z^{*}\right)^{*}}

donde * denota el conjugado complejo.

Relación con la función de error complementaria

La función de Faddeeva evaluada sobre argumentos imaginarios es igual a la función de error complementaria escalada (mirFdoincógnita{\displaystyle \mathrm {erfcx} }):

w(iz)=mirFdoincógnita(z)=miz2mirFdo(z){\displaystyle w(iz)=\mathrm {erfcx} (z)=e^{z^{2}}\mathrm {erfc} (z)},

donde erfc es la función de error complementaria . Para valores reales grandes de x :

mirFdoincógnita(incógnita)≈1πincógnita{\displaystyle \mathrm {erfcx} (x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}x}}}

Derivado

En algunas aplicaciones, es necesario conocer no solo los valores originales de la función de Faddeeva, sino también su derivada (por ejemplo, en la regresión de mínimos cuadrados no lineales en espectroscopia ). Su derivada viene dada por: [ 6 ] [ 7 ]

dw(z)dz=2iπ−2⋅z⋅w(z){\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}

Esta expresión también puede desglosarse aún más en términos de cambios en la parte real e imaginaria de la función de Faddeeva.ℜ(w(z))=ℜw{\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}yℑ(w(z))=ℑw{\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}Básicamente, esto requiere conocimiento sobre la parte real e imaginaria del producto.z⋅w(z){\displaystyle z\cdot w\left(z\right)}Haciendo uso de la definición anteriorz=incógnita+iy{\displaystyle z=x+iy}, por lo tanto, la derivada puede dividirse en derivadas parciales con respecto aincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}como sigue:

dℜwdincógnita=2⋅(y⋅ℑw−incógnita⋅ℜw)=dℑwdy{\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}      y      dℜwdy=−2⋅(1π−incógnita⋅ℑw−y⋅ℜw)=−dℑwdincógnita{\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}
dℑwdincógnita=2⋅(1π−incógnita⋅ℑw−y⋅ℜw)=−dℜwdy{\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}      y      dℑwdy=2⋅(y⋅ℑw−incógnita⋅ℜw)=dℜwdincógnita{\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}

Aquí se puede encontrar un ejemplo práctico del uso de estas derivadas parciales .

Representación integral

La función Faddeeva se produce como

w(z)=iπ∫−∞∞mi−t2z−tdt=2izπ∫0∞mi−t2z2−t2dt,Soy⁡z>0{\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Im} z>0}

lo que significa que es una convolución de una gaussiana con un polo simple.

Historia

La función fue tabulada por Vera Faddeeva y NN Terentyev en 1954. [ 8 ] Aparece como función sin nombre w(z) en Abramowitz y Stegun (1964), fórmula 7.1.3. El nombre de función Faddeeva aparentemente fue introducido por GPM Poppe y CMJ Wijers en 1990; [ 9 ] anteriormente, se conocía como función de Kramp (probablemente después de Christian Kramp ). [ 10 ]

Las primeras implementaciones utilizaron métodos de Walter Gautschi (1969–70; ACM Algorithm 363) [ 11 ] o de J. Humlicek (1982). [ 12 ] Poppe y Wijers (1990; ACM Algorithm 680) propusieron un algoritmo más eficiente. [ 13 ] JAC Weideman (1994) propuso un algoritmo particularmente corto que no requiere más de ocho líneas de código MATLAB . [ 14 ] Zaghloul y Ali señalaron deficiencias de algoritmos anteriores y propusieron uno nuevo (2011; ACM Algorithm 916). [ 2 ] M. Abrarov y BM Quine (2011/2012) propusieron otro algoritmo. [ 15 ]

Implementaciones

Dos implementaciones de software, que son gratuitas solo para uso no comercial, [ 16 ] fueron publicadas en ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) como Algoritmo 680 (en Fortran , [ 17 ] posteriormente traducido a C ) [ 18 ] y Algoritmo 916 por Zaghloul y Ali (en MATLAB ). [ 19 ]

También está disponible una implementación gratuita y de código abierto en C o C++ derivada de una combinación del Algoritmo 680 y el Algoritmo 916 (que utiliza diferentes algoritmos para diferentes z ) bajo la Licencia MIT , [ 20 ] y se mantiene como un paquete de biblioteca libcerf . [ 21 ] Esta implementación también está disponible como un complemento para Matlab, [ 20 ] GNU Octave , [ 20 ] y en Python a través de Scipy como scipy.special.wofz(que originalmente era el código TOMS 680, pero fue reemplazado debido a preocupaciones de derechos de autor [ 22 ] ).

Para el cálculo rápido de la función de dispersión del plasmaZ(z){\displaystyle Z(z)}, se ha encontrado que la aproximación de Padé de polo J es útil, [ 23 ] es decir,

Z(z)=∑j=1Jbjz−doj.{\displaystyle Z(z)=\sum _{j=1}^{J}{\frac {b_{j}}{z-c_{j}}}.}

La aproximación anterior es válida para el plano superior, yz{\displaystyle z}débilmente cerca del eje real, de tal manera queImetro(z){\displaystyle Im(z)}no está lejos del eje real del plano inferior. Para un cálculo preciso de Imetro(z)<0{\displaystyle Im(z)<0}, uno puede usar

Z(z)=[Z(z∗)]∗+2iπexp⁡[−z2].{\displaystyle Z(z)=[Z(z^{*})]^{*}+2i{\sqrt {\pi }}\exp[-z^{2}].}

Se puede encontrar una codificación del enfoque de polo J anterior y una comparación con una función de dispersión de plasma precisa. [ 24 ] También se encuentran disponibles coeficientes completos para el cálculo rápido de la función de dispersión de plasma con aproximación racional y multipolar. [ 25 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Lehtinen, Nikolai G. (23 de abril de 2010). "Funciones de error" (PDF) . Página web de Lehtinen - Universidad de Stanford . Archivado del original (PDF) el 1 de noviembre de 2019. Recuperado el 8 de octubre de 2019 .
  2. 1 2 M. R. Zaghloul y AN Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38(2)15 (2011)
  3. ↑ Richard Fitzpatrick , Función de dispersión del plasma ,Apuntes de clase de física del plasma , Universidad de Texas en Austin (31/3/2011).
  4. ↑ Brendel, R.; Bormann, D. (1992). "Un modelo de función dieléctrica infrarroja para sólidos amorfos". Journal of Applied Physics . 71 (1): 1. Bibcode : 1992JAP....71....1B . doi : 10.1063/1.350737 . ISSN 0021-8979 . 
  5. ↑ "Multipolo con ventana OpenMC" . 1 de junio de 2020. Consultado el 20 de diciembre de 2020 .
  6. ↑ Avetisov, Slava (1995). Una técnica de ajuste por mínimos cuadrados para el análisis espectral de formas de línea directas y de modulación de frecuencia (PDF) (Informe). Departamento de Física, Universidad de Lund.
  7. ↑ "Función de Faddeeva (o Faddeyeva) - 7.10 Derivadas" . Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. 2010. Consultado el 23 de junio de 2022 .
  8. ↑ VN Faddeeva y NN Terent'ev: Tablas de valores de la funciónw(z)=exp⁡(−z2)(1+2i/π∫0zexp⁡(t2)dt){\displaystyle w(z)=\exp(-z^{2})(1+2i/{\sqrt {\pi }}\textstyle \int _{0}^{z}\exp(t^{2}){\text{d}}t)}para argumentos complejos. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit. , Moscú, 1954; traducción al inglés, Pergamon Press, Nueva York, 1961. Cita no verificada, copiada de Poppe y Wijers (1990).
  9. ↑ Primer resultado de búsqueda en Google Académico a fecha de octubre de 2012.
  10. ↑ Por ejemplo, en Al'pert, Space Science Reviews 6, 781 (1967), fórmula (3.13), con referencia a Faddeeva y Terent'ev.
  11. ^ Véanse las referencias 3 y 4 en Poppe y Wijers (1990).
  12. ↑ J. Humlicek, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 27, 437-444 (1982).
  13. ↑ GPM Poppe y CMJ Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38-46 (1990).
  14. ^ JAC Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497-1518 (1994).
  15. ↑ SM Abrarov y BM Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894-1902 (2011) y arXiv:1205.1768v1 (2012).
  16. ↑ "Aviso de derechos de autor del software" .Por lo tanto, no son gratuitos en el sentido del software libre y de código abierto.
  17. ↑ http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz
  18. ↑ "Fórmulas de colisión" . NASA . Consultado el 10 de abril de 2023 .
  19. ↑ Mofreh R. Zaghloul y Ahmed N. Ali, " Algoritmo 916: Cálculo de las funciones de Faddeyeva y Voigt ", ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Preimpresión disponible en arXiv:1106.0151 .
  20. 1 2 3 Paquete Faddeeva , implementación gratuita/de código abierto en C++, consultado el 13 de octubre de 2012.
  21. ↑ "Libcerf [ MLZ Scientific Computing Group ] " .
  22. ↑ "¿El código erf complejo de SciPy no es libre/de código abierto? (Trac #1741) · Problema #2260 · scipy/scipy" . GitHub .
  23. ↑ Xie, Hua-sheng (noviembre de 2019). "BO: Una herramienta unificada para el análisis de ondas de plasma e inestabilidades" . Computer Physics Communications . 244 : 343–371 . arXiv : 1901.06902 . Bibcode : 2019CoPhC.244..343X . doi : 10.1016/j.cpc.2019.06.014 . ISSN 0010-4655 . 
  24. ^ XIE, Hua-sheng (14 de abril de 2024), hsxie/gpdf , consultado el 15 de abril de 2024
  25. ↑ Xie, Huasheng (2024-07-01). "Cálculo rápido de la función de dispersión del plasma: aproximación racional y multipolar, y precisión mejorada" . AIP Advances . 14 (7). arXiv : 2404.18719 . Bibcode : 2024AIPA...14g5007X . doi : 10.1063/5.0216433 . ISSN 2158-3226 .