Factoriales descendentes y ascendentes

En matemáticas , el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente , ^{[ 1 ]} producto secuencial descendente o factorial inferior ) se define como el polinomio $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).\end{aligned}}}$$

El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer , polinomio de Pochhammer , factorial ascendente , ^{[ 1 ]} producto secuencial ascendente o factorial superior ) se define como $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

El valor de cada uno se toma como 1 (un producto vacío ) cuando${\displaystyle n=0}$Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales . ^{[ 2 ]}

El símbolo de Pochhammer , introducido por Leo August Pochhammer , es la notación${\displaystyle (x)_{n}}$donde n es un entero no negativo . Puede representar el factorial ascendente o descendente, y diferentes artículos y autores utilizan diferentes convenciones. El propio Pochhammer utilizó${\displaystyle (x)_{n}}$con otro significado, a saber, para denotar el coeficiente binomial${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$. ^{[ 3 ]}

En este artículo, el símbolo${\displaystyle (x)_{n}}$se utiliza para representar el factorial descendente, y el símbolo${\displaystyle x^{(n)}}$se utiliza para el factorial ascendente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria , ^{[ 4 ]} aunque las notaciones de subrayado y superposición de Knuth${\displaystyle x^{\underline {n}}}$y${\displaystyle x^{\overline {n}}}$son cada vez más populares. ^{[ 2 ] [ 5 ]} En la teoría de funciones especiales (en particular la función hipergeométrica ) y en la obra de referencia estándar de Abramowitz y Stegun , el símbolo de Pochhammer${\displaystyle (x)_{n}}$se utiliza para representar el factorial ascendente. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Cuando${\displaystyle x}$es un entero positivo, el factorial descendente${\displaystyle (x)_{n}}$da el número de n -permutaciones , secuencias de${\displaystyle n}$elementos distintos) de un${\displaystyle x}$conjunto de elementos, o equivalentemente el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño${\displaystyle n}$a un conjunto de tamaño${\displaystyle x}$. El factorial creciente${\displaystyle x^{(n)}}$da el número de particiones de un${\displaystyle n}$-elemento establecido en${\displaystyle x}$secuencias ordenadas (posiblemente vacías). ^{[ a ]}

Los primeros factoriales descendentes son los siguientes: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$

Los primeros factoriales ascendentes son los siguientes: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

Los coeficientes que aparecen en los desarrollos son números de Stirling de primera especie ; véase el apartado §  Coeficientes de conexión e identidades más adelante.

Cuando la variable${\displaystyle x}$es un entero positivo, el número${\displaystyle (x)_{n}}$es igual al número de n -permutaciones de un conjunto de x elementos , es decir, el número de maneras de elegir una lista ordenada de longitud${\displaystyle n}$que consta de elementos distintos extraídos de una colección de tamaño${\displaystyle x}$. Por ejemplo,${\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}$es el número de podios diferentes posibles, asignaciones de medallas de oro, plata y bronce en la carrera de ocho personas. Por otro lado,${\displaystyle x^{(n)}}$es "el número de maneras de organizar${\displaystyle n}$banderas en${\displaystyle x}$mástiles", ^{[ 8 ]} donde se deben usar todas las banderas y cada mástil puede tener cualquier número de banderas. Equivalentemente, este es el número de maneras de particionar un conjunto de tamaño${\displaystyle n}$(las banderas) en${\displaystyle x}$partes disjuntas (los mástiles), con un orden lineal en los elementos de cada parte (el orden de las banderas en cada mástil).

Los factoriales ascendentes y descendentes están simplemente relacionados entre sí: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}}$$Los factoriales descendentes y ascendentes de los números enteros están directamente relacionados con el factorial ordinario : $${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$Una identidad útil para las sumas de factoriales descendentes es ^{[ 9 ].}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(k)_{m}={\frac {(n)_{m+1}}{m+1}}.}$$Los factoriales ascendentes de semi-enteros están directamente relacionados con el factorial doble.${\displaystyle m!!=m(m-2)(m-4)\cdots }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$Los factoriales descendentes y ascendentes se pueden utilizar para expresar un coeficiente binomial : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$Por lo tanto, muchas identidades en los coeficientes binomiales se extienden a los factoriales decrecientes y crecientes.

Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unitario y, por lo tanto,${\displaystyle x}$puede tomarse como, por ejemplo, un número complejo , incluidos los enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de valor complejo .

Los factoriales descendentes y ascendentes están estrechamente relacionados con los números de Stirling . De hecho, al expandir el producto se revelan los números de Stirling de primera especie.$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$Y la relación inversa utiliza números de Stirling de segundo tipo.$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$Los factoriales descendentes y ascendentes están relacionados entre sí a través de los números de Lah.${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}x^{(k)}\end{aligned}}}$$Dado que los factoriales descendentes son una base para el anillo de polinomios , se puede expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales descendentes: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$Los coeficientes${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$se denominan coeficientes de conexión y tienen una interpretación combinatoria como el número de maneras de identificar (o "unir") k elementos de un conjunto de tamaño m y un conjunto de tamaño n .

También existe una fórmula de conexión para la razón de dos factoriales crecientes dada por $${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$Además, podemos expandir las leyes de exponentes generalizadas y las potencias negativas ascendentes y descendentes a través de las siguientes identidades: ^{[ 12 ] (p 52)}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$Finalmente, las fórmulas de duplicación y multiplicación para los factoriales descendentes y ascendentes proporcionan las siguientes relaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}&{\text{ for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)}&{\text{ for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right)&{\text{ for }}x&\neq 0\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

El factorial descendente aparece en una fórmula que representa polinomios utilizando el operador de diferencias finitas hacia adelante.${\displaystyle \operatorname {\Delta } f(x)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x+1)-f(x),}$que en forma es un análogo exacto del teorema de Taylor : Compárese la expansión en serie del cálculo umbral

$${\displaystyle \qquad f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{n!}}\operatorname {\Delta } _{x}^{n}f(x){\bigg \vert }_{x=0}(t)_{n}\qquad }$$

con la serie correspondiente del cálculo diferencial

$${\displaystyle \qquad f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d}{dx}}\right]^{n}f(x){\bigg \vert }_{x=0}t^{n}~.}$$

En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial descendente${\displaystyle (x)_{n}}$en el cálculo de diferencias finitas juega el papel de${\displaystyle x^{n}}$en cálculo diferencial. Para otro ejemplo, observe la similitud de${\displaystyle ~\operatorname {\Delta } (x)_{n}=n(x)_{n-1}~}$a${\displaystyle ~{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}~.}$

Una relación correspondiente se cumple para el factorial ascendente y el operador de diferencia regresiva.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo umbral . Una teoría general que abarca dichas relaciones, incluyendo las funciones factoriales descendentes y ascendentes, viene dada por la teoría de secuencias polinómicas de tipo binomial y secuencias de Sheffer . Los factoriales descendentes y ascendentes son secuencias de Sheffer de tipo binomial, como lo demuestran las siguientes relaciones:

$${\displaystyle \ {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}\ }$$

donde los coeficientes son los mismos que los del teorema del binomio .

De manera similar, la función generadora de los polinomios de Pochhammer equivale entonces a la exponencial umbral,

$${\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x},}$$

desde

$${\displaystyle \ \operatorname {\Delta } _{x}(1+t)^{x}=t\cdot (1+t)^{x}~.}$$

Una notación alternativa para el factorial ascendente $${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$ y para el factorial descendente $${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$ se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939), respectivamente. ^{[ 2 ]} Graham, Knuth y Patashnik ^{[ 12 ] (pp 47, 48)} proponen pronunciar estas expresiones como " x a la m ascendente" y " x a la m descendente", respectivamente.

Una notación alternativa para el factorial ascendente${\displaystyle x^{(n)}}$es el menos común${\displaystyle (x)_{n}^{+}~.}$Cuando${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$se utiliza para denotar el factorial ascendente, la notación${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$Se suele utilizar para el factorial descendente ordinario, para evitar confusiones. ^{[ 3 ]}

El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada símbolo de Pochhammer generalizado , que se utiliza en el análisis multivariante . También existe un análogo q , el símbolo q -Pochhammer .

Para cualquier función aritmética fija${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$y parámetros simbólicos x , t , productos factoriales generalizados relacionados de la forma

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

se puede estudiar desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados de primera especie definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de x en las expansiones de ( x ) _{n , f , t} y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling de primera especie , así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con los números f -armónicos, ^{[ 13 ].}$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

• Símbolo k de Pochhammer
• Identidad de Vandermonde

• Weisstein, Eric W. "Símbolo de Pochhammer" . MathWorld .