Valor esperado de incluir incertidumbre

En la teoría de decisiones y el análisis cuantitativo de políticas , el valor esperado incluyendo la incertidumbre ( EVIU ) es la diferencia esperada en el valor de una decisión basada en un análisis probabilístico versus una decisión basada en un análisis que ignora la incertidumbre . ^{[1] [2] [3]}

Todos los días se deben tomar decisiones en un contexto de incertidumbre omnipresente. Para la mayoría de las decisiones cotidianas, se utilizan diversas heurísticas para actuar de manera razonable en presencia de incertidumbre, a menudo sin pensar demasiado en su presencia. Sin embargo, para decisiones de gran importancia o decisiones en situaciones muy públicas, los encargados de tomar decisiones a menudo pueden beneficiarse de un tratamiento más sistemático de su problema de decisión, como por ejemplo mediante un análisis cuantitativo o un análisis de decisiones .

Al construir un modelo de decisión cuantitativo, un constructor de modelos identifica varios factores relevantes y los codifica como variables de entrada . A partir de estas entradas, se pueden calcular otras cantidades, llamadas variables de resultado , que proporcionan información para quien toma las decisiones. Por ejemplo, en el ejemplo detallado a continuación, quien toma las decisiones debe decidir cuánto tiempo antes de la salida programada de un vuelo debe partir hacia el aeropuerto (la decisión). Una variable de entrada es cuánto tiempo se tarda en llegar al estacionamiento del aeropuerto. A partir de esta y otras entradas, el modelo puede calcular la probabilidad de que quien toma las decisiones pierda el vuelo y cuál será el costo neto (en minutos) de varias decisiones.

Para tomar una decisión, una práctica muy común es ignorar la incertidumbre. Las decisiones se toman a través del análisis cuantitativo y la construcción de modelos utilizando simplemente una mejor estimación (valor único) para cada variable de entrada. Las decisiones se toman luego sobre la base de estimaciones puntuales calculadas . Sin embargo, en muchos casos, ignorar la incertidumbre puede llevar a decisiones muy deficientes, ya que las estimaciones de las variables de resultado suelen ser engañosas para el responsable de la toma de decisiones ^[4].

Una alternativa a ignorar la incertidumbre en los modelos de decisión cuantitativos es codificar explícitamente la incertidumbre como parte del modelo. Con este enfoque, se proporciona una distribución de probabilidad para cada variable de entrada, en lugar de una única estimación aproximada. La varianza en esa distribución refleja el grado de incertidumbre subjetiva (o falta de conocimiento) en la cantidad de entrada. Las herramientas de software utilizan entonces métodos como el análisis de Monte Carlo para propagar la incertidumbre a las variables resultantes, de modo que el responsable de la toma de decisiones obtenga una imagen explícita del impacto que tiene la incertidumbre en sus decisiones y, en muchos casos, pueda tomar una decisión mucho mejor como resultado.

Al comparar los dos enfoques (ignorar la incertidumbre frente a modelar la incertidumbre explícitamente), la pregunta natural que surge es qué diferencia realmente supone en la calidad de las decisiones tomadas. En la década de 1960, Ronald A. Howard propuso ^[5] una de esas medidas, el valor esperado de la información perfecta (EVPI), una medida de cuánto valdría la pena conocer los valores "verdaderos" de todas las variables de entrada inciertas. Si bien proporciona una medida muy útil de la sensibilidad a la incertidumbre, el EVPI no captura directamente la mejora real en las decisiones obtenidas al representar y razonar explícitamente sobre la incertidumbre. Para ello, Max Henrion, en su tesis doctoral, introdujo el valor esperado de incluir la incertidumbre (EVIU), el tema de este artículo.

Dejar

${\displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\text{la decisión que se toma, elegida del espacio}}D\\x\in X&{\text{la cantidad incierta, con valor verdadero en el espacio}}X\\U(d,x)&{\text{la función de utilidad}}\\f(x)&{\text{la distribución de probabilidad subjetiva previa (función de densidad) en}}x\end{array}}}$

Cuando no se incluye la incertidumbre, la decisión óptima se obtiene utilizando únicamente , el valor esperado de la cantidad incierta. Por lo tanto, la decisión que ignora la incertidumbre viene dada por: ${\displaystyle E[x]}$

${\displaystyle d_{iu}={\arg \max _{d}}~U(d,E[x]).}$

La decisión óptima teniendo en cuenta la incertidumbre es la decisión Bayes estándar que maximiza la utilidad esperada :

${\displaystyle d^{*}={\arg \max _{d}}{\int U(d,x)f(x)\,dx}.}$

La EVIU es la diferencia en la utilidad esperada entre estas dos decisiones:

${\displaystyle EVIU=\int _{X}[U(d^{*},x)-U(d_{iu},x)\right]f(x)\,dx.}$

La cantidad incierta x y la variable de decisión d pueden estar compuestas cada una de muchas variables escalares, en cuyo caso los espacios X y D son cada uno espacios vectoriales.

El diagrama de la derecha es un diagrama de influencia para decidir con qué antelación debe salir de casa el decisor para coger un vuelo en el aeropuerto. La decisión única, en el rectángulo verde, es el número de minutos que decidirá salir antes de la hora de salida del avión. En el diagrama aparecen cuatro variables inciertas en óvalos de color cian: el tiempo necesario para conducir desde casa hasta el aparcamiento del aeropuerto (en minutos), el tiempo necesario para llegar desde el aparcamiento hasta la puerta de embarque (en minutos), el tiempo que debe estar en la puerta de embarque antes de la salida y la pérdida (en minutos) que se incurre si se pierde el vuelo. Cada uno de estos nodos contiene una distribución de probabilidad, a saber:

Tiempo_para_llegar_al_aeropuerto := LogNormal (mediana:60,desviación_gs:1.3)
Tiempo desde el estacionamiento hasta la puerta: = LogNormal (mediana: 10, gsdev: 1,3)
Tiempo de puerta antes de la salida: Triangular (mín.: 20, modo: 30, máx.: 40)
Pérdida_si_el_avión_no_coloca:= LogNormal (mediana:400, desviación estándar:100)

Cada una de estas distribuciones se considera estadísticamente independiente . La distribución de probabilidad de la primera variable incierta, Time_to_drive_to_airport , con una mediana de 60 y una desviación estándar geométrica de 1,3, se representa en este gráfico:

El modelo calcula el costo (la variable hexagonal roja) como la cantidad de minutos (o minutos equivalentes) que se necesitan para abordar el avión. Si uno llega demasiado tarde, perderá el avión y tendrá que esperar el próximo vuelo (utilidad negativa). Si uno llega demasiado temprano, tendrá que esperar innecesariamente mucho tiempo para tomar el vuelo.

Los modelos que utilizan EVIU pueden utilizar una función de utilidad o, equivalentemente, pueden utilizar una función de pérdida , en cuyo caso la función de utilidad es simplemente el negativo de la función de pérdida . En cualquier caso, la EVIU será positiva. La principal diferencia es que con una función de pérdida, la decisión se toma minimizando la pérdida en lugar de maximizar la utilidad. El ejemplo aquí utiliza una función de pérdida , Cost.

Las definiciones para cada una de las variables calculadas son las siguientes:

Tiempo_desde_casa_hasta_puerta_de_aterrizaje := Tiempo_hasta_conducir_hasta_aeropuerto + Tiempo_desde_estacionamiento_hasta_puerta_de_aterrizaje + Pérdida_si_pierde_el_avión
Valor por minuto en casa := 1

Costo := Valor_por_minuto_en_casa * Tiempo_que_salgo_de_casa +
           (Si Tiempo_de_salida_de_casa < Tiempo_de_casa_a_puerta Entonces Pérdida_si_pierdo_el_avión De lo contrario 0)

El siguiente gráfico muestra el valor esperado teniendo en cuenta la incertidumbre (la curva azul suave) frente a la utilidad esperada ignorando la incertidumbre, graficada como una función de la variable de decisión.

Cuando se ignora la incertidumbre, se actúa como si el vuelo se realizara con seguridad siempre que se salga al menos 100 minutos antes del vuelo, y se perderá con seguridad si se sale más tarde de esa hora. Como se actúa como si todo fuera seguro, la acción óptima es salir exactamente 100 minutos (o 100 minutos, 1 segundo) antes del vuelo.

Si se tiene en cuenta la incertidumbre, el valor esperado se suaviza (curva azul) y la acción óptima es salir 140 minutos antes del vuelo. La curva del valor esperado, con una decisión tomada 100 minutos antes del vuelo, muestra que el coste esperado si se ignora la incertidumbre es de 313,7 minutos, mientras que el coste esperado si se sale 140 minutos antes del vuelo es de 151 minutos. La diferencia entre ambos es el EVIU:

${\displaystyle EVIU=313,7-151=162,7{\text{ minutos}}}$

En otras palabras, si se tiene en cuenta explícitamente la incertidumbre al tomar la decisión, se obtendrá un ahorro promedio de 162,7 minutos.

En el contexto del control lineal-cuadrático centralizado , con incertidumbre aditiva en la ecuación de evolución pero sin incertidumbre sobre los valores de los coeficientes en esa ecuación, la solución óptima para las variables de control teniendo en cuenta la incertidumbre es la misma que la solución ignorando la incertidumbre. Esta propiedad, que da un valor esperado cero de incluir la incertidumbre, se llama equivalencia de certeza .

Tanto EVIU como EVPI comparan el valor esperado de la decisión de Bayes con otra decisión tomada sin incertidumbre. Para EVIU, esta otra decisión se toma cuando se ignora la incertidumbre , aunque está presente, mientras que para EVPI , esta otra decisión se toma después de que se elimina la incertidumbre al obtener información perfecta sobre  x .

El EVPI es el costo esperado de estar incierto acerca de x , mientras que el EVIU es el costo esperado adicional de asumir que uno está seguro.

El EVIU, al igual que el EVPI, proporciona el valor esperado en términos de las unidades de la función de utilidad.

• Valor esperado de la información de la muestra
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