Valor esperado de la información perfecta

En la teoría de la decisión , el valor esperado de la información perfecta ( VEIP ) es el precio que uno estaría dispuesto a pagar para obtener acceso a información perfecta . ^{[ 1 ]} Una disciplina común que utiliza el concepto de VEIP es la economía de la salud . En ese contexto, y al considerar la decisión de adoptar o no una nueva tecnología de tratamiento, siempre existe cierto grado de incertidumbre en torno a la decisión, ya que siempre existe la posibilidad de que la decisión resulte errónea. El análisis del valor esperado de la información perfecta intenta medir el costo esperado de esa incertidumbre, que “puede interpretarse como el valor esperado de la información perfecta (VEIP), puesto que la información perfecta puede eliminar la posibilidad de tomar una decisión equivocada”, al menos desde una perspectiva teórica. ^{[ 2 ]}

El problema se modela con una matriz de pagos R _ij en la que el índice de fila i describe una elección que debe hacer el jugador, mientras que el índice de columna j describe una variable aleatoria que el jugador aún desconoce, con probabilidad p _j de estar en el estado j . Si el jugador debe elegir i sin conocer el valor de j , la mejor elección es la que maximiza el valor monetario esperado :

${\displaystyle {\mbox{EMV}}=\max _{i}\sum _{j}p_{j}R_{ij}}$

dónde

${\displaystyle \sum _ {j}p_ {j} R_ {ij}}$

es la recompensa esperada por la acción i, es decir, el valor esperado , y

${\displaystyle {\mbox{EMV}}=\max _{i}}$

está eligiendo el máximo de estas expectativas para todas las acciones disponibles. Por otro lado, con conocimiento perfecto de j , el jugador puede elegir un valor de i que optimice la expectativa para ese j específico . Por lo tanto, el valor esperado dada la información perfecta es

${\displaystyle {\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}=\sum _{j}p_{j}(\max _{i}R_{ij}),}$

dónde${\displaystyle p_{j}}$es la probabilidad de que el sistema esté en el estado j , y${\displaystyle R_{ij}}$es la recompensa si se sigue la acción i mientras el sistema está en el estado j . Aquí,${\displaystyle (\max _ {i}R_ {ij})}$indica la mejor opción de acción i para cada estado j .

El valor esperado de la información perfecta es la diferencia entre estas dos cantidades,

${\displaystyle {\mbox{EVPI}}={\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}-{\mbox{EMV}}.}$

Esta diferencia describe, en términos de expectativa, cuánto mayor valor puede esperar obtener el jugador al conocer j y elegir el mejor i para ese j , en comparación con elegir un valor de i antes de conocer j . Dado que EV|PI es necesariamente mayor o igual que EMV, EVPI siempre es no negativo.

El EVPI proporciona un criterio para evaluar a los pronosticadores comunes con información imperfecta. El EVPI puede utilizarse para rechazar propuestas costosas: si se ofrece conocimiento a un precio superior al EVPI, es preferible rechazar la oferta. Sin embargo, resulta menos útil al decidir si aceptar una oferta de pronóstico, ya que es necesario conocer la calidad de la información que se está adquiriendo.

Configuración:

Supongamos que usted va a invertir en uno solo de tres instrumentos de inversión: acciones, fondos mutuos o certificados de depósito (CD). Supongamos además que el mercado tiene un 50 % de probabilidad de subir, un 30 % de probabilidad de mantenerse estable y un 20 % de probabilidad de bajar. Si el mercado sube, la inversión en acciones generará $1500 y el fondo mutuo $900. Si el mercado se mantiene estable, la inversión en acciones generará $300 y el fondo mutuo $600. Si el mercado baja, la inversión en acciones perderá $800 y el fondo mutuo $200. El certificado de depósito generará $500 independientemente de la fluctuación del mercado.

Pregunta:

¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta?

Solución:

Aquí está la matriz de pagos:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1500&300&-800\\900&600&-200\\500&500&500\end{bmatrix}}}$

El vector de probabilidad es:

${\displaystyle p={\begin{bmatrix}0.5\\0.3\\0.2\end{bmatrix}}}$

Expectativas para cada vehículo (${\displaystyle Rp}$):

${\displaystyle {\mbox{Exp}}_{\text{stock}}=0.5\times 1500+0.3\times 300+0.2\times (-800)=680}$

${\displaystyle {\mbox{Exp}}_{\text{fondo mutuo}}=0.5\times 900+0.3\times 600+0.2\times (-200)=590}$

${\displaystyle {\mbox{Exp}}_{\text{certificado de depósito}}=0.5\times 500+0.3\times 500+0.2\times 500=500}$

El instrumento que ofrece mayores expectativas es la inversión en acciones. Al desconocer la dirección que tomará el mercado (solo conociendo la probabilidad de cada dirección), esperamos obtener las mayores ganancias con este instrumento.

De este modo,

${\displaystyle {\mbox{EMV}}=680}$

Por otro lado, consideremos qué pasaría si supiéramos de antemano hacia dónde se dirigiría el mercado. Conociendo la dirección del mercado, probablemente tomaríamos una decisión de inversión diferente.

Expectativa de maximizar las ganancias dado el estado del mercado:

${\displaystyle {\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}=0.5\times 1500+0.3\times 600+0.2\times 500=1030}$

Es decir, en función de la dirección que tome cada mercado, elegimos el instrumento de inversión que maximiza el beneficio.

Por eso,

${\displaystyle {\mbox{EVPI}}={\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}-{\mbox{EMV}}=1030-680=350.}$

Conclusión:

Saber hacia dónde se dirigirá el mercado (es decir, tener información perfecta) vale 350 dólares.

Discusión:

Si alguien vendiera información que garantizara la predicción precisa de la dirección futura del mercado, solo la compraríamos si el precio fuera inferior a 350 dólares. Si el precio fuera superior a 350 dólares, no la compraríamos; si fuera inferior a 350 dólares, sí la compraríamos. Si el precio fuera exactamente de 350 dólares, nuestra decisión sería inútil.

Supongamos que el precio de la información era de $349.99 y la compramos. Entonces, esperaríamos ganar 1030 - 349.99 = 680.01 > 680. Por lo tanto, al comprar la información, ganamos $0.01 más que si no la hubiéramos comprado.

Supongamos que el precio de la información era de $350.01 y la compramos. Entonces, esperaríamos ganar 1030 - 350.01 = 679.99 < 680. Por lo tanto, al comprar la información perdimos $0.01 en comparación con no haberla comprado.

Supongamos que el precio de la información era de $350.00 y la compramos. Entonces, esperaríamos ganar 1030 - 350.00 = 680.00 = 680. Por lo tanto, al comprar la información no ganamos ni perdimos dinero en comparación con no comprarla.

Nota: Como ejemplo práctico, existe un costo asociado al uso del dinero para comprar artículos (el valor temporal del dinero), que también debe tenerse en cuenta.

Existen varias características de la EVPI que siempre se cumplen:

• El valor de la información nunca puede ser menor que cero, ya que quien toma la decisión siempre puede ignorar la información adicional y tomar una decisión como si dicha información no estuviera disponible.
• Ninguna otra actividad de recopilación/intercambio de información puede ser más valiosa que la cuantificada por EVPI.
• En un problema de decisión con dos opciones y dos resultados posibles para la variable aleatoria, el EVPI no puede exceder la mitad de la diferencia máxima en la recompensa bajo cada resultado. ^{[ 3 ]}

• Valor esperado de la información de la muestra
• Valor esperado incluyendo la incertidumbre