Representación eje-ángulo

Supongamos que estás de pie en el suelo y eliges la dirección de la gravedad como la dirección negativa del eje z . Entonces , si giras hacia la izquierda, rotarás -π / 2 radianes (o -90° ) alrededor del eje -z . Viendo la representación eje-ángulo como un par ordenado , esto sería $${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

El ejemplo anterior se puede representar como un vector de rotación con una magnitud de ⁠ π / 2 ⁠ que apunta en la dirección z ,$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

El mapa exponencial efectúa una transformación de la representación de ejes y ángulos de las rotaciones a matrices de rotación , $${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

Esencialmente, mediante el uso de una expansión de Taylor se deriva una relación de forma cerrada entre estas dos representaciones. Dado un vector unitario${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$representando el eje de rotación unitario y un ángulo, θ ∈ R , una matriz de rotación equivalente R se da de la siguiente manera, donde K es la matriz de producto vectorial de ω , es decir, Kv = ω × v para todos los vectores v ∈ R ³ , $${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Debido a que K es antisimétrico y la suma de los cuadrados de sus entradas sobre la diagonal es 1, el polinomio característico P ( t ) de K es P ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t ) . Dado que, por el teorema de Cayley-Hamilton , P ( K ) = 0, esto implica que $${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$ Como resultado, K ⁴ = – K ² , K ⁵ = K , K ⁶ = K ² , K ⁷ = – K .

Este patrón cíclico continúa indefinidamente, por lo que todas las potencias superiores de K pueden expresarse en términos de K y K ² . Por lo tanto, de la ecuación anterior se deduce que $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$ eso es, $${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

mediante la fórmula de la serie de Taylor para funciones trigonométricas .

Esta es una derivación algebraica de Lie, en contraste con la geométrica en el artículo Fórmula de rotación de Rodrigues . ^{[ 1 ]}

Debido a la existencia del mapa exponencial mencionado anteriormente, el vector unitario ω que representa el eje de rotación y el ángulo θ a veces se denominan coordenadas exponenciales de la matriz de rotación R.

Sea K la matriz de 3  ×  3 que realiza el producto vectorial con el eje de rotación ω : K ( v ) = ω × v para todos los vectores v en lo que sigue.

Para recuperar la representación eje-ángulo de una matriz de rotación , calcule el ángulo de rotación a partir de la traza de la matriz de rotación : $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$ y luego usar eso para encontrar el eje normalizado, $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

dónde${\displaystyle R_{ij}}$es el componente de la matriz de rotación,${\displaystyle R}$, en el${\displaystyle i}$-ésima fila y${\displaystyle j}$-ésima columna.

Esta fórmula no funciona para${\displaystyle \omega }$si R es simétrico. Porque esto solo es posible cuando${\displaystyle \theta =k\pi }$para algún número entero${\displaystyle k}$, por lo tanto, seno(${\displaystyle \theta }$) = 0, lo que provoca una división por cero en la fórmula. Sin embargo, el límite de la fórmula para${\displaystyle \omega }$, como${\displaystyle \theta \to k\pi }$, da el valor correcto para${\displaystyle \omega }$. Para el caso general el${\displaystyle \omega }$También se puede encontrar utilizando el espacio nulo de RI , ver matriz de rotación#Determinación del eje .

La representación del eje-ángulo no es única ya que una rotación de${\displaystyle -\theta }$acerca de${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ es lo mismo que una rotación de${\displaystyle \theta }$acerca de${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$. Por supuesto, sumando cualquier múltiplo entero de 2π a${\displaystyle \theta }$también dará como resultado la misma rotación; un método mejor es restringir${\displaystyle \theta }$al intervalo [0, 2π) o (-π, π].

Si${\displaystyle \theta }$Se busca para un conocido${\displaystyle (R,\omega )}$par, entonces debe ser consistente con la orientación de la${\displaystyle \omega }$eje (en otras palabras, debe estar en el cuadrante apropiado del círculo unitario definido por${\displaystyle \sin \theta }$y${\displaystyle \cos \theta }$). Considerando que la matriz de producto cruzado${\displaystyle \mathbf {K} }$También está disponible para un determinado${\displaystyle \omega }$, esta consistencia se puede asegurar generalizando la fórmula de traza anterior de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \theta ={\rm {atan2}}(-{\rm {Tr}}(\mathbf {K} R),{\rm {Tr}}(R)-1),}$$ donde atan2 es la función arcotangente de dos argumentos, que proporciona el signo correcto para${\displaystyle \theta }$en el${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$intervalo. Este método resuelve la ambigüedad de signo que existe en los términos fuera del eje de${\displaystyle R}$.

El logaritmo matricial de la matriz de rotación R es $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

Se produce una excepción cuando R tiene autovalores iguales a −1 . En este caso, el logaritmo no es único. Sin embargo, incluso en el caso en que θ = π, la norma de Frobenius del logaritmo es $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$ Dadas las matrices de rotación A y B , $${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$ es la distancia geodésica en la variedad 3D de matrices de rotación.

Para rotaciones pequeñas, el cálculo anterior de θ puede ser numéricamente impreciso, ya que la derivada de arccos tiende a infinito cuando θ → 0. En ese caso, los términos fuera del eje proporcionarán mejor información sobre θ, puesto que, para ángulos pequeños, R ≈ I + θ K. (Esto se debe a que estos son los dos primeros términos de la serie de Taylor para exp( θ K ) .)

Esta formulación también presenta problemas numéricos en θ = π , donde los términos fuera del eje no proporcionan información sobre el eje de rotación (que aún se define salvo una ambigüedad de signo). En ese caso, debemos reconsiderar la fórmula anterior.

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$ En θ = π , tenemos $${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$ y así dejar $${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$ por lo tanto, los términos diagonales de B son los cuadrados de los elementos de ω y los signos (salvo ambigüedad de signo) se pueden determinar a partir de los signos de los términos fuera del eje de B. 

La siguiente expresión transforma las coordenadas eje-ángulo en versores ( cuaterniones unitarios ): $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

Dado un versor q = r + v representado por su escalar r y su vector v , las coordenadas eje-ángulo se pueden extraer utilizando lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Una expresión numéricamente más estable del ángulo de rotación utiliza la función atan2 :$${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$ donde | v | es la norma euclidiana del vector tridimensional v .