Espacio Esakia

En matemáticas , los espacios de Esakia son espacios topológicos ordenados especiales introducidos y estudiados por Leo Esakia en 1974. ^{[ 1 ]} Los espacios de Esakia desempeñan un papel fundamental en el estudio de las álgebras de Heyting , principalmente en virtud de la dualidad de Esakia : la equivalencia dual entre la categoría de álgebras de Heyting y la categoría de espacios de Esakia.

Para un conjunto parcialmente ordenado ( X , ≤) y para x ∈ X , sea ↓ x = { y ∈ X : y ≤ x } y sea ↑ x = { y ∈ X : x ≤ y }. Además, para A ⊆ X , sea ↓ A = { y ∈ X : y ≤ x para algún x ∈ A } y ↑ A = { y ∈ X : y ≥ x para algún x ∈ A }.    

Un espacio de Esakia es un espacio de Priestley ( X , τ ,≤) tal que para cada subconjunto abierto y cerrado C del espacio topológico ( X , τ ) , el conjunto ↓ C también es abierto y cerrado.

Existen varias formas equivalentes de definir los espacios de Esakia.

Teorema: ^{[ 2 ]} Dado que ( X , τ ) es un espacio de Stone , las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) ( X , τ ,≤) es un espacio de Esakia.

(ii) ↑ x es cerrado para cada x ∈ X y ↓ C es abierto y cerrado para cada C abierto y cerrado ⊆ X .

(iii) ↓ x es cerrado para cada x ∈ X y ↑cl( A ) = cl(↑ A ) para cada A ⊆ X (donde cl denota el cierre en X ).

(iv) ↓ x es cerrado para cada x ∈ X , el conjunto cerrado más pequeño que contiene un upset es un upset, y el upset más pequeño que contiene un conjunto cerrado es cerrado.

Dado que los espacios de Priestley pueden describirse en términos de espacios espectrales , la propiedad de Esakia puede expresarse en la terminología de espacios espectrales de la siguiente manera: El espacio de Priestley correspondiente a un espacio espectral X es un espacio de Esakia si y solo si la clausura de cada subconjunto construible de X es construible. ^{[ 3 ]}

Sean ( X ,≤) y ( Y ,≤) conjuntos parcialmente ordenados y sea f  : X → Y una aplicación que preserva el orden . La aplicación f es un morfismo acotado (también conocido como p-morfismo ) si para cada x ∈ X e y ∈ Y , si f( x )≤ y , entonces existe z ∈ X tal que x ≤ z y f( z ) = y .

Teorema: ^{[ 4 ]} Las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) f es un morfismo acotado.

(2) f(↑ x ) = ↑f( x ) para cada x ∈ X .

(3) f ^{− 1} (↓ y ) = ↓f ^{− 1} ( y ) para cada y ∈ Y .

Sean ( X , τ , ≤) y ( Y , τ ′ , ≤) espacios de Esakia y sea f  : X → Y una aplicación. La aplicación f se denomina morfismo de Esakia si es un morfismo continuo y acotado.

• Esakia, L. (1974). Modelos topológicos de Kripke. Matemáticas soviéticas. Dokl. , 15 147–151.
• Esakia, L. (1985). Álgebras de Heyting I. Teoría de la dualidad (en ruso) . Metsniereba, Tbilisi.
• Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol.  35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723.