Dualidad de Esakia

En matemáticas , la dualidad de Esakia es un teorema que establece una correspondencia entre las álgebras de Heyting y ciertos espacios topológicos ordenados llamados espacios de Esakia ; más precisamente, afirma que la categoría de álgebras de Heyting es dualmente equivalente a la categoría de espacios de Esakia.

Sea Esa la categoría de espacios de Esakia y morfismos de Esakia .

Sea $H$ un álgebra de Heyting, $X$ el conjunto de filtros primos de $H$ , y $\leq$ la inclusión de teoría de conjuntos en los filtros primos de $H.$ Además, para cada $a \in H$ , sea $φ (a) = {x \in X : a \in x$ }, y sea $τ$ la topología en $X$ generada por ${φ (a), X - φ (a) : a \in H$ }.

Teorema: ^{[ 1 ]} $(X, τ, \leq)$ es un espacio de Esakia, llamado dual de Esakia de $H$ . Además, $φ$ es un isomorfismo de álgebra de Heyting de $H$ sobre el álgebra de Heyting de todos los conjuntos abiertos clopen de $($ $X$ $,$ $τ$ $,\leq)$ . Además, cada espacio de Esakia es isomorfo en Esa al dual de Esakia de alguna álgebra de Heyting.

Esta representación de las álgebras de Heyting mediante espacios de Esakia es funtorial y produce una equivalencia dual entre las categorías.

Homomorfismos de álgebras de Heyting y álgebras de Heyting homomorfismos

y

Espacios de Esakia y morfismos de Esakia.

Teorema: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} HA es dualmente equivalente a Esa .

La dualidad también puede expresarse en términos de espacios espectrales , donde dice que la categoría de álgebras de Heyting es dualmente equivalente a la categoría de espacios de Heyting. ^{[ 4 ]}

Véase también

Teoría de la dualidad para retículos distributivos

Referencias

1 2 Esakia, Leo (1974). "Modelos topológicos de Kripke". Soviet Math . 15 (1): 147– 151.
↑ Esakia, L (1985). "Heyting Algebras I. Duality Theory". Metsniereba, Tbilisi .
↑ Bezhanishvili, N. (2006). Retículos de lógicas modales intermedias y cilíndricas (PDF) . Instituto de Lógica, Lenguaje y Computación de Ámsterdam (ILLC). ISBN 978-90-5776-147-8.
↑ Véase la sección 8.3 en * Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723.

[:0-1] 1 2 Esakia, Leo (1974). "Modelos topológicos de Kripke". Soviet Math . 15 (1): 147– 151.

[2] Esakia, L (1985). "Heyting Algebras I. Duality Theory". Metsniereba, Tbilisi .

[3] Bezhanishvili, N. (2006). Retículos de lógicas modales intermedias y cilíndricas (PDF) . Instituto de Lógica, Lenguaje y Computación de Ámsterdam (ILLC). ISBN 978-90-5776-147-8.

[4] Véase la sección 8.3 en * Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723.

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