Equidisección

Una disección de un polígono P es un conjunto finito de triángulos que no se superponen y cuya unión es todo P. Una disección en n triángulos se llama n -disección, y se clasifica como disección par o impar según si n es par o impar . ^{[ 5 ]}

Una equidisección es una disección en la que cada triángulo tiene la misma área. Para un polígono P , el conjunto de todos los n para los cuales existe una n -equidisección de P se denomina espectro de P y se denota por S ( P ). Un objetivo teórico general es calcular el espectro de un polígono dado. ^{[ 6 ]}

Una disección se denomina simplicial si los triángulos se unen únicamente a lo largo de aristas comunes. Algunos autores se centran en las disecciones simpliciales, especialmente en la literatura secundaria, ya que son más fáciles de manejar. Por ejemplo, el enunciado habitual del lema de Sperner se aplica solo a las disecciones simpliciales. A menudo, las disecciones simpliciales se denominan triangulaciones , aunque los vértices de los triángulos no se limitan a los vértices o aristas del polígono. Por consiguiente, las equidisecciones simpliciales también se denominan triangulaciones de igual área . ^{[ 7 ]}

Los términos pueden extenderse a politopos de dimensiones superiores : una equidisección es un conjunto de símplexes que tienen el mismo n -volumen. ^{[ 8 ]}

Es fácil encontrar una n -equidisección de un triángulo para todo n . Como resultado, si un polígono tiene una m- equidisección, entonces también tiene una mn -equidisección para todo n . De hecho, a menudo el espectro de un polígono consiste precisamente en los múltiplos de algún número m ; en este caso, tanto el espectro como el polígono se denominan principales y el espectro se denota${\displaystyle \langle m\rangle }$. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, el espectro de un triángulo es${\displaystyle \langle 1\rangle }$. Un ejemplo sencillo de polígono no principal es el cuadrilátero con vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); su espectro incluye 2 y 3 pero no 1. ^{[ 9 ]}

Las transformaciones afines del plano son útiles para estudiar equidisecciones, incluyendo traslaciones , escalado uniforme y no uniforme , reflexiones , rotaciones , cortes y otras semejanzas y mapeos lineales . Dado que una transformación afín conserva las líneas rectas y las proporciones de áreas, convierte equidisecciones en equidisecciones. Esto significa que se puede aplicar cualquier transformación afín a un polígono que le dé una forma más manejable. Por ejemplo, es común elegir coordenadas tales que tres de los vértices de un polígono sean (0, 1), (0, 0) y (1, 0). ^{[ 10 ]}

El hecho de que las transformaciones afines preserven las equidisecciones también implica que ciertos resultados pueden generalizarse fácilmente. Todos los resultados enunciados para un polígono regular también son válidos para polígonos regulares afines ; en particular, los resultados relativos al cuadrado unitario también se aplican a otros paralelogramos, incluidos rectángulos y rombos . Todos los resultados enunciados para polígonos con coordenadas enteras también se aplican a polígonos con coordenadas racionales , o a polígonos cuyos vértices se encuentran en cualquier otra red . ^{[ 11 ]}

El teorema de Monsky establece que un cuadrado no tiene equidisecciones impares, por lo que su espectro es${\displaystyle \langle 2\rangle }$[ ^{1 ]} En términos más generales, se sabe que los polígonos y poliominos con simetría central no tienen equidisecciones impares. ^{[ 12 ]} Una conjetura de Sherman K. Stein propone que ningún polígono especial tiene una equidisección impar, donde un polígono especial es aquel cuyas clases de equivalencia de aristas paralelas suman cada una el vector cero . Los cuadrados, los polígonos con simetría central , ^los poliominos y los polihexaedros son todos polígonos especiales. ^{[ 13 ]}

Para n > 4, el espectro de un n -gono regular es${\displaystyle \langle n\rangle }$. ^{[ 14 ]} Para n > 1, el espectro de un cubo n -dimensional es${\displaystyle \langle n!\rangle }$, donde n ! es el factorial de n . ^{[ 15 ]} y el espectro de un politopo cruzado n - dimensional es${\displaystyle \langle 2^{n-1}\rangle }$. Este último se deduce mutatis mutandis de la demostración para el octaedro en ^{[ 2 ]}

Sea T ( a ) un trapecio donde a es la razón de las longitudes de los lados paralelos. Si a es un número racional , entonces T ( a ) es principal. De hecho, si r / s es una fracción en su mínima expresión, entonces${\displaystyle S(T(r/s))=\langle r+s\rangle }$. ^{[ 16 ]} De manera más general, todos los polígonos convexos con coordenadas racionales pueden ser equidiseccionados, ^{[ 17 ]} aunque no todos ellos son principales; véase el ejemplo anterior de un cometa con un vértice en (3/2, 3/2).

En el otro extremo, si a es un número trascendente , entonces T ( a ) no tiene equidisección. De manera más general, ningún polígono cuyas coordenadas de vértice sean algebraicamente independientes tiene equidisección. ^{[ 18 ]} Esto significa que casi todos los polígonos con más de tres lados no pueden ser equidiseccionados. Aunque la mayoría de los polígonos no pueden dividirse en triángulos de igual área, todos los polígonos pueden dividirse en cuadriláteros de igual área. ^{[ 19 ]}

Si a es un número irracional algebraico , entonces T ( a ) es un caso más complejo. Si a es algebraico de grado 2 o 3 ( cuadrático o cúbico), y todos sus conjugados tienen partes reales positivas , entonces S ( T ( a )) contiene todos los n suficientemente grandes tales que n /(1 + a ) es un entero algebraico . ^{[ 20 ]} Se conjetura que una condición similar que involucra polinomios estables puede determinar si el espectro es vacío o no para números algebraicos a de todos los grados. ^{[ 21 ]}

Richman quería incluir una pregunta de geometría en el examen y notó que era difícil encontrar (lo que ahora se llama) una equidisección impar de un cuadrado. Richman demostró para sí mismo que era imposible para 3 o 5, que la existencia de una n -equidisección implica la existencia de una ( n + 2) -disección, y que ciertos cuadriláteros arbitrariamente cercanos a ser cuadrados tienen equidisecciones impares. ^{[ 23 ]} Sin embargo, no resolvió el problema general de las equidisecciones impares de cuadrados y lo omitió del examen. El amigo de Richman, John Thomas, se interesó en el problema; en su recuerdo,

Todos aquellos a quienes se les planteó el problema (yo incluido) dijeron algo como: «Ese no es mi campo, pero la pregunta seguramente ya se ha considerado y la respuesta probablemente sea bien conocida». Algunos creían haberla visto, pero no recordaban dónde. Me interesó porque me recordó al lema de Sperner en topología , que tiene una ingeniosa demostración de paridad. ^{[ 24 ]}

Thomas demostró que una equidisección impar era imposible si las coordenadas de los vértices eran números racionales con denominadores impares. Presentó esta demostración a la revista Mathematics Magazine , pero quedó en suspenso.

"La reacción del árbitro fue predecible. Pensó que el problema podría ser bastante fácil (aunque no pudo resolverlo) y posiblemente era bien conocido (aunque no pudo encontrar ninguna referencia al respecto)." ^{[ 25 ]}

La pregunta se planteó como un problema avanzado en la revista American Mathematical Monthly ( Richman y Thomas, 1967 ) . Al no presentarse ninguna otra solución, la demostración se publicó en Mathematics Magazine ( Thomas, 1968 ) , tres años después de haber sido escrita. Monsky (1970) se basó en el argumento de Thomas para demostrar que no existen equidisecciones impares de un cuadrado, sin ninguna suposición de racionalidad. ^{[ 25 ]}

La demostración de Monsky se basa en dos pilares: un resultado combinatorio que generaliza el lema de Sperner y un resultado algebraico , la existencia de una valuación 2-ádica en los números reales. Una coloración ingeniosa del plano implica entonces que en todas las disecciones del cuadrado, al menos un triángulo tiene un área con un denominador par, y por lo tanto todas las equidisecciones deben ser pares. La esencia del argumento ya se encuentra en Thomas (1968) , pero Monsky (1970) fue el primero en utilizar una valuación 2-ádica para cubrir disecciones con coordenadas arbitrarias. ^{[ 26 ]}

La primera generalización del teorema de Monsky fue Mead (1979) , quien demostró que el espectro de un cubo n -dimensional es${\displaystyle \langle n!\rangle }$. La demostración es revisada por Bekker y Netsvetaev (1998) .

La generalización a polígonos regulares llegó en 1985, durante un seminario de geometría impartido por G. D. Chakerian en la UC Davis . Elaine Kasimatis , una estudiante de posgrado, "buscaba algún tema algebraico que pudiera introducir" en el seminario. ^{[ 6 ]} Sherman Stein sugirió disecciones del cuadrado y del cubo: "un tema que Chakerian admitió a regañadientes que era geométrico". ^{[ 6 ]} Después de su charla, Stein preguntó sobre pentágonos regulares. Kasimatis respondió con Kasimatis (1989) , demostrando que para n > 5, el espectro de un n -gono regular es${\displaystyle \langle n\rangle }$Su demostración se basa en la demostración de Monsky, extendiendo la valuación p -ádica a los números complejos para cada divisor primo de n y aplicando algunos resultados elementales de la teoría de campos ciclotómicos . También es la primera demostración que utiliza explícitamente una transformación afín para establecer un sistema de coordenadas conveniente. ^{[ 27 ]} Kasimatis y Stein (1990) luego plantearon el problema de encontrar el espectro de un polígono general, introduciendo los términos espectro y principal . ^{[ 6 ]} Demostraron que casi todos los polígonos carecen de equidisecciones y que no todos los polígonos son principales. ^{[ 2 ]}

Kasimatis y Stein (1990) iniciaron el estudio de los espectros de dos generalizaciones particulares de cuadrados: trapecios y cometas. Los trapecios han sido estudiados posteriormente por Jepsen (1996) , Monsky (1996) y Jepsen y Monsky (2008) . Las cometas han sido estudiadas posteriormente por Jepsen, Sedberry y Hoyer (2009) . Los cuadriláteros generales han sido estudiados en Su y Ding (2003) . Varios artículos han sido publicados en la Universidad Normal de Hebei , principalmente por el profesor Ding Ren y sus estudiantes Du Yatao y Su Zhanjun. ^{[ 28 ]}

Intentando generalizar los resultados para n -gonos regulares para n par , Stein (1989) conjeturó que ningún polígono centralmente simétrico tiene una equidisección impar, y demostró los casos n = 6 y n = 8. La conjetura completa fue demostrada por Monsky (1990) . Una década después, Stein realizó lo que él describe como "un avance sorprendente", conjeturando que ningún poliomino tiene una equidisección impar. Demostró el resultado de un poliomino con un número impar de cuadrados en Stein (1999) . La conjetura completa fue demostrada cuando Praton (2002) trató el caso par.

El tema de las equidisecciones se ha popularizado recientemente gracias a los tratamientos publicados en The Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ) , un volumen de las Carus Mathematical Monographs ( Stein & Szabó 2008 ) y la cuarta edición de Proofs from THE BOOK ( Aigner & Ziegler 2010 ) .