Elemento de un conjunto

En matemáticas , un elemento (o miembro ) de un conjunto es cualquiera de los objetos distintos que pertenecen a ese conjunto. Por ejemplo, dado un conjunto llamado A que contiene los primeros cuatro enteros positivos (${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$) , se podría decir que "3 es un elemento de A ", expresado notacionalmente como${\displaystyle 3\in A}$.

Escribiendo${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$significa que los elementos del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Conjuntos de elementos de A , por ejemplo${\displaystyle \{1,2\}}$, son subconjuntos de A .

Los conjuntos pueden ser elementos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$Los elementos de B no son 1, 2, 3 y  4. Más bien, solo hay tres elementos de B , a saber, los números 1 y 2, y el conjunto${\displaystyle \{3,4\}}$.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, los elementos del conjunto${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {Red}red} ,\mathrm {12} ,B\}}$son el color rojo, el número 12 y el conjunto B.

En lógica, un conjunto se puede definir en términos de la pertenencia de sus elementos como${\displaystyle (x\in y)\leftrightarrow \forall x[P_{x}=y]:x\in {\mathfrak {D}}y}$Esto significa básicamente que existe una predicación general de x llamada pertenencia que es equivalente a la afirmación 'x es miembro de y si y solo si, para todos los objetos x, la predicación general de x es idéntica a y, donde x es miembro del dominio de y'. La expresión x ∈ 𝔇y define bien esta propiedad al asegurar que x es una variable ligada en su predicación de pertenencia a y.

En este caso, el dominio de Px, que es el conjunto que contiene todos los valores lógicos dependientes x que satisfacen las condiciones establecidas para pertenecer a y, se llama Universo (U) de y. El rango de Px, que es el conjunto de todas las variables de conjunto dependientes posibles y que resultan de la satisfacción de las condiciones de pertenencia para x, es el conjunto potencia de U tal que la relación binaria de pertenencia de x a y es cualquier subconjunto del producto cartesiano U × 𝒫(U) (el producto cartesiano del conjunto U con el conjunto potencia de U).

La relación binaria "es un elemento de", también llamada pertenencia a un conjunto , se denota con el símbolo  "∈". Escribiendo

${\displaystyle x\in A}$

significa que " x es un elemento de A ". ^{[ 1 ]} Las expresiones equivalentes son " x es un miembro de A ", " x pertenece a A ", " x está en A " y " x se encuentra en A ". Las expresiones " A incluye a x " y " A contiene a x " también se utilizan para indicar pertenencia a un conjunto, aunque algunos autores las usan para indicar que " x es un subconjunto de A ". ^{[ 2 ]} El lógico George Boolos insistió en que "contiene" se utilizara solo para la pertenencia y "incluye" solo para la relación de subconjunto. ^{[ 3 ]}      

Para la relación ∈ , la relación inversa ∈ ^T puede escribirse

${\displaystyle A\ni x}$

significado " A contiene o incluye x ".

La negación de la pertenencia a un conjunto se denota con el símbolo  "∉". Escribiendo

${\displaystyle x\notin A}$

significa que " x no es un elemento de A ". 

El símbolo ∈ fue utilizado por primera vez por Giuseppe Peano en su obra de 1889, Arithmetices principia, nova methodo exposita . ^{[ 4 ]} Allí escribió en la página X:

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

lo que significa

El símbolo ∈ significa " es" . Por lo tanto, a ∈ b se lee como "a es un cierto b"; …

El símbolo en sí es una letra griega minúscula estilizada épsilon ("ϵ"), la primera letra de la palabra ἐστί , que significa "es". ^{[ 4 ]}

Utilizando los conjuntos definidos anteriormente, a saber, A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} y C = {rojo, 12, B }, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• 2 ∈ A
• 5 ∉ A

• {3, 4} ∈ B
• 3 ∉ B
• 4 ∉ B
• amarillo ∉ C

El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad ; informalmente, es el tamaño de un conjunto. ^{[ 5 ]} En los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto A es 4, mientras que la cardinalidad de los conjuntos B y C es 3. Un conjunto infinito es un conjunto con un número infinito de elementos, mientras que un conjunto finito es un conjunto con un número finito de elementos. Los ejemplos anteriores son ejemplos de conjuntos finitos. Un ejemplo de un conjunto infinito es el conjunto de los enteros positivos {1, 2, 3, 4, ...} .   

Como una relación , la pertenencia a un conjunto debe tener un dominio y un rango. Convencionalmente, el dominio se llama universo y se denota U. El rango es el conjunto de subconjuntos de U , llamado conjunto potencia de U y denotado P( U ). Por lo tanto, la relación${\displaystyle \in }$es un subconjunto de U × P( U ) . La relación inversa${\displaystyle \ni }$es un subconjunto de P( U ) × U .

• Elemento de identidad
• Singleton (matemáticas)

• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Teoría ingenua de conjuntos , Textos universitarios en matemáticas (  edición de tapa dura), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6- "Ingenuo" significa que no está completamente axiomatizado, no que sea tonto o fácil (el tratamiento de Halmos no es ninguna de las dos cosas).
• Jech, Thomas (2002), "Teoría de conjuntos" , Enciclopedia de filosofía de Stanford , Laboratorio de investigación en metafísica, Universidad de Stanford
• Suppes, Patrick (1972) [1960], Teoría axiomática de conjuntos , Nueva York: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4- Tanto la noción de conjunto (una colección de miembros), pertenencia o condición de elemento, el axioma de extensión, el axioma de separación y el axioma de unión (Suppes lo llama axioma de suma) son necesarios para una comprensión más completa de "elemento de conjunto".