Tensor de elasticidad

Para un material isotrópico,${\displaystyle \mathbf {C} }$simplifica a

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

dónde${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$son funciones escalares de las coordenadas materiales ${\displaystyle X}$, y${\displaystyle \mathbf {g} }$es el tensor métrico en el marco de referencia del material. ^{[ 6 ] [ 7 ]} En una base de coordenadas cartesianas ortonormales , no hay distinción entre índices superiores e inferiores, y el tensor métrico puede reemplazarse con la delta de Kronecker:

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}$

Sustituyendo la primera ecuación en la relación tensión-deformación y sumando sobre los índices repetidos se obtiene

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

dónde${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$es el rastro de${\displaystyle \mathbf {E} }$. En esta forma,${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \lambda }$se puede identificar con el primer y segundo parámetro de Lamé . Una expresión equivalente es

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

dónde${\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }$es el módulo de compresibilidad y

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

son los componentes del tensor de corte${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$.

El tensor de elasticidad de un cristal cúbico tiene componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {a} }$,${\displaystyle \mathbf {b} }$, y${\displaystyle \mathbf {c} }$son vectores unitarios correspondientes a los tres ejes mutuamente perpendiculares de la celda unitaria del cristal . ^{[ 8 ]} Los coeficientes${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle \mu }$, y${\displaystyle \alpha }$son escalares; debido a que son independientes de las coordenadas, son constantes intrínsecas del material. Por lo tanto, un cristal con simetría cúbica se describe mediante tres constantes elásticas independientes. ^{[ 9 ]}

En una base de coordenadas cartesianas ortonormales, no hay distinción entre índices superiores e inferiores, y${\displaystyle g^{ij}}$es la delta de Kronecker, por lo que la expresión se simplifica a

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

Existen expresiones similares para los componentes de${\displaystyle \mathbf {C} }$en otras clases de simetría cristalina. ^{[ 10 ]} El número de constantes elásticas independientes para varias de ellas se da en la tabla 1. ^{[ 9 ]}

El tensor de elasticidad tiene varias simetrías que se derivan directamente de su ecuación definitoria.${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$. ^{[ 11 ] [ 2 ]} La simetría de los tensores de tensión y deformación implica que

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

Por lo general, también se supone que la tensión deriva de un potencial de energía elástica.${\displaystyle U}$:

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

lo cual implica

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

Por eso,${\displaystyle \mathbf {C} }$debe ser simétrico bajo el intercambio del primer y segundo par de índices:

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

Las simetrías enumeradas anteriormente reducen el número de componentes independientes de 81 a 21. Si un material tiene simetrías adicionales, este número se reduce aún más. ^{[ 9 ]}

Bajo rotación, los componentes${\displaystyle C^{ijkl}}$transformar como

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

dónde${\displaystyle C'_{ijkl}}$son los componentes covariantes en la base rotada, y${\displaystyle R_{ij}}$ son los elementos de la matriz de rotación correspondiente . Una regla de transformación similar se aplica a otras transformaciones lineales.

Los componentes de${\displaystyle \mathbf {C} }$Generalmente, adquieren valores diferentes al cambiar de base . Sin embargo, para ciertos tipos de transformaciones, existen combinaciones específicas de componentes, llamadas invariantes, que permanecen inalteradas. Los invariantes se definen con respecto a un conjunto dado de transformaciones, formalmente conocido como operación de grupo . Por ejemplo, un invariante con respecto al grupo de transformaciones ortogonales propias, llamado SO(3) , es una cantidad que permanece constante bajo rotaciones 3D arbitrarias.

${\displaystyle \mathbf {C} }$posee dos invariantes lineales y siete invariantes cuadráticos con respecto a SO(3). ^{[ 12 ]} Los invariantes lineales son

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

y los invariantes cuadráticos son

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

Estas cantidades son linealmente independientes, es decir, ninguna puede expresarse como una combinación lineal de las demás. También son completas, en el sentido de que no existen invariantes lineales o cuadráticos independientes adicionales. ^{[ 12 ]}

Esta descomposición se obtiene mediante la simetrización y antisimetrización de los dos índices centrales:

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

Una desventaja de esta descomposición es que${\displaystyle M^{ijkl}}$y${\displaystyle N^{ijkl}}$no obedecen todas las simetrías originales de${\displaystyle C^{ijkl}}$, ya que no son simétricos bajo el intercambio de los dos primeros índices. Además, no es irreducible, por lo que no es invariante bajo transformaciones lineales como rotaciones. ^{[ 2 ]}

Se puede construir una representación irreducible considerando la noción de un tensor totalmente simétrico , que es invariante bajo el intercambio de cualesquiera dos índices. Un tensor totalmente simétrico${\displaystyle \mathbf {S} }$se puede construir a partir de ${\displaystyle \mathbf {C} }$sumando sobre todos${\displaystyle 4!=24}$permutaciones de los índices

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$es el conjunto de todas las permutaciones de los cuatro índices. ^{[ 2 ]} Debido a las simetrías de${\displaystyle C^{ijkl}}$, esta suma se reduce a

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

La diferencia

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

es un tensor asimétrico ( no antisimétrico). La descomposición${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$se puede demostrar que es único e irreductible con respecto a${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$. En otras palabras, cualquier operación de simetrización adicional en${\displaystyle \mathbf {S} }$o${\displaystyle \mathbf {A} }$o bien lo dejará sin cambios o se evaluará a cero. También es irreducible con respecto a transformaciones lineales arbitrarias, es decir, el grupo lineal general.${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$. ^{[ 2 ] [ 15 ]}

Sin embargo, esta descomposición no es irreducible con respecto al grupo de rotaciones SO(3). En cambio,${\displaystyle \mathbf {S} }$se descompone en tres partes irreducibles y${\displaystyle \mathbf {A} }$en dos:

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

Véase Itin (2020) ^{[ 15 ]} para expresiones explícitas en términos de los componentes de${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Esta representación descompone el espacio de tensores de elasticidad en una suma directa de subespacios:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

con dimensiones

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

Estos subespacios son isomorfos cada uno a un espacio tensorial armónico.${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Aquí,${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$es el espacio de tensores 3D, totalmente simétricos y sin traza de rango${\displaystyle n}$. En particular,${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$y${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$corresponder a${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$,${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$y${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$corresponder a${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$, y${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$corresponde a${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$.