Sistema de parámetros distribuidos

Con espacios de Hilbert U , X e Y y${\displaystyle A\,}$ ∈ L ( X ), ${\displaystyle B\,}$ ∈ L ( U , X ),  ${\displaystyle C\,}$ ∈ L ( X , Y ) y  ${\displaystyle D\,}$ ∈ L ( U , Y ) las siguientes ecuaciones en diferencias determinan un sistema lineal invariante en el tiempo de tiempo discreto :  

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

con${\displaystyle x\,}$(el estado) una secuencia con valores en X ,${\displaystyle u\,}$(la entrada o control) una secuencia con valores en U y${\displaystyle y\,}$(la salida ) una secuencia con valores en Y.

El caso de tiempo continuo es similar al caso de tiempo discreto, pero ahora se consideran ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones en diferencias:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$.

Ahora bien, una complicación adicional es que, para incluir ejemplos físicos interesantes como ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones diferenciales con retardo en este marco abstracto, es necesario considerar operadores no acotados . Normalmente, se supone que A genera un semigrupo fuertemente continuo en el espacio de estados X. Suponer que B , C y D son operadores acotados ya permite la inclusión de muchos ejemplos físicos interesantes, ^{[ 1 ]} pero la inclusión de muchos otros ejemplos físicos interesantes obliga a que B y C también sean no acotados.

En tiempo discreto, la función de transferencia viene dada en términos de los parámetros del espacio de estados por${\displaystyle D+\sum _ {k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$y es holomorfa en un disco centrado en el origen. ^{[ 4 ]} En el caso de que 1/ z pertenezca al conjunto resolvente de A (lo cual ocurre en un disco posiblemente más pequeño centrado en el origen), la función de transferencia es igual a${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$Un hecho interesante es que cualquier función que sea holomorfa en cero es la función de transferencia de algún sistema de tiempo discreto.

Si A genera un semigrupo fuertemente continuo y B , C y D son operadores acotados, entonces ^{[ 5 ]} la función de transferencia viene dada en términos de los parámetros del espacio de estados por${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$para s con parte real mayor que el límite de crecimiento exponencial del semigrupo generado por A. En situaciones más generales, esta fórmula tal como está puede incluso no tener sentido, pero una generalización apropiada de esta fórmula sigue siendo válida. ^{[ 6 ]} Para obtener una expresión sencilla para la función de transferencia, a menudo es mejor tomar la transformada de Laplace en la ecuación diferencial dada que usar las fórmulas del espacio de estados como se ilustra a continuación en los ejemplos dados anteriormente.

Estableciendo la condición inicial${\displaystyle w_{0}}$Igual a cero y denotando las transformadas de Laplace con respecto a t con letras mayúsculas, obtenemos de la ecuación diferencial parcial dada anteriormente

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea con${\displaystyle \xi }$como variable, s como parámetro y condición inicial cero. La solución es${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$Sustituyendo esto en la ecuación para Y e integrando se obtiene${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$de modo que la función de transferencia sea${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$.

Procediendo de forma similar al ejemplo de la ecuación diferencial parcial, la función de transferencia para el ejemplo de la ecuación de retardo es ^{[ 7 ].}${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$.

Los mapas desempeñan un papel importante.${\displaystyle \Phi _{n}}$que mapean el conjunto de todas las secuencias con valores U en X y están dadas por${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$. La interpretación es que${\displaystyle \Phi _{n}u}$es el estado que se alcanza al aplicar la secuencia de entrada u cuando la condición inicial es cero. El sistema se llama

• exactamente controlable en el tiempo n si el rango de${\displaystyle \Phi _{n}}$igual a X ,
• aproximadamente controlable en el tiempo n si el rango de${\displaystyle \Phi _{n}}$es denso en X ,
• nulo controlable en el tiempo n si el rango de${\displaystyle \Phi _{n}}$incluye la gama de A ⁿ .

En la controlabilidad de sistemas de tiempo continuo el mapa${\displaystyle \Phi _{t}}$dado por${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$desempeña el papel que${\displaystyle \Phi _{n}}$se desarrolla en tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones de control sobre el que actúa este operador ahora influye en la definición. La elección habitual es L ² (0,  ∞; U ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones de cuadrado integrable con valores en U en el intervalo (0,  ∞), pero son posibles otras elecciones como L ¹ (0,  ∞; U ). Las diferentes nociones de controlabilidad se pueden definir una vez que el dominio de${\displaystyle \Phi _{t}}$se elige. El sistema se llama ^{[ 8 ]}

• exactamente controlable en el tiempo t si el rango de${\displaystyle \Phi _{t}}$igual a X ,
• aproximadamente controlable en el tiempo t si el rango de${\displaystyle \Phi _{t}}$es denso en X ,
• nulo controlable en el tiempo t si el rango de${\displaystyle \Phi _{t}}$incluye la gama de${\displaystyle {\rm {e}}^{En}}$.

Los mapas desempeñan un papel importante.${\displaystyle \Psi _{n}}$que mapean X en el espacio de todas las secuencias con valores Y y están dadas por${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$si k  ≤ n y cero si k > n . La interpretación es que   ${\displaystyle \Psi _{n}x}$es la salida truncada con condición inicial x y control cero. El sistema se llama

• exactamente observable en el tiempo n si existe un k _n  >  0 tal que${\displaystyle \|\Psi _ {n}x\|\geq k_ {n}\|x\|}$para todo x  ∈ X , 
• aproximadamente observable en el tiempo n si${\displaystyle \Psi _{n}}$es inyectivo ,
• estado final observable en el tiempo n si existe un k _n  >  0 tal que${\displaystyle \|\Psi _ {n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$para todo x  ∈ X . 

En la observabilidad de sistemas de tiempo continuo el mapa${\displaystyle \Psi _{t}}$dado por${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$para s ∈ [0,t] y cero para s>t juega el papel que${\displaystyle \Psi _{n}}$se desarrolla en tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones al que se aplica este operador ahora influye en la definición. La elección habitual es L ² (0,  ∞, Y ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones de cuadrado integrable con valores en Y en el intervalo (0,∞) , pero son posibles otras elecciones como L ¹ (0, ∞, Y ). Las diferentes nociones de observabilidad se pueden definir una vez que el codominio de   ${\displaystyle \Psi _{t}}$se elige. El sistema se llama ^{[ 9 ]}

• exactamente observable en el tiempo t si existe un k _t  >  0 tal que${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$para todo x  ∈ X , 
• aproximadamente observable en el tiempo t si${\displaystyle \Psi _{t}}$es inyectivo ,
• estado final observable en el tiempo t si existe un k _t  >  0 tal que${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$para todo x  ∈ X .