polinomio separable

En matemáticas , un polinomio P ( X ) sobre un cuerpo K dado es separable si sus raíces son distintas en una clausura algebraica de K , es decir, el número de raíces distintas es igual al grado del polinomio. ^{[ 1 ]}

Este concepto está estrechamente relacionado con el polinomio libre de cuadrados . Si K es un cuerpo perfecto, entonces ambos conceptos coinciden. En general, P ( X ) es separable si y solo si es libre de cuadrados sobre cualquier cuerpo que contenga a K , lo cual se cumple si y solo si P ( X ) es coprimo con su derivada formal D P ( X ).

En una definición anterior, P ( X ) se consideraba separable si cada uno de sus factores irreducibles en K [ X ] era separable según la definición moderna. ^{[ 2 ]} En esta definición, la separabilidad dependía del cuerpo K ; por ejemplo, cualquier polinomio sobre un cuerpo perfecto se habría considerado separable. Esta definición, aunque puede ser conveniente para la teoría de Galois , ya no se utiliza. ^{[ 3 ]}

Los polinomios separables se utilizan para definir extensiones separables : una extensión de cuerpo K ⊂ L es una extensión separable si y solo si para cada α en L que es algebraico sobre K , el polinomio mínimo de α sobre K es un polinomio separable.

Las extensiones inseparables (es decir, extensiones que no son separables) solo pueden ocurrir en característica positiva .

El criterio anterior lleva a la rápida conclusión de que si P es irreducible y no separable, entonces D P ( X ) = 0. Por lo tanto, debemos tener

P ( X ) = Q ( X ^p )

para algún polinomio Q sobre K , donde el número primo p es la característica.

Con esta pista podemos construir un ejemplo:

P ( X ) = X ^p − T

donde K es el cuerpo de funciones racionales en la indeterminada T sobre el cuerpo finito con p elementos. Aquí se puede demostrar directamente que P ( X ) es irreducible y no separable. Este es, de hecho, un ejemplo típico de por qué la inseparabilidad es importante; en términos geométricos, P representa la aplicación en la recta proyectiva sobre el cuerpo finito, elevando las coordenadas a su p -ésima potencia. Tales aplicaciones son fundamentales para la geometría algebraica de cuerpos finitos. Dicho de otro modo, existen recubrimientos en ese contexto que no pueden ser «vistos» por la teoría de Galois. (Véase Morfismo radical para una discusión más avanzada).

Si L es la extensión del campo

K ( T ^{1/ p} ),

En otras palabras, el cuerpo de descomposición de P , entonces L / K, es un ejemplo de una extensión de cuerpo puramente inseparable . Es de grado p , pero no tiene ningún automorfismo que fije K , aparte de la identidad, porque T1 ^{/ p} es la única raíz de P. Esto muestra directamente que la teoría de Galois debe fallar aquí. Un cuerpo tal que no existen tales extensiones se llama perfecto . Que los cuerpos finitos sean perfectos se deduce a posteriori de su estructura conocida.

Se puede demostrar que el producto tensorial de cuerpos de L consigo mismo sobre K , en este ejemplo, tiene elementos nilpotentes distintos de cero. Esta es otra manifestación de la inseparabilidad: es decir, la operación de producto tensorial sobre cuerpos no necesariamente produce un anillo que sea producto de cuerpos (por lo tanto, no es un anillo semisimple conmutativo ).

Si P ( x ) es separable y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del cuerpo K ), entonces P ( x ) es un polinomio aditivo .

Los polinomios separables aparecen con frecuencia en la teoría de Galois .

Por ejemplo, sea P un polinomio irreducible con coeficientes enteros y p un número primo que no divide al coeficiente principal de P. Sea Q el polinomio sobre el cuerpo finito con p elementos, que se obtiene al reducir módulo p los coeficientes de P. Entonces, si Q es separable (lo cual ocurre para todo p excepto un número finito) , los grados de los factores irreducibles de Q son las longitudes de los ciclos de alguna permutación del grupo de Galois de P.

Otro ejemplo: siendo P como se indicó anteriormente, una resolvente R para un grupo G es un polinomio cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de P , lo que proporciona cierta información sobre el grupo de Galois de P. Más precisamente, si R es separable y tiene una raíz racional , entonces el grupo de Galois de P está contenido en G. Por ejemplo, si D es el discriminante de P, entonces${\displaystyle X^{2}-D}$es una resolvente para el grupo alternante . Esta resolvente siempre es separable (suponiendo que la característica no sea 2) si P es irreducible, pero la mayoría de las resolventes no siempre son separables.

• endomorfismo de Frobenius