Conjunto absolutamente convexo

En matemáticas , un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo se denomina absolutamente convexo o disco si es convexo y equilibrado (algunos usan el término "circulado" en lugar de "equilibrado"), en cuyo caso se le llama disco . La envoltura disco-convexa o la envoltura convexa absoluta de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen dicho conjunto.

Un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio vectorial real o complejo${\displaystyle X}$se llama undisco y se dice que esdisco ,absolutamente convexa yconvexa equilibrada si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle S}$es un conjunto convexo y equilibrado .
2. para cualquier escalar${\displaystyle a}$y${\displaystyle b,}$si${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$entonces${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. para todos los escalares${\displaystyle a,b,}$y${\displaystyle c,}$si${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$entonces${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. para cualquier escalar${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$y${\displaystyle c,}$si${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$entonces${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. para cualquier escalar${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$si${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$entonces${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

El subconjunto convexo más pequeño (respectivamente, equilibrado ) de${\displaystyle X}$La envoltura convexa (o envoltura equilibrada) que contiene un conjunto dado se denomina envolvente convexa de dicho conjunto y se denota por${\displaystyle \operatorname {co} S}$(respectivamente,${\displaystyle \operatorname {bal} S}$).

De manera similar, elcasco achatado , elenvolvente convexa absoluta y lacasco convexo equilibrado de un conjunto${\displaystyle S}$se define como el disco más pequeño (con respecto a la inclusión de subconjuntos ) que contiene${\displaystyle S.}$^{[ 1 ]} El casco discoide de${\displaystyle S}$se denotará por${\displaystyle \operatorname {disco} S}$o${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos:

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$que es el casco convexo del casco equilibrado de${\displaystyle S}$; de este modo,${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • En general,${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$es posible, incluso en espacios vectoriales de dimensión finita .
2. la intersección de todos los discos que contienen${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ y }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ son escalares que satisfacen }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.}$

La intersección de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos es, de nuevo, absolutamente convexa; sin embargo, las uniones de conjuntos absolutamente convexos ya no tienen por qué ser absolutamente convexas.

Si${\displaystyle D}$es un disco en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle D}$es absorbente en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle S}$es un disco absorbente en un espacio vectorial${\displaystyle X}$Entonces existe un disco absorbente${\displaystyle E}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle E+E\subseteq S.}$^{[ 3 ]} Si${\displaystyle D}$es un disco y${\displaystyle r}$y${\displaystyle s}$son escalares entonces${\displaystyle sD=|s|D}$y${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

La envoltura absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico localmente convexo también está acotada.

Si${\displaystyle D}$es un disco delimitado en un TVS${\displaystyle X}$y si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$es una secuencia en${\displaystyle D,}$luego las sumas parciales${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$son Cauchy , donde para todos${\displaystyle n,}$${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$^{[ 4 ]} En particular, si además${\displaystyle D}$es un subconjunto secuencialmente completo de${\displaystyle X,}$entonces esta serie${\displaystyle s_{\bullet }}$converge en${\displaystyle X}$hasta cierto punto de${\displaystyle D.}$

El casco equilibrado convexo de${\displaystyle S}$contiene tanto la envoltura convexa de${\displaystyle S}$y el casco equilibrado de${\displaystyle S.}$Además, contiene el casco equilibrado del casco convexo de${\displaystyle S;}$de este modo $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ donde el ejemplo a continuación muestra que esta inclusión podría ser estricta. Sin embargo, para cualquier subconjunto${\displaystyle S,T\subseteq X,}$si${\displaystyle S\subseteq T}$entonces${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ lo cual implica${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

Dado un número real fijo${\displaystyle 0<p\leq 1,}$a${\displaystyle p}$-un conjunto convexo es cualquier subconjunto${\displaystyle C}$de un espacio vectorial${\displaystyle X}$con la propiedad que${\displaystyle rc+sd\in C}$cuando sea${\displaystyle c,d\in C}$y${\displaystyle r,s\geq 0}$son escalares no negativos que satisfacen${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$ Se llama unabsolutamente${\displaystyle p}$-conjunto convexo o un${\displaystyle p}$-disco si${\displaystyle rc+sd\in C}$cuando sea${\displaystyle c,d\in C}$y${\displaystyle r,s}$son escalares que satisfacen${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$^{[ 5 ]}

A${\displaystyle p}$-seminorma ^{[ 6 ]} es cualquier función no negativa${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$que cumpla las siguientes condiciones:

1. Subaditividad / Desigualdad triangular :${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$a pesar de${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta de grado${\displaystyle p}$:${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y todos los escalares${\displaystyle s.}$

Esto generaliza la definición de seminormas ya que un mapa es una seminorma si y solo si es un${\displaystyle 1}$-seminorm (usando${\displaystyle p:=1}$). Existen${\displaystyle p}$-seminormas que no son seminormas . Por ejemplo, siempre que${\displaystyle 0<p<1}$luego el mapa${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$utilizado para definir el espacio Lp${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$es un${\displaystyle p}$-seminorma pero no una seminorma. ^{[ 6 ]}

Dado${\displaystyle 0<p\leq 1,}$un espacio vectorial topológico es${\displaystyle p}$-seminormable (lo que significa que su topología está inducida por alguna${\displaystyle p}$-seminorma) si y solo si tiene una acotada${\displaystyle p}$-vecindario convexo del origen. ^{[ 5 ]}

• Conjunto absorbente : conjunto que puede "inflarse" para alcanzar cualquier punto. 
• Espacio auxiliar normalizado
• Conjunto equilibrado : un concepto en el análisis funcional. 
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico) – Generalización de la acotación 
• Conjunto convexo : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un único segmento de línea. 
• Dominio estrellado : propiedad de los conjuntos de puntos en espacios euclidianos. 
• Conjunto simétrico – Propiedad de los subconjuntos de un grupo (matemáticas) 
• Vector (geométrico) – Objeto geométrico que tiene longitud y dirección Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección , para vectores en física 
• Campo vectorial : Asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. 

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  53. Cambridge University Press . pp. 4–6 . 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​