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Imágenes de resonancia magnética ponderadas por difusión

La resonancia magnética ponderada por difusión ( DWI o DW-MRI ) utiliza secuencias específicas de resonancia magnética y software que genera imágenes a partir de los datos resul...

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La resonancia magnética ponderada por difusión ( DWI o DW-MRI ) utiliza secuencias específicas de resonancia magnética y software que genera imágenes a partir de los datos resultantes, empleando la difusión de moléculas de agua para generar contraste en las imágenes de RM. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Permite mapear el proceso de difusión de moléculas, principalmente agua, en tejidos biológicos , in vivo y de forma no invasiva. La difusión molecular en los tejidos no es aleatoria, sino que refleja interacciones con numerosos obstáculos, como macromoléculas , fibras y membranas . Por lo tanto, los patrones de difusión de las moléculas de agua pueden revelar detalles microscópicos sobre la arquitectura tisular, tanto en estado normal como patológico. Un tipo especial de DWI, la imagen por tensor de difusión ( DTI ), se ha utilizado ampliamente para mapear la tractografía de la sustancia blanca en el cerebro.

Introducción

En la resonancia magnética ponderada por difusión (DWI), la intensidad de cada elemento de la imagen ( vóxel ) refleja la mejor estimación de la tasa de difusión del agua en esa ubicación. Dado que la movilidad del agua está impulsada por la agitación térmica y depende en gran medida de su entorno celular, la hipótesis detrás de la DWI es que los hallazgos pueden indicar cambios patológicos (tempranos). Por ejemplo, la DWI es más sensible a los cambios tempranos después de un accidente cerebrovascular que las mediciones de resonancia magnética más tradicionales, como las tasas de relajación T1 o T2 . Una variante de la resonancia magnética ponderada por difusión, la resonancia magnética de espectro de difusión (DSI), [ 4 ] se utilizó para derivar los conjuntos de datos del Conectoma; la DSI es una variante de la resonancia magnética ponderada por difusión que es sensible a las heterogeneidades intravoxel en las direcciones de difusión causadas por el cruce de tractos de fibras y, por lo tanto, permite un mapeo más preciso de las trayectorias axonales que otros enfoques de resonancia magnética de difusión. [ 5 ]

Las imágenes ponderadas por difusión son muy útiles para diagnosticar accidentes cerebrovasculares vasculares en el cerebro. También se utilizan cada vez más en la estadificación del cáncer de pulmón de células no pequeñas , donde son una seria candidata para reemplazar la tomografía por emisión de positrones como el "estándar de oro" para este tipo de enfermedad. La imagen por tensor de difusión se está desarrollando para estudiar las enfermedades de la sustancia blanca del cerebro, así como para estudios de otros tejidos corporales (véase más adelante). La DWI es más aplicable cuando el tejido de interés está dominado por el movimiento isotrópico del agua, por ejemplo, la sustancia gris en la corteza cerebral y los principales núcleos cerebrales, o en el cuerpo, donde la tasa de difusión parece ser la misma cuando se mide a lo largo de cualquier eje. Sin embargo, la DWI también sigue siendo sensible a la relajación T1 y T2. Para integrar los efectos de difusión y relajación en el contraste de la imagen, se pueden obtener imágenes cuantitativas del coeficiente de difusión, o más exactamente, del coeficiente de difusión aparente (ADC). El concepto de ADC se introdujo para tener en cuenta que el proceso de difusión es complejo en los tejidos biológicos y refleja varios mecanismos diferentes. [ 6 ]

La resonancia magnética por tensor de difusión (DTI) es importante cuando un tejido —como los axones neuronales de la sustancia blanca del cerebro o las fibras musculares del corazón— posee una estructura fibrosa interna análoga a la anisotropía de algunos cristales. En estos casos, el agua se difundirá más rápidamente en la dirección alineada con la estructura interna (difusión axial) y más lentamente a medida que se mueva perpendicularmente a la dirección preferida (difusión radial). Esto también significa que la tasa de difusión medida variará según la dirección desde la que el observador mire.

La imagen de espectro de base de difusión (DBSI) separa aún más las señales DTI en tensores de difusión anisotrópicos discretos y un espectro de tensores de difusión isotrópicos para diferenciar mejor las estructuras celulares sub-vóxel. Por ejemplo, los tensores de difusión anisotrópicos se correlacionan con las fibras axonales, mientras que los tensores de difusión isotrópicos bajos se correlacionan con las células y los tensores de difusión isotrópicos altos se correlacionan con estructuras más grandes (como la luz o los ventrículos cerebrales). [ 7 ] Se ha demostrado que DBSI diferencia algunos tipos de tumores cerebrales y esclerosis múltiple con mayor especificidad y sensibilidad que la DTI convencional. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] DBSI también ha sido útil para determinar las propiedades de la microestructura del cerebro. [ 12 ]

Tradicionalmente, en la resonancia magnética ponderada por difusión (DWI), se aplican tres direcciones de gradiente, suficientes para estimar la traza del tensor de difusión o "difusividad promedio", una medida supuesta del edema . Clínicamente, las imágenes ponderadas por traza han demostrado ser muy útiles para diagnosticar accidentes cerebrovasculares vasculares en el cerebro, mediante la detección temprana (en un par de minutos) del edema hipóxico. [ 13 ]

Las exploraciones DTI más extensas obtienen información direccional de los tractos neuronales a partir de los datos mediante algoritmos vectoriales 3D o multidimensionales basados ​​en seis o más direcciones de gradiente, suficientes para calcular el tensor de difusión . El modelo del tensor de difusión es un modelo bastante simple del proceso de difusión, que asume homogeneidad y linealidad de la difusión dentro de cada vóxel de la imagen. [ 13 ] A partir del tensor de difusión, se pueden calcular medidas de anisotropía de difusión como la anisotropía fraccional (FA). Además, la dirección principal del tensor de difusión se puede utilizar para inferir la conectividad de la sustancia blanca del cerebro (es decir, tractografía ; tratando de ver qué parte del cerebro está conectada con qué otra parte).

Se han propuesto modelos más avanzados del proceso de difusión que buscan superar las limitaciones del modelo del tensor de difusión. Entre otros, se incluyen la imagen en el espacio q [ 14 ] y la imagen generalizada del tensor de difusión.

Mecanismo

La imagen de difusión es un método de RM que produce imágenes de resonancia magnética in vivo de tejidos biológicos sensibilizadas con las características locales de la difusión molecular, generalmente agua (pero también se pueden investigar otras moléculas utilizando enfoques espectroscópicos de RM). [ 15 ] La RM puede hacerse sensible al movimiento de las moléculas. La adquisición regular de RM utiliza el comportamiento de los protones en el agua para generar contraste entre características clínicamente relevantes de un sujeto en particular. La naturaleza versátil de la RM se debe a esta capacidad de producir contraste relacionado con la estructura de los tejidos a nivel microscópico. En una imagen típica ponderada en T1, las moléculas de agua en una muestra se excitan con la imposición de un campo magnético fuerte. Esto hace que muchos de los protones en las moléculas de agua precesen simultáneamente, produciendo señales en la RM. En las imágenes ponderadas en T2, el contraste se produce midiendo la pérdida de coherencia o sincronía entre los protones del agua. Cuando el agua está en un entorno donde puede girar libremente, la relajación tiende a tardar más. En determinadas situaciones clínicas, esto puede generar un contraste entre la zona afectada y el tejido sano circundante.

Para sensibilizar las imágenes de RMN a la difusión, la intensidad del campo magnético (B1) se varía linealmente mediante un gradiente de campo pulsado. Dado que la precesión es proporcional a la intensidad del imán, los protones comienzan a precesar a diferentes velocidades, lo que provoca dispersión de la fase y pérdida de señal. Se aplica otro pulso de gradiente de la misma magnitud pero en dirección opuesta para reenfocar o refasear los espines. El reenfoque no será perfecto para los protones que se hayan movido durante el intervalo de tiempo entre los pulsos, y la señal medida por la máquina de RMN se reduce. Este método de "pulso de gradiente de campo" fue ideado inicialmente para RMN por Stejskal y Tanner [ 16 ], quienes derivaron la reducción de la señal debido a la aplicación del gradiente de pulso en relación con la cantidad de difusión que se produce mediante la siguiente ecuación:

S(Tmi)S0=exp⁡[−γ2GRAMO2δ2(Δ−δ3)D]{\displaystyle {\frac {S(TE)}{S_{0}}}=\exp \left[-\gamma ^{2}G^{2}\delta ^{2}\left(\Delta -{\frac {\delta }{3}}\right)D\right]}

dóndeS0{\displaystyle S_{0}}es la intensidad de la señal sin la ponderación de difusión,S{\displaystyle S}es la señal con el gradiente,γ{\displaystyle \gamma }es la relación giromagnética ,GRAMO{\displaystyle G}es la fuerza del pulso de gradiente,δ{\displaystyle \delta }es la duración del pulso,Δ{\displaystyle \Delta }es el tiempo entre los dos pulsos y, finalmente,D{\displaystyle D}es el coeficiente de difusión.

Para localizar esta atenuación de señal y obtener imágenes de difusión, es necesario combinar los pulsos de gradiente de campo magnético pulsado utilizados para la resonancia magnética (dirigidos a la localización de la señal, pero esos pulsos de gradiente son demasiado débiles para producir una atenuación relacionada con la difusión) con pulsos de gradiente adicionales de "sondeo de movimiento", según el método de Stejskal y Tanner. Esta combinación no es trivial, ya que surgen términos cruzados entre todos los pulsos de gradiente. La ecuación establecida por Stejskal y Tanner se vuelve entonces inexacta y la atenuación de la señal debe calcularse, ya sea analítica o numéricamente, integrando todos los pulsos de gradiente presentes en la secuencia de resonancia magnética y sus interacciones. El resultado se vuelve rápidamente muy complejo dados los muchos pulsos presentes en la secuencia de resonancia magnética, y como simplificación, Le Bihan sugirió agrupar todos los términos de gradiente en un "b{\displaystyle b}factor" (que depende únicamente de los parámetros de adquisición) de modo que la atenuación de la señal simplemente se convierte en: [ 1 ]

S(Tmi)S0=exp⁡(−b⋅ADdo){\displaystyle {\frac {S(TE)}{S_{0}}}=\exp(-b\cdot ADC)}

Además, el coeficiente de difusión,D{\displaystyle D}, se reemplaza por un coeficiente de difusión aparente,ADdo{\displaystyle ADC}para indicar que el proceso de difusión no es libre en los tejidos, sino que está obstaculizado y modulado por muchos mecanismos (restricción en espacios cerrados, tortuosidad alrededor de obstáculos, etc.) y que otras fuentes de movimiento incoherente intravoxel (IVIM), como el flujo sanguíneo en vasos pequeños o el líquido cefalorraquídeo en los ventrículos, también contribuyen a la atenuación de la señal. Al final, las imágenes se "ponderan" según el proceso de difusión: en las imágenes ponderadas por difusión (DWI), la señal se atenúa más cuanto más rápida es la difusión y mayor es lab{\displaystyle b}El factor es. Sin embargo, esas imágenes ponderadas por difusión también son sensibles al contraste de relajación T1 y T2, lo que a veces puede resultar confuso. Es posible calcular mapas de difusión "puros" (o más exactamente mapas ADC donde el ADC es la única fuente de contraste) recopilando imágenes con al menos 2 valores diferentes,b1{\displaystyle b_{1}}yb2{\displaystyle b_{2}}, delb{\displaystyle b}factor según:

ADdo(incógnita,y,z)=ln⁡[S2(incógnita,y,z)/S1(incógnita,y,z)]/(b1−b2){\displaystyle \mathrm {ADC} (x,y,z)=\ln[S_{2}(x,y,z)/S_{1}(x,y,z)]/(b_{1}-b_{2})}

Aunque este concepto de ADC ha tenido un éxito extraordinario, especialmente en aplicaciones clínicas, recientemente se ha visto cuestionado, ya que se han introducido nuevos modelos más completos de difusión en tejidos biológicos. Estos modelos se han vuelto necesarios, puesto que la difusión en los tejidos no es libre. En esta condición, el ADC parece depender de la elección deb{\displaystyle b}valores (el ADC parece disminuir cuando se utilizan valores b más grandes), ya que la gráfica de ln(S/So) no es lineal con elb{\displaystyle b}factor, como se esperaba de las ecuaciones anteriores. Esta desviación de un comportamiento de difusión libre es lo que hace que la RM de difusión sea tan exitosa, ya que el ADC es muy sensible a los cambios en la microestructura del tejido. Por otro lado, modelar la difusión en los tejidos se está volviendo muy complejo. Entre los modelos más populares están el modelo biexponencial, que asume la presencia de 2 depósitos de agua en intercambio lento o intermedio [ 17 ] [ 18 ] y el modelo de expansión de cumulantes (también llamado curtosis), [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] que no requiere necesariamente la presencia de 2 depósitos.

Modelo de difusión

Dada la concentraciónρ{\displaystyle \rho }y flujoJ{\displaystyle J}La primera ley de Fick establece una relación entre el flujo y el gradiente de concentración :

J(incógnita,t)=−D∇ρ(incógnita,t){\displaystyle J(x,t)=-D\nabla \rho (x,t)}

donde D es el coeficiente de difusión . Entonces, dada la conservación de la masa, la ecuación de continuidad relaciona la derivada temporal de la concentración con la divergencia del flujo:

∂ρ(incógnita,t)∂t=−∇⋅J(incógnita,t){\displaystyle {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}=-\nabla \cdot J(x,t)}

Al combinar ambas, obtenemos la ecuación de difusión :

∂ρ(incógnita,t)∂t=D∇2ρ(incógnita,t).{\displaystyle {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\rho (x,t).}

dinámica de magnetización

En ausencia de difusión, el cambio en la magnetización nuclear a lo largo del tiempo viene dado por la ecuación clásica de Bloch.

dMETRO→dt=γMETRO→×B→−METROincógnitai→+METROyj→T2−(METROz−METRO0)k→T1{\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {B}}-{\frac {M_{x}{\vec {i}}+M_{y}{\vec {j}}}{T_{2}}}-{\frac {(M_{z}-M_{0}){\vec {k}}}{T_{1}}}}

que incluye términos para la precesión, la relajación T2 y la relajación T1.

En 1956, HC Torrey demostró matemáticamente cómo cambiarían las ecuaciones de Bloch para la magnetización con la adición de difusión. [ 22 ] Torrey modificó la descripción original de Bloch de la magnetización transversal para incluir términos de difusión y la aplicación de un gradiente que varía espacialmente. Dado que la magnetizaciónMETRO{\displaystyle M}es un vector, hay 3 ecuaciones de difusión, una para cada dimensión. La ecuación de Bloch-Torrey es:

dMETRO→dt=γMETRO→×B→−METROincógnitai→+METROyj→T2−(METROz−METRO0)k→T1+∇⋅D→∇METRO→{\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {B}}-{\frac {M_{x}{\vec {i}}+M_{y}{\vec {j}}}{T_{2}}}-{\frac {(M_{z}-M_{0}){\vec {k}}}{T_{1}}}+\nabla \cdot {\vec {D}}\nabla {\vec {M}}}

dóndeD→{\displaystyle {\vec {D}}}ahora es el tensor de difusión.

En el caso más simple, donde la difusión es isotrópica, el tensor de difusión es un múltiplo de la identidad:

D→=D⋅I→=D⋅[100010001],{\displaystyle {\vec {D}}=D\cdot {\vec {I}}=D\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}

Entonces la ecuación de Bloch-Torrey tendrá la solución.

METRO=METROBlochmi−13γ2GRAMO2t3D∼mi−bD0{\displaystyle {M}={M}_{\text{bloch}}e^{-{\frac {1}{3}}\gamma ^{2}G^{2}t^{3}D}\sim e^{-bD_{0}}}

El término exponencial se denominará atenuación.A{\displaystyle A}La difusión anisotrópica tendrá una solución similar para el tensor de difusión, excepto que lo que se medirá es el coeficiente de difusión aparente (ADC). En general, la atenuación es:

A=mi−∑i,jbijDij{\displaystyle A=e^{-\sum _ {i,j}b_ {ij}D_ {ij}}}

donde elbij{\displaystyle b_{ij}}Los términos incorporan los campos de gradiente.GRAMOincógnita{\displaystyle G_{x}},GRAMOy{\displaystyle G_{y}}, yGRAMOz{\displaystyle G_{z}}.

Escala de grises

La escala de grises estándar de las imágenes DWI representa una mayor restricción de la difusión como más brillante. [ 23 ]

Imagen ADC

Imagen ADC del mismo caso de infarto cerebral que se observa en la DWI en la sección anterior.

Una imagen de coeficiente de difusión aparente (ADC), o mapa de ADC , es una imagen de resonancia magnética que muestra la difusión de forma más específica que la DWI convencional, al eliminar la ponderación T2 inherente a la DWI convencional. [ 24 ] [ 25 ] La obtención de imágenes ADC se logra mediante la adquisición de múltiples imágenes DWI convencionales con diferentes cantidades de ponderación DWI, y el cambio en la señal es proporcional a la tasa de difusión. A diferencia de las imágenes DWI, la escala de grises estándar de las imágenes ADC representa una menor magnitud de difusión como más oscura. [ 23 ]

El infarto cerebral produce restricción de la difusión, por lo que la diferencia entre las imágenes con diferentes ponderaciones de DWI será mínima, lo que dará lugar a una imagen ADC con baja señal en el área infartada. [ 24 ] Se puede detectar una disminución del ADC minutos después de un infarto cerebral. [ 26 ] La alta señal del tejido infartado en la DWI convencional es resultado de su ponderación parcial en T2. ​​[ 27 ]

imágenes por tensor de difusión

La resonancia magnética por tensor de difusión (DTI) es una técnica de resonancia magnética que permite medir la difusión restringida del agua en los tejidos para producir imágenes de las vías neuronales, en lugar de utilizar estos datos únicamente para asignar contraste o colores a los píxeles en una imagen transversal. También proporciona información estructural útil sobre el músculo —incluido el músculo cardíaco—, así como sobre otros tejidos como la próstata. [ 28 ]

En DTI, cada vóxel tiene uno o más pares de parámetros: una tasa de difusión y una dirección de difusión preferida —descrita en términos de un espacio tridimensional— para la cual dicho parámetro es válido. Las propiedades de cada vóxel de una sola imagen DTI se calculan generalmente mediante matemáticas vectoriales o tensoriales a partir de seis o más adquisiciones ponderadas por difusión diferentes, cada una obtenida con una orientación distinta de los gradientes de sensibilización a la difusión. En algunos métodos, se realizan cientos de mediciones —cada una de las cuales conforma una imagen completa— para generar un único conjunto de datos de imagen calculado. El mayor contenido de información de un vóxel DTI lo hace extremadamente sensible a patologías sutiles en el cerebro. Además, la información direccional puede aprovecharse a un nivel estructural superior para seleccionar y seguir tractos neuronales a través del cerebro, un proceso denominado tractografía . [ 29 ]

Una descripción más precisa del proceso de adquisición de imágenes es que las intensidades de la imagen en cada posición se atenúan, dependiendo de la magnitud ( valor b ) y la dirección del denominado gradiente de difusión magnética, así como de la microestructura local en la que se difunden las moléculas de agua. Cuanto mayor sea la atenuación de la imagen en una posición determinada, mayor será la difusión en la dirección del gradiente de difusión. Para medir el perfil de difusión completo del tejido, es necesario repetir las exploraciones de resonancia magnética, aplicando diferentes direcciones (y posiblemente magnitudes) del gradiente de difusión en cada exploración.

NODDI (Neurite orientation dispersion and density imaging) es un modelo de difusión avanzado que examina la microestructura de las neuritas ( axones y dendritas ) con mayor detalle que la imagen estándar del tensor de difusión. [ 30 ] [ 31 ]

Fundamentos matemáticos: tensores

La resonancia magnética de difusión se basa en las matemáticas y las interpretaciones físicas de las cantidades geométricas conocidas como tensores . Solo un caso especial de la noción matemática general es relevante para la obtención de imágenes, que se basa en el concepto de matriz simétrica . [ notas 1 ] La difusión en sí es tensorial, pero en muchos casos el objetivo no es realmente estudiar la difusión cerebral en sí, sino aprovechar la anisotropía de difusión en la sustancia blanca para encontrar la orientación de los axones y la magnitud o grado de anisotropía. Los tensores tienen una existencia física real en un material o tejido, por lo que no se mueven cuando se rota el sistema de coordenadas utilizado para describirlos. Hay numerosas representaciones posibles de un tensor (de rango 2), pero entre ellas, esta discusión se centra en el elipsoide debido a su relevancia física para la difusión y a su importancia histórica en el desarrollo de la obtención de imágenes de anisotropía de difusión en resonancia magnética.

La siguiente matriz muestra los componentes del tensor de difusión:

D¯=|DincógnitaincógnitaDincógnitayDincógnitazDincógnitayDyyDyzDincógnitazDyzDzz|{\displaystyle {\bar {D}}={\begin{vmatrix}D_{\color {red}xx}&D_{xy}&D_{xz}\\D_{xy}&D_{\color {red}yy}&D_{yz}\\D_{xz}&D_{yz}&D_{\color {red}zz}\end{vmatrix}}}

La misma matriz de números puede tener un segundo uso simultáneo para describir la forma y la orientación de una elipse, y la misma matriz de números puede usarse simultáneamente de una tercera manera para que las matemáticas matriciales clasifiquen los vectores propios y los valores propios, como se explica a continuación.

tensores físicos

La idea de un tensor en física surgió de los intentos por describir la cantidad de propiedades físicas. Las primeras propiedades a las que se aplicaron fueron aquellas que pueden describirse con un solo número, como la temperatura. Las propiedades que pueden describirse de esta manera se llaman escalares ; estos pueden considerarse tensores de rango 0, o tensores de orden 0. Los tensores también pueden usarse para describir cantidades que tienen direccionalidad, como la fuerza mecánica. Estas cantidades requieren la especificación tanto de magnitud como de dirección, y a menudo se representan con un vector . Un vector tridimensional puede describirse con tres componentes: su proyección sobre los ejes x, y y z . Los vectores de este tipo pueden considerarse tensores de rango 1, o tensores de primer orden.

Un tensor suele ser una propiedad física o biofísica que determina la relación entre dos vectores. Cuando se aplica una fuerza a un objeto, se produce movimiento. Si el movimiento es unidireccional, la transformación se puede describir mediante un vector: un tensor de rango 1. Sin embargo, en un tejido, la difusión provoca el movimiento de las moléculas de agua a lo largo de trayectorias que se desarrollan en múltiples direcciones a lo largo del tiempo, lo que da lugar a una proyección compleja sobre los ejes cartesianos. Este patrón es reproducible si se aplican las mismas condiciones y fuerzas al mismo tejido de la misma manera. Si existe una organización anisotrópica interna del tejido que limita la difusión, este hecho se reflejará en el patrón de difusión. La relación entre las propiedades de la fuerza impulsora que genera la difusión de las moléculas de agua y el patrón resultante de su movimiento en el tejido se puede describir mediante un tensor. La colección de desplazamientos moleculares de esta propiedad física se puede describir con nueve componentes, cada una asociada con un par de ejes xx , yy , zz , xy , yx , xz , zx , yz , zy . [ 32 ] Estos se pueden escribir como una matriz similar a la del inicio de esta sección.

La difusión desde una fuente puntual en el medio anisotrópico de la sustancia blanca se comporta de manera similar. El primer pulso del gradiente de difusión de Stejskal-Tanner etiqueta algunas moléculas de agua, y el segundo pulso muestra su desplazamiento debido a la difusión. Cada dirección de gradiente aplicada mide el movimiento en esa dirección. Se suman seis o más gradientes para obtener todas las mediciones necesarias para completar la matriz, suponiendo que esta sea simétrica con respecto a la diagonal principal (subíndices rojos).

En 1848, Henri Hureau de Sénarmont [ 33 ] aplicó una punta caliente a una superficie de cristal pulido recubierta de cera. En algunos materiales con estructura isotrópica, un anillo de material fundido se extendía por la superficie formando un círculo. En cristales anisotrópicos, la extensión adoptaba la forma de una elipse. En tres dimensiones, esta extensión es un elipsoide. Como demostró Adolf Fick en la década de 1850, la difusión presenta muchos de los mismos patrones que los observados en la transferencia de calor.

Matemáticas de los elipsoides

En este punto, resulta útil considerar las matemáticas de los elipsoides. Un elipsoide se puede describir mediante la fórmula:aincógnita2+by2+doz2=1{\displaystyle hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}=1}Esta ecuación describe una superficie cuádrica . Los valores relativos de a , b y c determinan si la cuádrica describe un elipsoide o un hiperboloide .

Resulta que se pueden añadir tres componentes más de la siguiente manera:aincógnita2+by2+doz2+dyz+mizincógnita+Fincógnitay=1{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dyz+ezx+fxy=1}Muchas combinaciones de a , b , c , d , e y f siguen describiendo elipsoides, pero los componentes adicionales ( d , e , f ) describen la rotación del elipsoide con respecto a los ejes ortogonales del sistema de coordenadas cartesianas. Estas seis variables pueden representarse mediante una matriz similar a la matriz tensorial definida al inicio de esta sección (dado que la difusión es simétrica, solo necesitamos seis componentes en lugar de nueve; los componentes por debajo de los elementos diagonales de la matriz son los mismos que los componentes por encima de la diagonal). Esto es lo que se quiere decir cuando se afirma que un tensor simétrico de segundo orden puede representarse mediante un elipsoide: si los valores de difusión de los seis términos del elipsoide cuádrico se colocan en la matriz, se genera un elipsoide inclinado con respecto a la cuadrícula ortogonal. Su forma será más alargada si la anisotropía relativa es alta.

Matemáticamente, la matriz de difusiónD¯{\displaystyle {\bar {D}}}⁠ es una matriz de covarianza . El elipsoide que muestra el patrón de dispersión viene dado por la ecuación ⁠v→TD¯−1v=1{\displaystyle {\vec {v}}^{T}{\bar {D}}^{-1}v=1}, donde​v→{\displaystyle {\vec {v}}}⁠ es el desplazamiento, el vector columna ⁠(incógnita,y,z)T{\displaystyle (x,y,z)^{T}}⁠ .

Cuando el elipsoide/tensor se representa mediante una matriz , podemos aplicar una técnica útil de las matemáticas matriciales estándar y el álgebra lineal: la diagonalización de la matriz. Esto tiene dos significados importantes en imagenología. La idea es que existen dos elipsoides equivalentes, de forma idéntica pero con diferente tamaño y orientación. El primero es el elipsoide de difusión medido, situado en un ángulo determinado por los axones, y el segundo está perfectamente alineado con los tres ejes cartesianos . El término "diagonalizar" se refiere a las tres componentes de la matriz a lo largo de una diagonal desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha (las componentes con subíndices rojos en la matriz al comienzo de esta sección). Las variablesaincógnita2{\displaystyle ax^{2}},by2{\displaystyle por^{2}}, ydoz2{\displaystyle cz^{2}}están a lo largo de la diagonal (subíndices rojos), pero las variables d , e y f están "fuera de la diagonal". Entonces es posible hacer un paso de procesamiento vectorial en el que reescribimos nuestra matriz y la reemplazamos con una nueva matriz multiplicada por tres vectores diferentes de longitud unitaria (longitud=1.0). La matriz está diagonalizada porque los componentes fuera de la diagonal son ahora todos cero. Los ángulos de rotación necesarios para llegar a esta posición equivalente ahora aparecen en los tres vectores y pueden leerse como las componentes x , y , y z de cada uno de ellos. Esos tres vectores se llaman " vectores propios " o vectores característicos. Contienen la información de orientación del elipsoide original. Los tres ejes del elipsoide están ahora directamente a lo largo de los ejes ortogonales principales del sistema de coordenadas por lo que podemos inferir fácilmente sus longitudes. Estas longitudes son los valores propios o valores característicos.

La diagonalización de una matriz se realiza encontrando una segunda matriz con la que se pueda multiplicar, seguida de la multiplicación por la inversa de la segunda matriz, de modo que el resultado es una nueva matriz en la que tres componentes diagonales ( xx , yy , zz ) contienen números, pero las componentes fuera de la diagonal ( xy , yz , zx ) son 0. La segunda matriz proporciona información sobre los vectores propios .

Medidas de anisotropía y difusividad

Visualización de datos DTI con elipsoides.

En la neurología clínica actual, diversas patologías cerebrales se detectan mejor analizando medidas específicas de anisotropía y difusividad. El proceso físico subyacente de difusión provoca que un grupo de moléculas de agua se desplace desde un punto central y alcance gradualmente la superficie de un elipsoide si el medio es anisotrópico (sería la superficie de una esfera para un medio isotrópico). El formalismo del elipsoide también funciona como un método matemático para organizar datos tensoriales. La medición de un tensor elipsoidal permite, además, un análisis retrospectivo para recopilar información sobre el proceso de difusión en cada vóxel del tejido. [ 34 ]

En un medio isotrópico como el líquido cefalorraquídeo , las moléculas de agua se mueven debido a la difusión y lo hacen a velocidades iguales en todas las direcciones. Al conocer los efectos detallados de los gradientes de difusión, podemos generar una fórmula que nos permite convertir la atenuación de la señal de un vóxel de resonancia magnética en una medida numérica de difusión: el coeficiente de difusión D. Cuando diversas barreras y factores restrictivos, como las membranas celulares y los microtúbulos , interfieren con la difusión libre, estamos midiendo un "coeficiente de difusión aparente" o ADC , porque la medición no tiene en cuenta todos los efectos locales y trata la atenuación como si todas las velocidades de movimiento se debieran únicamente al movimiento browniano . El ADC en tejido anisotrópico varía según la dirección en la que se mida. La difusión es rápida a lo largo de (paralela a) un axón y más lenta perpendicularmente a través de él.

Una vez que hayamos medido el vóxel desde seis o más direcciones y corregido las atenuaciones debidas a los efectos T2 y T1, podemos usar la información de nuestro tensor elipsoidal calculado para describir lo que sucede en el vóxel. Si consideramos un elipsoide situado en un ángulo en una cuadrícula cartesiana , podemos considerar la proyección de esa elipse sobre los tres ejes. Las tres proyecciones pueden darnos el ADC a lo largo de cada uno de los tres ejes ADC x , ADC y , ADC z . Esto nos lleva a la idea de describir la difusividad promedio en el vóxel, que simplemente será

(ADdoincógnita+ADdoy+ADdoz)/3=ADdoi{\displaystyle (ADC_{x}+ADC_{y}+ADC_{z})/3=ADC_{i}}

Utilizamos el subíndice i para indicar que este es el valor que tendría el coeficiente de difusión isotrópica una vez eliminados los efectos de la anisotropía.

El elipsoide tiene un eje principal largo y dos ejes menores que describen su anchura y profundidad. Estos tres ejes son perpendiculares entre sí y se cruzan en el centro del elipsoide. En este contexto, llamamos a los ejes autovectores y a sus longitudes autovalores . Las longitudes se simbolizan con la letra griega λ . El eje largo que apunta en la dirección del axón será λ₁ y los dos ejes menores tendrán longitudes λ₂ y λ₃ . En el contexto del elipsoide tensorial DTI, podemos considerar cada uno de estos autovalores como una medida de la difusividad a lo largo de cada uno de los tres ejes principales del elipsoide. Esto difiere ligeramente del ADC, ya que este último era una proyección sobre el eje, mientras que λ es una medida real del elipsoide que hemos calculado.

La difusividad a lo largo del eje principal, λ 1, también se denomina difusividad longitudinal, difusividad axial o incluso difusividad paralela λ ∥ . Históricamente, esta es la más cercana a lo que Richards midió originalmente con la longitud vectorial en 1991. [ 35 ] Las difusividades en los dos ejes menores a menudo se promedian para producir una medida de la difusividad radial.

λ⊥=(λ2+λ3)/2.{\displaystyle \lambda _{\perp }=(\lambda _{2}+\lambda _{3})/2.}

Esta cantidad es una evaluación del grado de restricción debido a membranas y otros efectos y demuestra ser una medida sensible de patología degenerativa en algunas afecciones neurológicas. [ 36 ] También se puede denominar difusividad perpendicular (λ⊥{\displaystyle \lambda _{\perp }}).

Otra medida comúnmente utilizada que resume la difusividad total es la traza , que es la suma de los tres valores propios,

tr(Λ)=λ1+λ2+λ3{\displaystyle \mathrm {tr} (\Lambda )=\lambda _ {1}+\lambda _ {2}+\lambda _ {3}} dóndeΛ{\displaystyle \Lambda }es una matriz diagonal con valores propiosλ1{\displaystyle \lambda _{1}},λ2{\displaystyle \lambda _{2}}yλ3{\displaystyle \lambda _{3}}en su diagonal.

Si dividimos esta suma por tres, obtenemos la difusividad media .

METROD=(λ1+λ2+λ3)/3{\displaystyle \mathrm {MD} =(\lambda _ {1}+\lambda _ {2}+\lambda _ {3})/3}

lo cual es igual a ADC i ya que tr(Λ)/3=tr(V−1VΛ)/3=tr(VΛV−1)/3=tr(D)/3=ADdoi{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} (\Lambda )/3&=\mathrm {tr} (V^{-1}V\Lambda )/3\\&=\mathrm {tr} (V\Lambda V^{-1})/3\\&=\mathrm {tr} (D)/3\\&=ADC_{i}\end{aligned}}} dóndeV{\displaystyle V}es la matriz de autovectores yD{\displaystyle D}es el tensor de difusión. Además de describir la cantidad de difusión, a menudo es importante describir el grado relativo de anisotropía en un vóxel. En un extremo estaría la esfera de difusión isotrópica y en el otro extremo un esferoide prolato muy delgado con forma de cigarro o lápiz . La medida más simple se obtiene dividiendo el eje más largo del elipsoide por el más corto =  ( λ 1 / λ 3 ). Sin embargo, esto resulta ser muy susceptible al ruido de medición, por lo que se desarrollaron medidas cada vez más complejas para capturar la medida minimizando el ruido. Un elemento importante de estos cálculos es la suma de los cuadrados de las diferencias de difusividad =  ( λ 1  − λ 2 ) 2 + ( λ 1 − λ 3 ) 2 + ( λ 2 − λ 3 ) 2 . Utilizamos la raíz cuadrada de la suma de cuadrados para obtener una especie de promedio ponderado, dominado por el componente más grande. Un objetivo es mantener el número cerca de 0 si el vóxel es esférico, pero cerca de 1 si es alargado. Esto conduce a la anisotropía fraccional o FA, que es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados (SRSS) de las diferencias de difusividad, dividida por la SRSS de las difusividades. Cuando el segundo y el tercer eje son pequeños en relación con el eje principal, el número en el numerador es casi igual al número en el denominador. También multiplicamos por         1/2{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}de modo que FA tenga un valor máximo de 1. La fórmula completa para FA se ve así:

FA=3((λ1−mi⁡[λ])2+(λ2−mi⁡[λ])2+(λ3−mi⁡[λ])2)2(λ12+λ22+λ32){\displaystyle \mathrm {FA} ={\frac {\sqrt {3((\lambda _{1}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{2}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{3}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2})}}{\sqrt {2(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})}}}} dóndemi⁡[λ]=(λ1+λ2+λ3)/3.{\textstyle \operatorname {E} [\lambda ]=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3\,.}

La anisotropía fraccionaria también se puede separar en medidas lineales, planares y esféricas dependiendo de la "forma" del elipsoide de difusión. [ 37 ] [ 38 ] Por ejemplo, un elipsoide prolato con forma de "cigarro" indica una anisotropía fuertemente lineal, un "platillo volador" o esferoide oblato representa la difusión en un plano, y una esfera es indicativa de difusión isotrópica, igual en todas las direcciones. [ 39 ] Si los valores propios del vector de difusión se ordenan de tal manera queλ1≥λ2≥λ3≥0{\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}\geq 0}Entonces, las medidas se pueden calcular de la siguiente manera:

Para el caso lineal , dondeλ1≫λ2≃λ3{\displaystyle \lambda _{1}\gg \lambda _{2}\simeq \lambda _{3}},

dol=λ1−λ2λ1+λ2+λ3{\displaystyle C_{l}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}

Para el caso planar , dondeλ1≃λ2≫λ3{\displaystyle \lambda _{1}\simeq \lambda _{2}\gg \lambda _{3}},

dopag=2(λ2−λ3)λ1+λ2+λ3{\displaystyle C_{p}={\frac {2(\lambda _{2}-\lambda _{3})}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}

Para el caso esférico , dondeλ1≃λ2≃λ3{\displaystyle \lambda _{1}\simeq \lambda _{2}\simeq \lambda _{3}},

dos=3λ3λ1+λ2+λ3{\displaystyle C_{s}={\frac {3\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}

Cada medida se encuentra entre 0 y 1 y su suma es igual a la unidad. Se puede utilizar una medida de anisotropía adicional para describir la desviación del caso esférico:

doa=dol+dopag=1−dos=λ1+λ2−2λ3λ1+λ2+λ3{\displaystyle C_{a}=C_{l}+C_{p}=1-C_{s}={\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}-2\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}

Existen otras métricas de anisotropía utilizadas, incluida la anisotropía relativa (AR):

RA=(λ1−mi⁡[λ])2+(λ2−mi⁡[λ])2+(λ3−mi⁡[λ])23mi⁡[λ]{\displaystyle \mathrm {RA} ={\frac {\sqrt {(\lambda _{1}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{2}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{3}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}}}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} [\lambda ]}}}

y la relación de volumen (VR):

VR=λ1λ2λ3mi⁡[λ]3{\displaystyle \mathrm {VR} ={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}{\operatorname {E} [\lambda ]^{3}}}}

Aplicaciones

La aplicación más común de la DWI convencional (sin DTI) es en la isquemia cerebral aguda. La DWI visualiza directamente la necrosis isquémica en el infarto cerebral en forma de edema citotóxico, [ 40 ] que aparece como una señal DWI alta a los pocos minutos de la oclusión arterial. [ 41 ] Con la RM de perfusión detectando tanto el núcleo infartado como la penumbra recuperable , esta última puede cuantificarse mediante DWI y RM de perfusión. [ 42 ]

Otra área de aplicación de la DWI es la oncología . En muchos casos, los tumores son altamente celulares, lo que restringe la difusión del agua y, por lo tanto, aparecen con una intensidad de señal relativamente alta en la DWI. [ 43 ] La DWI se usa comúnmente para detectar y estadificar tumores, y también para monitorizar la respuesta tumoral al tratamiento a lo largo del tiempo. La DWI también se puede adquirir para visualizar todo el cuerpo usando una técnica llamada "imagen de cuerpo entero ponderada por difusión con supresión de la señal de fondo del cuerpo" (DWIBS). [ 44 ] Algunas técnicas de resonancia magnética de difusión más especializadas, como la imagen de curtosis de difusión (DKI), también han demostrado predecir la respuesta de los pacientes con cáncer al tratamiento de quimioterapia. [ 45 ]

La principal aplicación reside en la obtención de imágenes de la sustancia blanca, donde se pueden medir la ubicación, la orientación y la anisotropía de los tractos. La arquitectura de los axones en haces paralelos, junto con sus vainas de mielina , facilita la difusión de las moléculas de agua preferentemente a lo largo de su dirección principal. Esta difusión con orientación preferencial se denomina difusión anisotrópica .

Reconstrucción tractográfica de las conexiones neuronales mediante DTI
DTI de un plexo braquial humano sano. Tomado de Wade et al., 2020. [ 46 ]

La obtención de imágenes de esta propiedad es una extensión de la resonancia magnética de difusión. Si se aplica una serie de gradientes de difusión (es decir, variaciones del campo magnético en el imán de resonancia magnética) que pueden determinar al menos 3 vectores direccionales (el uso de 6 gradientes diferentes es el mínimo y los gradientes adicionales mejoran la precisión para la información "fuera de la diagonal"), es posible calcular, para cada vóxel , un tensor (es decir, una matriz simétrica definida positiva de 3×3 ) que describe la forma tridimensional de la difusión. La dirección de la fibra está indicada por el vector propio principal del tensor . Este vector puede codificarse por colores, lo que produce una cartografía de la posición y dirección de los tractos (rojo para izquierda-derecha, azul para superior-inferior y verde para anterior-posterior). [ 47 ] El brillo está ponderado por la anisotropía fraccional que es una medida escalar del grado de anisotropía en un vóxel dado. La difusividad media (DM) o traza es una medida escalar de la difusión total dentro de un vóxel. Estas medidas se utilizan comúnmente en la práctica clínica para localizar lesiones de la sustancia blanca que no se visualizan en otras formas de resonancia magnética clínica. [ 48 ]

Aplicaciones en el cerebro:

  • Localización específica de lesiones de la sustancia blanca en tractos específicos , como las causadas por traumatismos, y determinación de la gravedad del traumatismo craneoencefálico difuso . La localización de tumores en relación con los tractos de la sustancia blanca (infiltración, desviación) ha sido una de las aplicaciones iniciales más importantes. En la planificación quirúrgica de algunos tipos de tumores cerebrales , la cirugía se facilita al conocer la proximidad y la posición relativa del tracto corticoespinal y del tumor.
  • Los datos de imágenes por tensor de difusión pueden utilizarse para realizar tractografía en la sustancia blanca. Los algoritmos de seguimiento de fibras permiten rastrear una fibra a lo largo de toda su longitud (por ejemplo, el tracto corticoespinal , por donde la información motora transita desde la corteza motora hasta la médula espinal y los nervios periféricos ). La tractografía es una herramienta útil para medir déficits en la sustancia blanca, como los que se producen durante el envejecimiento. Su estimación de la orientación y la fuerza de las fibras es cada vez más precisa y tiene amplias implicaciones potenciales en los campos de la neurociencia cognitiva y la neurobiología.
  • El uso de DTI para la evaluación de la sustancia blanca en el desarrollo, la patología y la degeneración ha sido el foco de más de 2500 publicaciones de investigación desde 2005. Promete ser muy útil para distinguir la enfermedad de Alzheimer de otros tipos de demencia . Las aplicaciones en la investigación cerebral incluyen el estudio de redes neuronales in vivo , así como en conectómica .

Aplicaciones para nervios periféricos:

  • Plexo braquial : DTI puede diferenciar las avulsiones traumáticas de las raíces normales, [ 49 ] [ 46 ] particularmente porque existen valores normativos con los que se pueden comparar las mediciones clínicas [ 50 ] (como se muestra en el tractograma de la médula espinal y el plexo braquial y la reconstrucción 3D 4k aquí ).
  • Síndrome del túnel cubital : las métricas derivadas de DTI (FA y RD) pueden diferenciar a los adultos asintomáticos de aquellos con compresión del nervio cubital en el codo [ 51 ].
  • Síndrome del túnel carpiano : Las métricas derivadas de DTI (FA y MD más bajas) diferencian a los adultos sanos de aquellos con síndrome del túnel carpiano [ 52 ].

Investigación

Al principio del desarrollo de la tractografía basada en DTI, varios investigadores señalaron una deficiencia en el modelo del tensor de difusión. El análisis del tensor asume que hay un único elipsoide en cada vóxel de la imagen, como si todos los axones que viajan a través de un vóxel viajaran exactamente en la misma dirección. [ 53 ] Esto suele ser cierto, pero se estima que en más del 30 % de los vóxeles de una imagen cerebral de resolución estándar, hay al menos dos tractos neuronales diferentes que viajan en direcciones distintas y se cruzan. En el modelo clásico del tensor de elipsoide de difusión, la información del tracto que se cruza aparece como ruido o una disminución inexplicable de la anisotropía en un vóxel dado.

David Tuch fue uno de los primeros en describir una solución a este problema. [ 54 ] [ 55 ] La idea se entiende mejor al colocar conceptualmente una especie de cúpula geodésica alrededor de cada vóxel de la imagen. Este icosaedro proporciona una base matemática para pasar un gran número de trayectorias de gradiente igualmente espaciadas a través del vóxel, cada una coincidiendo con uno de los vértices del icosaedro. Entonces podemos observar el vóxel desde un gran número de direcciones diferentes (normalmente 40 o más). Usamos teselaciones de " n -tupla" para agregar más vértices igualmente espaciados al icosaedro original (20 caras), una idea que también tuvo sus precedentes en la investigación del paleomagnetismo varias décadas antes. [ 56 ] Queremos saber qué líneas de dirección muestran las medidas de difusión anisotrópica máximas. Si hay un solo tracto, habrá solo dos máximos, apuntando en direcciones opuestas. Si dos tractos se cruzan en el vóxel, habrá dos pares de máximos, y así sucesivamente. Podemos seguir utilizando matemáticas tensoriales para usar los máximos y seleccionar grupos de gradientes para empaquetarlos en varios elipsoides tensoriales diferentes en el mismo vóxel, o utilizar análisis tensoriales de rango superior más complejos, [ 57 ] o podemos hacer un análisis verdaderamente "libre de modelo" que seleccione los máximos y luego continúe con la tractografía.

El método Q-Ball de tractografía es una implementación en la que David Tuch proporciona una alternativa matemática al modelo tensorial. [ 53 ] En lugar de forzar los datos de anisotropía de difusión a un grupo de tensores, las matemáticas utilizadas emplean distribuciones de probabilidad y algunas matemáticas geométricas clásicas de tomografía y vectores desarrolladas hace casi 100 años: la transformada de Radon de Funk . [ 58 ]

Cabe señalar que existe un debate en curso sobre la mejor manera de preprocesar la DW-MRI. Varios estudios in vivo han demostrado que la elección del software y las funciones aplicadas (dirigidas a corregir artefactos derivados, por ejemplo, del movimiento y las corrientes parásitas) tienen un impacto significativo en las estimaciones de los parámetros DTI del tejido. [ 59 ] En consecuencia, este es el tema de un estudio multinacional dirigido por el grupo de estudio de difusión de la ISMRM.

Resumen

Para DTI, generalmente es posible utilizar álgebra lineal , matemáticas matriciales y matemáticas vectoriales para procesar el análisis de los datos tensoriales.

En algunos casos, interesa el conjunto completo de propiedades del tensor, pero para la tractografía generalmente solo es necesario conocer la magnitud y la orientación del eje o vector principal. Este eje principal —el de mayor longitud— es el autovalor más grande y su orientación está codificada en su autovector correspondiente. Solo se necesita un eje, ya que se asume que el autovalor más grande está alineado con la dirección principal del axón para realizar la tractografía.

Véase también

Notas explicativas

  1. ↑ Existen varios tratamientos matemáticos completos de tensores generales, por ejemplo, clásicos , sin componentes , etc., pero la generalidad, que abarca matrices de todos los tamaños, puede oscurecer en lugar de ayudar.

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  • PNRC: Acerca de la resonancia magnética de difusión
  • Atlas de la sustancia blanca
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