Difracción por rendijas

Los procesos de difracción que afectan a las ondas se prestan a una descripción y análisis cuantitativos . Dichos tratamientos se aplican a una onda que pasa a través de una o más rendijas cuyo ancho se especifica como una proporción de la longitud de onda . Se pueden utilizar aproximaciones numéricas , incluidas las aproximaciones de Fresnel y Fraunhofer .

Dado que la difracción es el resultado de la suma de todas las ondas (de una longitud de onda dada) a lo largo de todos los caminos sin obstáculos, el procedimiento habitual consiste en considerar la contribución de un entorno infinitesimalmente pequeño alrededor de un camino determinado (esta contribución se suele llamar ondícula ) y luego integrar sobre todos los caminos (= sumar todas las ondículas) desde la fuente hasta el detector (o un punto dado en una pantalla).

Así, para determinar el patrón producido por la difracción, se calcula la fase y la amplitud de cada una de las ondículas. Es decir, en cada punto del espacio debemos determinar la distancia a cada una de las fuentes simples en el frente de onda incidente. Si la distancia a cada fuente simple difiere en un número entero de longitudes de onda, todas las ondículas estarán en fase, lo que dará lugar a interferencia constructiva. Si la distancia a cada fuente es un número entero más media longitud de onda, habrá interferencia destructiva completa. Por lo general, basta con determinar estos mínimos y máximos para explicar los efectos de difracción observados.

Las descripciones más sencillas de la difracción son aquellas en las que la situación se reduce a un problema bidimensional. En el caso de las olas de agua, esto ya se cumple, puesto que se propagan únicamente en la superficie del agua. Para la luz, a menudo podemos despreciar una dimensión si el objeto difractor se extiende en esa dirección a lo largo de una distancia mucho mayor que la longitud de onda. En el caso de la luz que atraviesa pequeños orificios circulares, tendremos que considerar la naturaleza tridimensional completa del problema.

En general, se pueden hacer varias observaciones cualitativas sobre la difracción:

• La separación angular de las características en el patrón de difracción es inversamente proporcional a las dimensiones del objeto que causa la difracción. En otras palabras: cuanto menor sea el objeto difractor, más ancho será el patrón de difracción resultante, y viceversa. (Más precisamente, esto se aplica a los senos de los ángulos).
• Los ángulos de difracción son invariantes ante el escalado; es decir, dependen únicamente de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del objeto difractor.
• Cuando el objeto difractor tiene una estructura periódica, como por ejemplo en una red de difracción, los rasgos suelen ser más nítidos. La cuarta figura, por ejemplo, muestra una comparación entre un patrón de doble rendija y un patrón formado por cinco rendijas, ambas con la misma separación entre el centro de una rendija y la siguiente.

El problema de calcular cómo se ve una onda difractada es el problema de determinar la fase de cada una de las fuentes simples en el frente de onda incidente. Es matemáticamente más fácil considerar el caso de la difracción de campo lejano o de Fraunhofer , donde el punto de observación está lejos del de la obstrucción difractora, y como resultado, implica matemáticas menos complejas que el caso más general de la difracción de campo cercano o de Fresnel . Para hacer esta afirmación más cuantitativa, consideremos un objeto difractor en el origen que tiene un tamaño${\displaystyle a}$Para mayor claridad, digamos que estamos difractando la luz y que nos interesa cómo se ve la intensidad en una pantalla a cierta distancia.${\displaystyle L}$lejos del objeto. En algún punto de la pantalla, la longitud del camino a un lado del objeto viene dada por el teorema de Pitágoras.

${\displaystyle S={\sqrt {L^{2}+(x+a/2)^{2}}}}$

Si ahora consideramos la situación donde${\displaystyle L\gg (x+a/2)}$, la longitud del camino se convierte en $${\displaystyle S\approx \left(L+{\frac {(x+a/2)^{2}}{2L}}\right)=L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac {a^{2}}{8L}}}$$ Esta es la aproximación de Fresnel. Para simplificar aún más las cosas: si el objeto difractor es mucho más pequeño que la distancia${\displaystyle L}$, el último término contribuirá mucho menos que una longitud de onda a la longitud del camino, y por lo tanto no cambiará la fase de manera apreciable. Es decir${\displaystyle {\frac {a^{2}}{L}}\ll \lambda }$El resultado es la aproximación de Fraunhofer, que solo es válida muy lejos del objeto. $${\displaystyle S\approx L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}}$$ Dependiendo del tamaño del objeto de difracción, la distancia al objeto y la longitud de onda, puede ser válida la aproximación de Fresnel, la aproximación de Fraunhofer o ninguna de las dos. A medida que aumenta la distancia entre el punto de difracción medido y el punto de obstrucción, los patrones de difracción o los resultados predichos convergen hacia los de la difracción de Fraunhofer, que se observa con mayor frecuencia en la naturaleza debido a la longitud de onda extremadamente pequeña de la luz visible.

Como ejemplo, ahora se puede derivar una ecuación exacta para la intensidad del patrón de difracción en función del ángulo en el caso de la difracción de una sola rendija.

Se puede utilizar una representación matemática del principio de Huygens para iniciar una ecuación.

Consideremos una onda plana compleja monocromática.${\displaystyle \Psi ^{\prime }}$de longitud de onda λ incidente sobre una rendija de ancho a .

Si la rendija se encuentra en el plano x ′ -y ′ , con su centro en el origen, entonces se puede suponer que la difracción genera una onda compleja ψ, que viaja radialmente en la dirección r alejándose de la rendija, y esta viene dada por: $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

Sea ( x ′ , y ′ , 0) un punto dentro de la rendija sobre la cual se está integrando. Si ( x , 0, z ) es la ubicación en la cual se está calculando la intensidad del patrón de difracción, la rendija se extiende desde${\displaystyle x'=-a/2}$a${\displaystyle +a/2\,}$y de${\displaystyle y'=-\infty }$a${\displaystyle \infty }$.

La distancia r desde la rendija es: $${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}}}}$$$${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

Suponiendo que la difracción de Fraunhofer dará como resultado la conclusión${\displaystyle z\gg {\big |}\left(x-x^{\prime }\right){\big |}}$En otras palabras, la distancia al objetivo es mucho mayor que el ancho de difracción en el objetivo. Mediante la regla de expansión binomial , ignorando los términos cuadráticos y superiores, la cantidad de la derecha se puede estimar como:

$${\displaystyle r\approx z\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle r\approx z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}}$$

Se puede observar que 1/ r delante de la ecuación no es oscilatorio, es decir, su contribución a la magnitud de la intensidad es pequeña en comparación con nuestros factores exponenciales. Por lo tanto, perderemos poca precisión al aproximarlo como 1/ z .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &={\frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx'\end{aligned}}}$$

Para mayor claridad, se utiliza la letra C como marcador de posición para representar las constantes en la ecuación. Es importante tener en cuenta que C puede contener números imaginarios, por lo que la función de onda será compleja. Sin embargo, al final, ψ se agrupará entre corchetes, eliminando así cualquier componente imaginaria.

Ahora, en la difracción de Fraunhofer,${\displaystyle kx^{\prime 2}/z}$es pequeño, por lo tanto${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1}$(tenga en cuenta que${\displaystyle x^{\prime }}$participa en este crecimiento exponencial y se está integrando).

En contraste con el término${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}}$puede eliminarse de la ecuación, ya que cuando está entre paréntesis da 1. $${\displaystyle \left\langle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}|e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right\rangle =e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\left(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right)^{*}=e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1}$$

(Por la misma razón también hemos eliminado el término${\displaystyle e^{-ikz}}$)

Tomando${\displaystyle C=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}}$resultados en: $${\displaystyle \Psi =C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}\,dx^{\prime }=C{\frac {e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}}{\frac {ikx}{z}}}}$$

Se puede observar a través de la fórmula de Euler y sus derivados que

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

y de la geometría que

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {x}{z}}}$.

Por lo tanto, tenemos

$${\displaystyle \Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right]}$$ donde la función sinc (no normalizada) se define por${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sin(x)}{x}}}$.

Ahora, sustituyendo en${\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k}$, la intensidad (amplitud al cuadrado)${\displaystyle I}$La función de onda difractada en un ángulo θ viene dada por: $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}}$$

Comencemos de nuevo con la representación matemática del principio de Huygens . $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

Considerar${\displaystyle N}$ranuras en el plano principal de igual tamaño${\displaystyle a}$y espaciado${\displaystyle d}$extendido a lo largo del${\displaystyle x^{\prime }}$eje. Como se indicó anteriormente, la distancia${\displaystyle r}$Desde la rendija 1 es: $${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

Para generalizar esto a${\displaystyle N}$hendiduras, hacemos la observación de que mientras${\displaystyle z}$y${\displaystyle y}$permanecen constantes,${\displaystyle x^{\prime }}$cambios por $${\displaystyle x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd}$$

De este modo $${\displaystyle r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$ y la suma de todos${\displaystyle N}$Las contribuciones a la función de onda son: $${\displaystyle \Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x'-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$$

Nuevamente señalando que${\displaystyle {\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}}$es pequeño, por lo tanto${\displaystyle e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1}$, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=0}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }\end{aligned}}}$$

Ahora podemos usar la siguiente identidad. $${\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.}$$

Sustituyendo en nuestra ecuación, obtenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\end{aligned}}}$$

Ahora hacemos nuestro${\displaystyle k}$sustitución como antes y representar todas las constantes no oscilantes por la${\displaystyle I_{0}}$variable como en la difracción de una rendija y entre paréntesis el resultado. Recuerda que $${\displaystyle \left\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\right\rangle =e^{0}=1}$$

Esto nos permite descartar el exponente de cola y obtenemos nuestra respuesta: $${\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}$$

La siguiente sección utiliza un enfoque más matemático donde el tratamiento del problema como una suma sobre las ondas esféricas mencionadas anteriormente se deriva de la ecuación de onda pertinente; véase, por ejemplo, Born y Wolf para más detalles. ^{[ 1 ]} La onda que emerge de una fuente puntual tiene amplitud${\displaystyle \psi }$en la ubicación${\displaystyle \mathbf {r} }$que viene dada por la solución de la ecuación de onda en el dominio de la frecuencia para una fuente puntual (la ecuación de Helmholtz ), $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} ),}$$ dónde${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$es la función delta tridimensional. La función delta solo tiene dependencia radial, por lo que el operador de Laplace (también conocido como laplaciano escalar) en el sistema de coordenadas esféricas se simplifica a $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi ).}$$

(Véase del en coordenadas cilíndricas y esféricas ). Mediante sustitución directa, se puede demostrar fácilmente que la solución a esta ecuación es la función escalar de Green , que en el sistema de coordenadas esféricas (y utilizando la convención de tiempo de la física)${\displaystyle e^{-i\omega t}}$) es $${\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}.}$$

que es una onda esférica que emana del origen. Esta solución supone que la fuente de la función delta está ubicada en el origen. Si la fuente está ubicada en un punto fuente arbitrario, denotado por el vector${\displaystyle \mathbf {r} '}$y el punto de campo está ubicado en el punto${\displaystyle \mathbf {r} }$, entonces podemos representar la función escalar de Green (para una ubicación de fuente arbitraria) como $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Por lo tanto, si un campo eléctrico${\displaystyle E_{\mathrm {inc} }(x,y)}$Cuando incide sobre la abertura, el campo producido por esta distribución de abertura viene dado por la integral de superficie.$${\displaystyle \Psi (r)\propto \iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')~{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dx'\,dy',}$$

donde el punto fuente en la apertura viene dado por el vector $${\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} .}$$

En el campo lejano, donde se puede emplear la aproximación de rayos paralelos, la función de Green, $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}},}$$ simplifica a $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}$$ como puede verse en la figura adjunta .

La expresión para el campo de la zona lejana (región de Fraunhofer) se convierte en: $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}\,dx'\,dy'.}$$

Ahora, desde $${\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} }$$ y $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} ,}$$ La expresión para el campo de la región de Fraunhofer a partir de una apertura plana ahora se convierte en: $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'.}$$

Alquiler $${\displaystyle k_{x}=k\sin \theta \cos \phi }$$ y $${\displaystyle k_{y}=k\sin \theta \sin \phi \,,}$$ El campo de la región de Fraunhofer de la apertura planar adopta la forma de una transformada de Fourier.$${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',}$$

En la región de campo lejano/Fraunhofer, esto se convierte en la transformada de Fourier espacial de la distribución de la apertura. El principio de Huygens, cuando se aplica a una apertura, simplemente indica que el patrón de difracción de campo lejano es la transformada de Fourier espacial de la forma de la apertura, y esto es un subproducto directo del uso de la aproximación de rayos paralelos, que es idéntica a realizar una descomposición de onda plana de los campos planos de la apertura (véase óptica de Fourier ). En el campo lejano, donde r es esencialmente constante, entonces la ecuación: $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$ es equivalente a realizar una transformada de Fourier en los huecos de la barrera. ^{[ 2 ]}

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