difracción de Fraunhofer

La derivación de la condición de Fraunhofer aquí se basa en la geometría descrita en el recuadro derecho. ^{[ 8 ]} La trayectoria de onda difractada r ₂ puede expresarse en términos de otra trayectoria de onda difractada r ₁ y la distancia b entre dos puntos de difracción utilizando la ley de los cosenos ;

$${\displaystyle {r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.}$$

Esto se puede ampliar calculando la serie de Taylor de la expresión hasta segundo orden con respecto a${\displaystyle {\frac {b}{r_{1}}}}$, $${\displaystyle {r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.}$$

La diferencia de fase entre las ondas que se propagan a lo largo de las trayectorias r ₂ y r ₁ es, con el número de onda donde λ es la longitud de onda de la luz, $${\displaystyle k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .}$$

Si${\displaystyle k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi }$entonces${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1}$, entonces la diferencia de fase es${\displaystyle kr_{2}-kr_{1}\aprox -kb\sin \theta }$La implicación geométrica de esta expresión es que las trayectorias r ₂ y r ₁ son aproximadamente paralelas entre sí. Dado que puede existir un plano de difracción-observación, la trayectoria de la onda difractada cuyo ángulo con respecto a una línea recta paralela al eje óptico es cercano a 0, esta condición de aproximación se puede simplificar aún más como${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$donde L es la distancia entre dos planos a lo largo del eje óptico. Debido a que una onda incidente en un plano difractor es efectivamente una onda plana si${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$donde L es la distancia entre el plano de difracción y la fuente de onda puntual se cumple, la condición de Fraunhofer es${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$donde L es la menor de las dos distancias, una está entre el plano de difracción y el plano de observación y la otra está entre el plano de difracción y la fuente de onda puntual.

En el campo lejano, las trayectorias de propagación de las ondículas desde cada punto de una apertura hasta un punto de observación son aproximadamente paralelas, y una lente positiva (lente de enfoque) enfoca los rayos paralelos hacia la lente en un punto del plano focal (la posición del punto focal en el plano focal depende del ángulo de los rayos paralelos con respecto al eje óptico). Por lo tanto, si se coloca una lente positiva con una distancia focal suficientemente larga (de modo que las diferencias entre las orientaciones del campo eléctrico de las ondículas puedan ignorarse en el foco) después de una apertura, entonces la lente prácticamente crea el patrón de difracción de Fraunhofer de la apertura en su plano focal cuando los rayos paralelos se encuentran en el foco. ^{[ 9 ]}

El ancho de la rendija es W. El patrón de difracción de Fraunhofer se muestra en la imagen junto con una gráfica de la intensidad frente al ángulo θ . ^{[ 10 ]} El patrón tiene una intensidad máxima en θ = 0 y una serie de picos de intensidad decreciente. La mayor parte de la luz difractada cae entre los primeros mínimos. El ángulo, α , subtendido por estos dos mínimos viene dado por: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}}$$

Por lo tanto, cuanto menor sea la apertura, mayor será el ángulo α subtendido por las bandas de difracción. El tamaño de la banda central a una distancia z viene dado por

$${\displaystyle d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}}$$

Por ejemplo, cuando una rendija de 0,5  mm de ancho se ilumina con luz de longitud de onda de 0,6  μm y se observa a una distancia de 1000  mm, el ancho de la banda central en el patrón de difracción es de 2,4  mm.

Las franjas se extienden hasta el infinito en la dirección y, ya que la rendija y la iluminación también se extienden hasta el infinito.

Si W < λ , la intensidad de la luz difractada no cae a cero, y si${\displaystyle D\ll \lambda }$La onda difractada es cilíndrica.

Análisis semicuantitativo de la difracción de rendija simple

Podemos hallar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada mediante el siguiente razonamiento. Consideremos la luz difractada en un ángulo θ, donde la distancia CD es igual a la longitud de onda de la luz incidente. El ancho de la rendija es la distancia AC . La componente de la onda emitida desde el punto A que viaja en la dirección θ está en antifase con la onda del punto B en el centro de la rendija, de modo que la contribución neta en el ángulo θ de estas dos ondas es cero. Lo mismo se aplica a los puntos justo debajo de A y B , y así sucesivamente. Por lo tanto, la amplitud de la onda total que viaja en la dirección θ es cero. Tenemos:

$${\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$$

El ángulo subtendido por los primeros mínimos a cada lado del centro es entonces, como se indicó anteriormente:

$${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$$

No existe un argumento tan sencillo que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción.

Difracción de una sola rendija utilizando el principio de Huygens.

Podemos desarrollar una expresión para el campo lejano de un arreglo continuo de fuentes puntuales de amplitud uniforme y de la misma fase. Sea el arreglo de longitud a paralelo al eje y con su centro en el origen, como se indica en la figura de la derecha. Entonces, el campo diferencial es: ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy}$$

dónde${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$. Sin embargo${\displaystyle r_{1}=ry\sin \theta }$y la integración desde${\displaystyle -a/2}$a${\displaystyle a/2}$,

$${\displaystyle E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy}$$ dónde${\displaystyle A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}}$.

Integrando, entonces obtenemos $${\displaystyle E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)}$$

Alquiler${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$donde la longitud de la matriz en radianes es${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$, entonces, ^{[ 12 ]}$${\displaystyle E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$$

La forma del patrón de difracción producido por una apertura rectangular se muestra en la figura de la derecha (o arriba, en formato de tableta). ^{[ 13 ]} Hay un pico central semirrectangular, con una serie de franjas horizontales y verticales. Las dimensiones de la banda central están relacionadas con las dimensiones de la rendija mediante la misma relación que para una rendija simple, de modo que la dimensión mayor en la imagen difractada corresponde a la dimensión menor en la rendija. El espaciado de las franjas también es inversamente proporcional a la dimensión de la rendija.

Si el haz de luz no ilumina toda la longitud vertical de la rendija, el espaciado de las franjas verticales viene determinado por las dimensiones del haz. Un análisis detallado del patrón de difracción de doble rendija que se muestra a continuación revela la presencia de franjas de difracción horizontales muy finas por encima y por debajo del punto principal, además de las franjas horizontales más evidentes.

El patrón de difracción producido por una apertura circular se muestra en la figura de la derecha. ^{[ 14 ]} Este se conoce como el patrón de difracción de Airy . Se puede observar que la mayor parte de la luz se encuentra en el disco central. El ángulo subtendido por este disco, conocido como disco de Airy, es

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}}$$ donde W es el diámetro de la abertura.

El disco de Airy puede ser un parámetro importante que limita la capacidad de un sistema de imágenes para resolver objetos situados muy cerca unos de otros.

El patrón de difracción obtenido mediante una apertura con perfil gaussiano , por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmitancia presenta una variación gaussiana, también es una función gaussiana . La forma de la función se representa gráficamente a la derecha (arriba, para una tableta), y se puede observar que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aperturas rectangulares o circulares, no presenta anillos secundarios. ^{[ 15 ]} Esta técnica se puede utilizar en un proceso denominado apodización : la apertura se cubre con un filtro gaussiano , lo que da como resultado un patrón de difracción sin anillos secundarios.

El perfil de salida de un haz láser monomodo puede tener un perfil de intensidad gaussiano y la ecuación de difracción puede utilizarse para demostrar que mantiene ese perfil independientemente de la distancia a la que se propague desde la fuente. ^{[ 16 ]}

En el experimento de la doble rendija , las dos rendijas se iluminan con un único haz de luz . Si el ancho de las rendijas es lo suficientemente pequeño (menor que la longitud de onda de la luz), las rendijas difractan la luz en ondas cilíndricas. Estos dos frentes de onda cilíndricos se superponen, y la amplitud, y por lo tanto la intensidad, en cualquier punto de los frentes de onda combinados depende tanto de la magnitud como de la fase de los dos frentes de onda. ^{[ 17 ]} Estas franjas se conocen a menudo como franjas de Young .

El espaciado angular de las franjas viene dado por $${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$$

El espaciado de las franjas a una distancia z de las rendijas viene dado por ^{[ 18 ].}$${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$$ donde d es la separación de las rendijas.

Las franjas de la imagen se obtuvieron utilizando la luz amarilla de una lámpara de sodio (longitud de onda = 589  nm), con rendijas separadas por 0,25  mm, y proyectada directamente sobre el plano de imagen de una cámara digital .

Las franjas de interferencia de doble rendija se pueden observar cortando dos rendijas en un trozo de cartón, iluminándolo con un puntero láser y observando la luz difractada a una distancia de 1  m. Si la separación entre las rendijas es de 0,5  mm y la longitud de onda del láser es de 600  nm, entonces la separación de las franjas observadas a una distancia de 1  m sería de 1,2  mm.

Explicación semicuantitativa de las franjas de doble rendija

La diferencia de fase entre las dos ondas está determinada por la diferencia en la distancia recorrida por las dos ondas.

Si la distancia de observación es grande en comparación con la separación de las rendijas (el campo lejano ), la diferencia de fase se puede encontrar utilizando la geometría que se muestra en la figura. La diferencia de trayectoria entre dos ondas que viajan en un ángulo θ viene dada por $${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$$

Cuando las dos ondas están en fase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a un número entero de longitudes de onda, la amplitud sumada y, por lo tanto, la intensidad sumada es máxima; y cuando están en contrafase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a media longitud de onda, una longitud de onda y media, etc., entonces las dos ondas se cancelan y la intensidad sumada es cero. Este efecto se conoce como interferencia .

Los máximos de las franjas de interferencia ocurren en ángulos $${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$ donde λ es la longitud de onda de la luz. El espaciado angular de las franjas viene dado por $${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$$

Cuando la distancia entre las rendijas y el plano de visión es z , el espaciado de las franjas es igual a zθ y es el mismo que el anterior: $${\displaystyle w=z\lambda /d.}$$

En Born y Wolf, una rejilla se define como "cualquier disposición que impone a una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas".

Una rejilla cuyos elementos están separados por S difracta un haz de luz incidente normalmente en un conjunto de haces, en ángulos θ _n dados por: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle ~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Esto se conoce como la ecuación de la rejilla . Cuanto menor sea el espaciado de la rejilla, mayor será la separación angular de los haces difractados.

Si la luz incide con un ángulo θ ₀ , la ecuación de la rejilla es: $${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

La estructura detallada del patrón repetitivo determina la forma de los haces difractados individuales, así como su intensidad relativa, mientras que el espaciado de la rejilla siempre determina los ángulos de los haces difractados.

La imagen de la derecha muestra un haz láser difractado por una rejilla en haces n = 0 y ±1. Los ángulos de los haces de primer orden son de aproximadamente 20°; si suponemos que la longitud de onda del haz láser es de 600  nm, podemos inferir que el espaciado de la rejilla es de aproximadamente 1,8  μm.

Explicación semicuantitativa

Una rejilla simple consiste en una serie de rendijas en una pantalla. Si la luz que viaja con un ángulo θ desde cada rendija tiene una diferencia de trayectoria de una longitud de onda con respecto a la rendija adyacente, todas estas ondas se sumarán, de modo que la intensidad máxima de la luz difractada se obtiene cuando:

$${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Esta es la misma relación que se muestra arriba.