Ecuación diferencial con retardo

En matemáticas , las ecuaciones diferenciales con retardo ( EDR ) son un tipo de ecuación diferencial en la que la derivada de la función desconocida en un momento dado se expresa en términos de los valores de la función en momentos anteriores. Las EDR también se denominan sistemas con retardo temporal , sistemas con efecto residual o tiempo muerto, sistemas hereditarios, ecuaciones con argumento desviado o ecuaciones diferenciales en diferencias. Pertenecen a la clase de sistemas con un estado funcional , es decir, ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que son de dimensión infinita, a diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que tienen un vector de estado de dimensión finita. Cuatro puntos pueden dar una posible explicación de la popularidad de las EDR: ^{[ 1 ]}

1. El efecto posterior es un problema aplicado: es bien sabido que, junto con las crecientes expectativas de rendimiento dinámico, los ingenieros necesitan que sus modelos se comporten de manera más similar al proceso real. Muchos procesos incluyen fenómenos de efecto posterior en su dinámica interna. Además, los actuadores , sensores y redes de comunicación que ahora participan en bucles de control de retroalimentación introducen dichos retrasos. Finalmente, además de los retrasos reales, los retardos temporales se utilizan con frecuencia para simplificar modelos de orden muy alto. Por lo tanto, el interés por las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) sigue creciendo en todas las áreas científicas y, especialmente, en la ingeniería de control.
2. Los sistemas con retardo siguen siendo resistentes a muchos controladores clásicos : cabría pensar que la solución más sencilla consistiría en sustituirlos por aproximaciones de dimensión finita. Desafortunadamente, ignorar efectos que se representan adecuadamente mediante ecuaciones diferenciales con retardo no es una alternativa general: en el mejor de los casos (retardos constantes y conocidos), conlleva el mismo grado de complejidad en el diseño del control. En los peores casos (retardos variables en el tiempo, por ejemplo), puede resultar desastroso en términos de estabilidad y oscilaciones.
3. La introducción voluntaria de retardos puede beneficiar al sistema de control . ^{[ 2 ]}
4. A pesar de su complejidad, las EDD a menudo aparecen como modelos simples de dimensión infinita en el área muy compleja de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Una forma general de la ecuación diferencial con retardo de tiempo para${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$es $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$$ dónde${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$representa la trayectoria de la solución en el pasado. En esta ecuación,${\displaystyle f}$es un operador funcional de${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• Retraso continuo$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f{\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)}}$$
• Retardo discreto$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$para${\displaystyle \tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.}$
• Lineal con retardos discretos$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$dónde${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$.
• Ecuación del pantógrafo$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$donde a , b y λ son constantes y 0 < λ < 1. Esta ecuación y algunas formas más generales reciben su nombre de los pantógrafos de los trenes. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) se resuelven principalmente de forma gradual mediante un principio denominado método de pasos. Por ejemplo, consideremos la EDR con un único retardo. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

con la condición inicial dada${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces la solución en el intervalo${\displaystyle [0,\tau ]}$es dado por${\displaystyle \psi (t)}$que es la solución al problema de valor inicial no homogéneo$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$ con${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$Esto puede continuarse para los intervalos sucesivos utilizando la solución del intervalo anterior como término no homogéneo. En la práctica, el problema de valor inicial se suele resolver numéricamente.

En algunos casos, las ecuaciones diferenciales pueden representarse en un formato que se parece a las ecuaciones diferenciales con retardo .

• Ejemplo 1 Consideremos una ecuación$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).}$$Introducir${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau }$para obtener un sistema de EDO$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.}$$
• Ejemplo 2 Una ecuación$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)}$$es equivalente a$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$dónde$${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .}$$

De forma similar a las EDO , muchas propiedades de las EDD lineales pueden caracterizarse y analizarse utilizando la ecuación característica . ^{[ 5 ]} La ecuación característica asociada a la EDD lineal con retardos discretos $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$es el polinomio exponencial dado por$${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$

Las raíces λ de la ecuación característica se denominan raíces características o autovalores, y el conjunto de soluciones se conoce a menudo como espectro . Debido a la exponencial en la ecuación característica, la EDO tiene, a diferencia del caso de la EDO, un número infinito de autovalores, lo que hace que el análisis espectral sea más complejo. Sin embargo, el espectro posee algunas propiedades que pueden aprovecharse en el análisis. Por ejemplo, aunque existe un número infinito de autovalores, solo hay un número finito de autovalores en cualquier franja vertical del plano complejo. ^{[ 6 ]}

Esta ecuación característica es un problema de valores propios no lineal y existen muchos métodos para calcular el espectro numéricamente. ^{[ 7 ] [ 8 ]} En algunas situaciones especiales es posible resolver la ecuación característica explícitamente. Consideremos, por ejemplo, la siguiente EDD: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}$$ La ecuación característica es $${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.}$$ Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones para λ complejo . Están dadas por $${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$ donde W _k es la k -ésima rama de la función W de Lambert , por lo tanto: $${\displaystyle x(t)=x(0)\,e^{W_{k}(-1)\cdot t}.}$$

La siguiente DDE: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$

Tener como solución en${\displaystyle \mathbb {R} }$la función: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}F(t+1),&|t|<1\\0,&|t|\geq 1\end{cases}}}$$con${\displaystyle F(t)}$la función de Fabius , conocida como función de Rvachëv up . ^{[ 11 ]}

• Dinámica de la diabetes ^{[ 12 ]}
• Epidemiología ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• Dinámica de poblaciones ^{[ 15 ] [ 16 ]}
• Electrodinámica clásica ^{[ 17 ]}

• Ecuación diferencial funcional
• Desigualdad de Halanay
• Función de la ira

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales con retardo . Matemáticas numéricas y computación científica. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Ecuaciones diferenciales en diferencias (PDF) . Matemáticas en ciencia e ingeniería. Nueva York, NY: Academic Press. ISBN 978-0120848508.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Briat, Corentin (2015). Sistemas lineales con parámetros variables y retardo de tiempo: análisis, observación, filtrado y control . Avances en retardos y dinámica. Heidelberg, Alemania: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Driver, Rodney D. (1977). Ecuaciones diferenciales ordinarias y con retardo . Ciencias matemáticas aplicadas. Vol.  20. Nueva York, NY: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4684-9467-9 . ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Ecuaciones diferenciales con retardo aplicadas . Encuestas y tutoriales en ciencias matemáticas aplicadas. Vol.  3. Nueva York, NY: Springer Science+Business Media. doi : 10.1007/978-0-387-74372-1 . ISBN 978-0387743714.

• Skip Thompson (ed.). "Ecuaciones diferenciales con retardo" . Scholarpedia .