función diferenciable

En análisis matemático , una función real o compleja de una sola variable es diferenciable si su derivada existe en cada punto de su dominio . Para funciones de valor real de una variable real, la gráfica de una función diferenciable tiene una línea tangente no vertical en cada punto interior de su dominio. Una función diferenciable es localmente aproximable por una función lineal en cada punto interior y no contiene quiebres , ángulos ni cúspides .

Si $x_{0}$ es un punto interior en el dominio de una función real $f$ , entonces $f$ Se dice que es diferenciable en $x_{0}$ si existe un $L\in \mathbb {R}$ de tal manera que para todos $\epsilon >0$ , existe un $\delta >0$ de tal manera que para todos $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta )$ , ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )$ . En otras palabras, la gráfica de $f$ tiene una línea tangente no vertical en el punto $(x_{0},f(x_{0}))$ . $f$ Se dice que es diferenciable en un subconjunto. $U\subseteq \mathbb {R}$ si es diferenciable en cada punto en $U$ . $f$ Se dice que es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua sobre el dominio de ${\textstyle f}$ .

Las funciones continuas pueden no ser diferenciables en ningún punto de su dominio, como la función de Weierstrass . Tomar antiderivadas sucesivas de dicha función permite obtener una función que es diferenciable solo un número finito de veces, siendo este número finito cualquier entero positivo. Dado un entero positivo $k$ , $f$ Se dice que es de clase $C^{k}$ si es su primera $k$ derivados ${\textstyle f^{\prime },f^{\prime \prime },\ldots ,f^{(k)}}$ existen y son continuos sobre el dominio de $f$ .

Para una función multivariable, como se muestra aquí , su diferenciabilidad es algo más complejo que la existencia de sus derivadas parciales. Sin embargo, la esencia es la misma: una función que se puede aproximar localmente mediante una aplicación lineal en $\mathbf {X_{0}}$ Se dice que es diferenciable en este punto.

Diferenciabilidad de funciones reales de una variable

Una función $f:U\to \mathbb {R}$ , definido en un conjunto abierto ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ , se dice que es diferenciable en $a\in U$ si la derivada

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}

existe. Esto implica que la función es continua en $a$ .

Se dice que esta función $f$ es diferenciable en $U$ si es diferenciable en cada punto de $U.$ En este caso, la derivada de $f$ es, por lo tanto, una función de $U$ en $\mathbb {R} .$

Una función continua no es necesariamente diferenciable, pero una función diferenciable es necesariamente continua (en cada punto donde es diferenciable), como se muestra a continuación (en la sección Diferenciabilidad y continuidad ). Se dice que una función es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua; existen funciones que son diferenciables pero no continuamente diferenciables (se da un ejemplo en la sección Clases de diferenciabilidad ).

Semidiferenciabilidad

La definición anterior puede extenderse para definir la derivada en los puntos límite del dominio que también pertenecen al dominio. La derivada de una función ${\textstyle f:A\to \mathbb {R} }$ definido en un subconjunto cerrado ${\textstyle A\subsetneq \mathbb {R}}$ de los números reales, evaluados en un punto límite ${\textstyle c}$ , puede definirse como el siguiente límite unilateral, donde el argumento ${\textstyle x}$ aproches ${\textstyle c}$ de tal manera que siempre esté dentro ${\textstyle A}$ :

f'(c)=\lim _{\scriptstyle x\to c \atop \scriptstyle x\in A}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}.

Para ${\textstyle x}$ permanecer dentro ${\textstyle A}$ , que es un subconjunto de los números reales, se deduce que este límite se definirá como

f'(c)=\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}\quad {\text{o}}\quad f'(c)=\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}.

Diferenciabilidad y continuidad

Si $f$ es diferenciable en un punto $x₀,$ entonces $f$ también debe ser continua en $x₀$ . En particular, cualquier función diferenciable debe ser continua en cada punto de su dominio. Lo contrario no se cumple : una función continua no tiene $por$ qué ser diferenciable. Por ejemplo, una función con un punto de inflexión, una cúspide o una tangente vertical puede ser continua, pero no diferenciable en la ubicación de la anomalía.

La mayoría de las funciones que aparecen en la práctica tienen derivadas en todos los puntos o en casi todos . Sin embargo, un resultado de Stefan Banach afirma que el conjunto de funciones que tienen derivada en algún punto es un conjunto reducido en el espacio de todas las funciones continuas. ^{[ 1 ]} De manera informal, esto significa que las funciones diferenciables son muy atípicas entre las funciones continuas. El primer ejemplo conocido de una función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna es la función de Weierstrass .

Clases de diferenciabilidad

{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } — La función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ con $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ para $x\neq 0$ y $f(0)=0$ es diferenciable. Sin embargo, esta función no es continuamente diferenciable.

Una función ${\textstyle f}$ Se dice que es continuamente diferenciable si la derivada ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ existe y es en sí misma una función continua. Aunque la derivada de una función diferenciable nunca tiene una discontinuidad de salto , es posible que la derivada tenga una discontinuidad esencial . Por ejemplo, la función $f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}$ es diferenciable en 0, ya que $f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0$ existe. Sin embargo, para $x\neq 0,$ Las reglas de diferenciación implican $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,$ que no tiene límite como $x\to 0.$ Así, este ejemplo muestra la existencia de una función que es diferenciable pero no continuamente diferenciable (es decir, la derivada no es una función continua). Sin embargo, el teorema de Darboux implica que la derivada de cualquier función satisface la conclusión del teorema del valor intermedio .

De manera similar a como se dice que las funciones continuas son de clase $C^{0},$ A veces se dice que las funciones continuamente diferenciables son de clase $C^{1}$ . Una función es de clase $C^{2}$ si la primera y la segunda derivada de la función existen y son continuas. De forma más general, se dice que una función es de clase $C^{k}$ si el primero $k$ derivados ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ Todas existen y son continuas. Si las derivadas $f^{(n)}$ existen para todos los enteros positivos ${\textstyle n,}$ La función es suave o, equivalentemente, de clase $C^{\infty }.$

Diferenciabilidad en dimensiones superiores

Se dice que una función de varias variables reales $f : R m \to R n$ es diferenciable en un punto $x 0$ si existe una aplicación lineal $M : R m \to R n$ ^{[ Nota 1 ]} tal que

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {M} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0,

donde $|| v ||$ para un vector $v$ es su norma . Si una función es diferenciable en $x 0$ , entonces todas las derivadas parciales existen en $x 0$ , y la aplicación lineal $M$ viene dada por $J f \cdot h$ , donde $J f$ , la matriz jacobiana para $f$ evaluada en $x 0$ (una matriz n × m en este caso), se multiplica por la izquierda por un vector $h$ en $R m$ . Una formulación similar de la derivada de dimensión superior viene dada por el lema del incremento fundamental .

Si todas las derivadas parciales de una función existen en un entorno de un punto $x 0$ y son continuas en el punto $x 0$ ^{[ Nota 2 ]} , entonces la función es diferenciable en ese punto $x 0$ ; ^{[ Nota 3 ]} La existencia de las derivadas parciales (o incluso de todas las derivadas direccionales ) no garantiza que una función sea diferenciable en un punto. Por ejemplo, la función $f : R 2 \to R$ definida por

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}

no es diferenciable en $(0, 0)$ mientras que todas las derivadas parciales y derivadas direccionales existen en este punto. Para un ejemplo continuo, la función

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

no es diferenciable en $(0, 0)$ , mientras que, de nuevo, existen todas las derivadas parciales y las derivadas direccionales.

Diferenciabilidad en el análisis complejo

En análisis complejo , la diferenciabilidad compleja se define utilizando la misma definición que las funciones reales de una sola variable. Esto es posible porque un número complejo (típicamente expresado como ${\textstyle z=x+iy}$ ) se puede dividir por un número complejo. Por lo tanto, una función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ Se dice que es diferenciable en ${\textstyle x=a}$ cuando

f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Este límite existe solo si el límite es el mismo independientemente de la elección de la dirección de aproximación. $a$ Aunque esta definición se parece a la diferenciabilidad de funciones reales de una sola variable, es, sin embargo, una condición más restrictiva. Una función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ que es diferenciable de forma compleja en un punto ${\textstyle x=a}$ , es automáticamente diferenciable en ese punto cuando se considera como una función $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ (real-diferenciable). ^{[ Nota 4 ]} Esto se debe a que la diferenciabilidad compleja ^{[ Nota 5 ]} implica que

\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {\|f(a+h)-f(a)-f'(a)h\|}{\|h\|}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0,

dónde $f'(a)h$ es un mapa lineal $\mathbf {M} (\mathbf {h} )$ en la definición de la diferenciabilidad de espacios de dimensiones superiores arriba , y se utiliza la norma del valor absoluto . Sin embargo, una función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ que es diferenciable como una función multivariable, puede no ser diferenciable en el sentido complejo. Por ejemplo, simplemente usando ${\textstyle z=x+iy}$ , ${\textstyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ se convierte en la función real de 2 variables $f(x,y)=x$ que es diferenciable en cada punto. Sin embargo, esta función no es diferenciable en el sentido complejo en ningún punto porque el límite ${\textstyle f'(z)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$ da valores diferentes para diferentes aproximaciones a 0. Por ejemplo, si ${\textstyle h}$ va a lo largo del eje real, así que ${\textstyle h=x}$ entonces ${\textstyle f'(z)=\lim _{x\to 0}{\frac {2x}{2x}}=1}$ mientras que si $h$ va a lo largo del eje imaginario, así que ${\textstyle h=iy}$ entonces ${\textstyle f'(z)=\lim _{y\to 0}{\frac {0}{2iy}}=0}$ .

Cualquier función que sea diferenciable en el sentido complejo en un entorno de un punto se denomina holomorfa en ese punto. Dicha función es necesariamente infinitamente diferenciable y, de hecho, analítica en ese punto. Lo contrario también es cierto, por lo que ser holomorfa equivale a ser analítica en análisis complejo .

Funciones diferenciables en variedades

Si M es una variedad diferenciable , se dice que una función f de valores reales o complejos definida en M es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a alguna (o cualquier) carta de coordenadas definida alrededor de p . Si M y N son variedades diferenciables, se dice que una función f : M → N es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a alguna (o cualquier) carta de coordenadas definida alrededor de p y f ( p ).

Véase también

Notas

↑ Para ${\textstyle m=n=1}$ , ${\textstyle \mathbf {M} }$ es la función escalar lineal unidimensional ${\textstyle \mathbb {f} _{x}\mathbb {h} }$ , dónde ${\textstyle \mathbb {f} _{x}}$ es el derivado de ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ Esta función lineal representa la línea tangente a ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ . Para ${\textstyle m=2}$ y ${\textstyle n=1}$ , ${\textstyle \mathbf {M} }$ es la función escalar lineal bidimensional ${\textstyle \mathbb {f} _{x}\mathbb {h} _{x}+\mathbb {f} _{y}\mathbb {h} _{y}}$ dónde ${\textstyle \mathbb {f} _{x}}$ y ${\textstyle \mathbb {f} _{y}}$ son derivadas parciales de ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ Esta función lineal representa el plano tangente a ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ .
↑ Cada derivada parcial es continua en este punto sobre el dominio de la función, no solo continua a lo largo de una dirección determinada.
↑ Para una función escalar bidimensional, la demostración se encuentra en "Teorema 8, Apéndice F "Demostraciones de teoremas", Cálculo, 8.ª edición, James Stewart, Cengage learning, 2015", y esta demostración parece ser extensible a funciones escalares de dimensiones superiores.
↑ Cualquier número complejo $z=x+iy$ se puede obtener mediante una combinación lineal de la base estándar de ${\textstyle \{1,i\}}$ con escalares reales ${\textstyle x}$ y ${\textstyle y}$ , lo que significa que el conjunto de números complejos puede verse como un espacio vectorial real bidimensional . Con una base dada, un número complejo también puede expresarse como una tupla. $(x,y)$ , por lo que los números complejos también pueden verse como el espacio vectorial real bidimensional. ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ , el producto cartesiano de dos espacios reales, con base en ${\textstyle \{(1,0),(0,1)\}}$ .
↑ Cada número complejo ${\textstyle z=x+iy}$ puede verse como una tupla ${\textstyle (x,y)}$ por lo tanto la función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ puede ser visto como $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ , una función del espacio vectorial real bidimensional ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ a ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Incluso en esta perspectiva de espacio vectorial, la diferenciabilidad compleja mencionada anteriormente sigue siendo válida, porque los números complejos son un campo (una especie de espacio vectorial) donde se definen la multiplicación y la división: ${\begin{array}{lcl}(a+ib)(c+id)&=&(ac-bd)+i(ad+bc)&\to &(a,b)(c,d)&=&(ac-bd,ad+bc),\\{\frac {(a+ib)}{(c+id)}}&=&{\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}&\to &(a,b)/(c,d)&=&({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}).\end{array}}$

Referencias

^ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen" . Estudia Matemáticas. 3 (1): 174– 179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .. Citado por Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. Teorema 17.8.

[2] Para ${\textstyle m=n=1}$ , ${\textstyle \mathbf {M} }$ es la función escalar lineal unidimensional ${\textstyle \mathbb {f} _{x}\mathbb {h} }$ , dónde ${\textstyle \mathbb {f} _{x}}$ es el derivado de ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ Esta función lineal representa la línea tangente a ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ . Para ${\textstyle m=2}$ y ${\textstyle n=1}$ , ${\textstyle \mathbf {M} }$ es la función escalar lineal bidimensional ${\textstyle \mathbb {f} _{x}\mathbb {h} _{x}+\mathbb {f} _{y}\mathbb {h} _{y}}$ dónde ${\textstyle \mathbb {f} _{x}}$ y ${\textstyle \mathbb {f} _{y}}$ son derivadas parciales de ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ Esta función lineal representa el plano tangente a ${\textstyle \mathbf {f} }$ en ${\textstyle \mathbf {x_{0}} }$ .

[3] Cada derivada parcial es continua en este punto sobre el dominio de la función, no solo continua a lo largo de una dirección determinada.

[4] Para una función escalar bidimensional, la demostración se encuentra en "Teorema 8, Apéndice F "Demostraciones de teoremas", Cálculo, 8.ª edición, James Stewart, Cengage learning, 2015", y esta demostración parece ser extensible a funciones escalares de dimensiones superiores.

[5] Cualquier número complejo $z=x+iy$ se puede obtener mediante una combinación lineal de la base estándar de ${\textstyle \{1,i\}}$ con escalares reales ${\textstyle x}$ y ${\textstyle y}$ , lo que significa que el conjunto de números complejos puede verse como un espacio vectorial real bidimensional . Con una base dada, un número complejo también puede expresarse como una tupla. $(x,y)$ , por lo que los números complejos también pueden verse como el espacio vectorial real bidimensional. ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ , el producto cartesiano de dos espacios reales, con base en ${\textstyle \{(1,0),(0,1)\}}$ .

[6] Cada número complejo ${\textstyle z=x+iy}$ puede verse como una tupla ${\textstyle (x,y)}$ por lo tanto la función ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ puede ser visto como $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ , una función del espacio vectorial real bidimensional ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ a ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Incluso en esta perspectiva de espacio vectorial, la diferenciabilidad compleja mencionada anteriormente sigue siendo válida, porque los números complejos son un campo (una especie de espacio vectorial) donde se definen la multiplicación y la división: ${\begin{array}{lcl}(a+ib)(c+id)&=&(ac-bd)+i(ad+bc)&\to &(a,b)(c,d)&=&(ac-bd,ad+bc),\\{\frac {(a+ib)}{(c+id)}}&=&{\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}&\to &(a,b)/(c,d)&=&({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}).\end{array}}$

[1] Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen" . Estudia Matemáticas. 3 (1): 174– 179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .. Citado por Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. Teorema 17.8.

[ 1 ]

[ Nota 1 ]

[ Nota 2 ]

[ Nota 3 ]

[ Nota 4 ]

[ Nota 5 ]