Morfismo diagonal

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , para cada objeto${\displaystyle A}$en todas las categorías${\displaystyle {\mathcal {C}}}$donde el producto${\displaystyle A\times A}$existe, existe el morfismo diagonal ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \delta _{A}:A\rightarrow A\times A}$

satisfactorio

${\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{A}=\operatorname {id} _{A}}$para${\displaystyle k\in \{1,2\},}$

dónde${\displaystyle \pi _{k}}$es el morfismo de proyección canónico al${\displaystyle k}$-ésimo componente. La existencia de este morfismo es consecuencia de la propiedad universal que caracteriza el producto ( salvo isomorfismo ). La restricción a productos binarios aquí es para simplificar la notación; los morfismos diagonales existen de manera similar para productos arbitrarios. La imagen de un morfismo diagonal en la categoría de conjuntos , como subconjunto del producto cartesiano , es una relación en el dominio , a saber, igualdad .

Para categorías concretas , el morfismo diagonal puede describirse simplemente por su acción sobre los elementos.${\displaystyle x}$del objeto${\displaystyle A}$. Es decir,${\displaystyle \delta _ {A}(x)=\langle x,x\rangle }$, el par ordenado formado a partir de${\displaystyle x}$. La razón del nombre es que la imagen de tal morfismo diagonal es diagonal (siempre que tenga sentido), por ejemplo la imagen del morfismo diagonal${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$en la recta real viene dada por la recta que es la gráfica de la ecuación${\displaystyle y=x}$. El morfismo diagonal en el producto infinito${\displaystyle X^{\infty }}$puede proporcionar una inyección en el espacio de secuencias valoradas en${\displaystyle X}$Cada elemento se corresponde con la secuencia constante en ese elemento. Sin embargo, la mayoría de las nociones de espacios de secuencias tienen restricciones de convergencia que la imagen de la aplicación diagonal no podrá satisfacer.

La noción dual de un morfismo diagonal es un morfismo codiagonal . Para cada objeto${\displaystyle B}$en una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$donde los coproductos${\displaystyle B\sqcup B}$existe, la codiagonal ^{[ 3 ] [ 2 ] [ 7 ] [ 5 ] [ 6 ]} es el morfismo canónico

${\displaystyle \delta _{B}\colon B\sqcup B{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}B}$

satisfactorio

${\displaystyle \delta _{B}\circ \tau _{l}=\operatorname {id} _{B}}$para${\displaystyle l\in \{1,2\}.}$

dónde${\displaystyle \tau _{l}}$es el morfismo de inyección al${\displaystyle l}$-ésimo componente.

• functor diagonal
• Incrustaciones diagonales
• wikibooks:Teoría de categorías/(Co)conos y (co)límites

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