Descomposición de un módulo

En álgebra abstracta , la descomposición de un módulo es una forma de escribirlo como suma directa de módulos . Un tipo de descomposición se usa a menudo para definir o caracterizar módulos: por ejemplo, un módulo semisimple es un módulo que se descompone en módulos simples . Dado un anillo , los tipos de descomposición de módulos sobre el anillo también se pueden usar para definirlo o caracterizarlo: un anillo es semisimple si y solo si cada módulo sobre él es un módulo semisimple.

Un módulo indescomponible es un módulo que no es una suma directa de dos submódulos distintos de cero . El teorema de Azumaya establece que si un módulo tiene una descomposición en módulos con anillos de endomorfismos locales , entonces todas las descomposiciones en módulos indescomponibles son equivalentes entre sí; un caso especial de esto, especialmente en teoría de grupos , se conoce como el teorema de Krull-Schmidt .

Un caso especial de descomposición de un módulo es la descomposición de un anillo: por ejemplo, un anillo es semisimple si y solo si es una suma directa (de hecho, un producto ) de anillos de matrices sobre anillos de división (esta observación se conoce como el teorema de Artin-Wedderburn ).

Dar una descomposición en suma directa de un módulo en submódulos es lo mismo que dar idempotentes ortogonales en el anillo de endomorfismos del módulo que suman la aplicación identidad . ^{[ 1 ]} De hecho, si${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$, entonces, para cada${\displaystyle i\in I}$, el endomorfismo lineal${\displaystyle e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M}$dado por la proyección natural seguida de la inclusión natural es un idempotente . Son claramente ortogonales entre sí (${\displaystyle e_{i}e_{j}=0}$para${\displaystyle i\neq j}$) y se resumen en el mapa de identidad:

${\displaystyle 1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}}$

como endomorfismos (aquí la suma está bien definida ya que es una suma finita en cada elemento del módulo). Recíprocamente , cada conjunto de idempotentes ortogonales${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$de tal manera que solo un número finito de ellos${\displaystyle e_{i}(x)}$son distintos de cero para cada uno${\displaystyle x\in M}$y$\sum e_{i}=1_{M}$determinar una descomposición de suma directa tomando${\displaystyle M_{i}}$ser las imágenes de${\displaystyle e_{i}}$.

Este hecho ya impone algunas restricciones a una posible descomposición de un anillo: dado un anillo${\displaystyle R}$, supongamos que hay una descomposición

${\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}$

de${\displaystyle R}$como un módulo izquierdo sobre sí mismo, donde${\displaystyle I_{a}}$son submódulos izquierdos; es decir, ideales izquierdos . Cada endomorfismo${\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}$puede identificarse con una multiplicación derecha por un elemento de R ; por lo tanto,${\displaystyle I_{a}=Re_{a}}$dónde${\displaystyle e_{a}}$son idempotentes de${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}$. ^{[ 2 ]} La suma de endomorfismos idempotentes corresponde a la descomposición de la unidad de R :${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$, que necesariamente es una suma finita; en particular,${\displaystyle A}$debe ser un conjunto finito.

Por ejemplo, tomemos${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$, el anillo de matrices n- × n sobre un anillo de división D . Entonces${\displaystyle {}_{R}R}$es la suma directa de n copias de${\displaystyle D^{n}}$, las columnas; cada columna es un R -submódulo izquierdo simple o, en otras palabras, un ideal izquierdo mínimo . ^{[ 3 ]}

Sea R un anillo. Supongamos que existe una descomposición (necesariamente finita) del mismo como módulo izquierdo sobre sí mismo.

${\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}$

en ideales de dos caras${\displaystyle R_{i}}$de R. Como se indicó anteriormente,${\displaystyle R_{i}=Re_{i}}$para algunos idempotentes ortogonales${\displaystyle e_{i}}$de tal manera que${\displaystyle \textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}}$. Desde${\displaystyle R_{i}}$es un ideal,${\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}$y entonces${\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}$para${\displaystyle i\neq j}$. Luego, para cada i ,

${\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}$

Es decir, el${\displaystyle e_{i}}$están en el centro ; es decir, son idempotentes centrales . ^{[ 4 ]} Claramente, el argumento puede invertirse y, por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre la descomposición de la suma directa en ideales y los idempotentes centrales ortogonales que suman la unidad 1. Además, cada${\displaystyle R_{i}}$en sí mismo es un anillo por derecho propio, la unidad dada por${\displaystyle e_{i}}$y, como anillo, R es el anillo producto${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}$

Por ejemplo, tomemos de nuevo${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$Este anillo es un anillo simple; en particular, no tiene una descomposición no trivial en ideales de dos lados.

Se han estudiado varios tipos de descomposiciones de suma directa:

• Descomposición semisimple : una suma directa de módulos simples.
• Descomposición indescomponible : una suma directa de módulos indescomponibles.
• Una descomposición con anillos de endomorfismo locales ^{[ 5 ]} (cf. #Teorema de Azumaya ): una suma directa de módulos cuyos anillos de endomorfismo son anillos locales (un anillo es local si para cada elemento x , o bien x o bien 1 − x es una unidad ).
• Descomposición serial : una suma directa de módulos uniseriales (un módulo es uniserial si la red de submódulos es una cadena finita ^{[ 6 ]} ).

Dado que un módulo simple es indescomponible, una descomposición semisimple es una descomposición indescomponible (pero no a la inversa). Si el anillo de endomorfismos de un módulo es local, entonces, en particular, no puede tener un idempotente no trivial: el módulo es indescomponible. Por lo tanto, una descomposición con anillos de endomorfismos locales es una descomposición indescomponible.

Se dice que un sumando directo es maximal si admite un complemento indescomponible. Una descomposición${\displaystyle \textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}}$Se dice que complementa sumandos directos máximos si para cada sumando directo máximo L de M , existe un subconjunto${\displaystyle J\subset I}$de tal manera que

${\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}$^{[ 7 ]}

Dos descomposiciones${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}$Se dice que son equivalentes si existe una biyección.${\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}$de tal manera que para cada${\displaystyle i\in I}$,${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}$. ^{[ 7 ]} Si un módulo admite una descomposición indescomponible que complementa sumandos directos máximos, entonces cualesquiera dos descomposiciones indescomponibles del módulo son equivalentes. ^{[ 8 ]}

En su forma más simple, el teorema de Azumaya establece: ^{[ 9 ]} dada una descomposición${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$de tal manera que el anillo de endomorfismo de cada${\displaystyle M_{i}}$es local (por lo que la descomposición es indescomponible), cada descomposición indescomponible de M es equivalente a esta descomposición dada. La versión más precisa del teorema establece: ^{[ 10 ]} aún dada tal descomposición, si${\displaystyle M=N\oplus K}$, entonces

1. Si es distinto de cero, N contiene un sumando directo indescomponible,
2. si${\displaystyle N}$es indescomponible, su anillo de endomorfismos es local ^{[ 11 ]} y${\displaystyle K}$se complementa con la descomposición dada:

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$y entonces${\displaystyle M_{j}\simeq N}$para algunos${\displaystyle j\in I}$,

3. para cada${\displaystyle i\in I}$, existen sumandos directos${\displaystyle N'}$de${\displaystyle N}$y${\displaystyle K'}$de${\displaystyle K}$de tal manera que${\displaystyle M=M_{i}\oplus N'\oplus K'}$.

El anillo de endomorfismos de un módulo indescomponible de longitud finita es local (por ejemplo, por el lema de Fitting ) y, por lo tanto, el teorema de Azumaya se aplica al planteamiento del teorema de Krull-Schmidt . En efecto, si M es un módulo de longitud finita, entonces, por inducción sobre la longitud, tiene una descomposición indescomponible finita.${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$, que es una descomposición con anillos de endomorfismo local. Ahora, supongamos que se nos da una descomposición indescomponible${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$. Entonces debe ser equivalente al primero: así que${\displaystyle m=n}$y${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}$para alguna permutación${\displaystyle \sigma }$de${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$. Más precisamente, ya que${\displaystyle N_{1}}$es indescomponible,${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$para algunos${\displaystyle i_{1}}$. Entonces, dado que${\displaystyle N_{2}}$es indescomponible,${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$y así sucesivamente; es decir, complementos de cada suma.${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$pueden tomarse como sumas directas de algunos${\displaystyle M_{i}}$'s.

Otra aplicación es la siguiente afirmación (que es un paso clave en la demostración del teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos ):

• Dado un elemento${\displaystyle x\in N}$, existe un sumando directo${\displaystyle H}$de${\displaystyle N}$y un subconjunto${\displaystyle J\subset I}$de tal manera que${\displaystyle x\in H}$y${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$.

Para ver esto, elija un conjunto finito.${\displaystyle F\subset I}$de tal manera que${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$. Luego, escribiendo${\displaystyle M=N\oplus L}$, por el teorema de Azumaya,${\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}$con algunos resúmenes directos${\displaystyle N_{1},L_{1}}$de${\displaystyle N,L}$y luego, por ley modular ,${\displaystyle N=H\oplus N_{1}}$con${\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}$. Entonces, dado que${\displaystyle L_{1}}$es un resumen directo de${\displaystyle L}$, podemos escribir${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}$y luego${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}$, lo que implica, puesto que F es finito, que${\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}$para algún J mediante una aplicación repetida del teorema de Azumaya.

En el planteamiento del teorema de Azumaya, si, además, cada${\displaystyle M_{i}}$es generado de forma numerable , entonces existe el siguiente refinamiento (debido originalmente a Crawley-Jónsson y posteriormente a Warfield):${\displaystyle N}$es isomorfo a${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$para algún subconjunto${\displaystyle J\subset I}$. ^{[ 12 ]} (En cierto sentido, esta es una extensión del teorema de Kaplansky y se demuestra mediante los dos lemas utilizados en la demostración del teorema.) Según ( Facchini 1998 ) , no se sabe si la suposición "${\displaystyle M_{i}}$La expresión "generado de forma contable" puede eliminarse; es decir, esta versión refinada es cierta en general.

Sobre la descomposición de un anillo, la observación más básica pero aún importante, conocida como el teorema de Wedderburn-Artin, es la siguiente: dado un anillo R , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. R es un anillo semisimple ; es decir,${\displaystyle {}_{R}R}$es un módulo izquierdo semisimple.
2. ${\displaystyle R\cong \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})}$para anillos de división${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$, dónde${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(D_{i})}$denota el anillo de matrices n -por -n con entradas en${\displaystyle D_{i}}$y los enteros positivos${\displaystyle r}$, los anillos de división${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$y los enteros positivos${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{r}}$están determinados (los dos últimos salvo permutación) por R
3. Todo módulo izquierdo sobre R es semisimple.

Para mostrar 1.${\displaystyle \Rightarrow }$2., primero tenga en cuenta que si${\displaystyle R}$es semisimple entonces tenemos un isomorfismo de izquierda${\displaystyle R}$-módulos${\textstyle {}_{R}R\cong \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$dónde${\displaystyle I_{i}}$son ideales izquierdos mínimos mutuamente no isomorfos. Entonces, con la perspectiva de que los endomorfismos actúan desde la derecha,

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} ({}_{R}R)\cong \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$

donde cada${\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$puede verse como el anillo de matriz sobre ${\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}$, que es un anillo de división por el lema de Schur . Lo contrario se cumple porque la descomposición de 2. es equivalente a una descomposición en ideales izquierdos mínimos = submódulos izquierdos simples. La equivalencia 1.${\displaystyle \Leftrightarrow }$3. se cumple porque cada módulo es un cociente de un módulo libre , y un cociente de un módulo semisimple es semisimple.

• Módulo puramente inyectivo

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  13 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487 
• Frank W. Anderson, Lecciones sobre anillos no conmutativos, archivado el 13 de junio de 2021 en Wayback Machine , Universidad de Oregón, otoño de 2002.
• Facchini, Alberto (16 de junio de 1998). Teoría de módulos: anillos de endomorfismos y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5908-9.
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol.  2 (2.ª  ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam, El trabajo de Bass en teoría de anillos y módulos proyectivos [MR 1732042]
• Procesi, Claudio (2007). Grupos de Lie  : un enfoque a través de invariantes y representaciones . Nueva York: Springer. ISBN 9780387260402.
• R. Warfield: Anillos de intercambio y descomposiciones de módulos, Math. Annalen 199(1972), 31–36.