Categorización

En matemáticas , la categorificación es el proceso de reemplazar teoremas de teoría de conjuntos por análogos de teoría de categorías . Cuando se realiza con éxito, la categorificación reemplaza conjuntos por categorías , funciones por functores y ecuaciones por isomorfismos naturales de functores que satisfacen propiedades adicionales. El término fue acuñado por Louis Crane . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El proceso inverso a la categorificación es la descategorización . La descategorización es un proceso sistemático mediante el cual los objetos isomorfos de una categoría se identifican como iguales . Mientras que la descategorización es un proceso directo, la categorificación suele ser mucho menos directa. En la teoría de la representación de las álgebras de Lie , los módulos sobre álgebras específicas son los principales objetos de estudio, y existen varios marcos para definir cómo debería ser una categorización de dicho módulo, por ejemplo, las llamadas categorificaciones abelianas (débiles). ^{[ 3 ]}

La categorización y la descategorización no son procedimientos matemáticos precisos, sino más bien una clase de posibles análogos. Se utilizan de forma similar a palabras como « generalización », y no como « hazificación ». ^{[ 4 ]}

Una forma de categorificación toma una estructura descrita en términos de conjuntos e interpreta los conjuntos como clases de isomorfismo de objetos en una categoría. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales puede verse como el conjunto de cardinalidades de conjuntos finitos (y cualesquiera dos conjuntos con la misma cardinalidad son isomorfos). En este caso, las operaciones sobre el conjunto de los números naturales, como la suma y la multiplicación, pueden considerarse como portadoras de información sobre coproductos y productos de la categoría de conjuntos finitos . En términos menos abstractos, la idea es que la manipulación de conjuntos de objetos reales y la obtención de coproductos (combinar dos conjuntos en una unión) o productos (construir matrices de elementos para llevar un registro de grandes cantidades de ellos) surgieron primero. Posteriormente, la estructura concreta de los conjuntos se abstrajo —considerándose "solo hasta el isomorfismo"— para producir la teoría abstracta de la aritmética. Esto es una "descategorización"; la categorización revierte este paso.

Otros ejemplos incluyen teorías de homología en topología . Emmy Noether dio la formulación moderna de la homología como el rango de ciertos grupos abelianos libres al categorizar la noción de un número de Betti . ^{[ 5 ]} Véase también la homología de Khovanov como un invariante de nudo en la teoría de nudos .

Un ejemplo en la teoría de grupos finitos es que el anillo de funciones simétricas se categorifica mediante la categoría de representaciones del grupo simétrico . El mapa de descategorización envía el módulo de Specht indexado por partición.${\displaystyle \lambda }$a la función Schur indexada por la misma partición,

${\displaystyle S^{\lambda }\,{\stackrel {\varphi }{\to }}\;s_{\lambda },}$

esencialmente siguiendo el mapa de caracteres desde una base favorita del grupo de Grothendieck asociado hasta una base favorita de la teoría de representaciones del anillo de funciones simétricas . Este mapa refleja cómo las estructuras son similares; por ejemplo

${\displaystyle \left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{y}}\qquad s_{\mu }s_{\nu }}$

tienen los mismos números de descomposición sobre sus respectivas bases, ambos dados por los coeficientes de Littlewood-Richardson .

Para una categoría abeliana${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, dejar${\displaystyle K({\mathcal {B}})}$ser el grupo Grothendieck de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un anillo que es libre como grupo abeliano , y deje que${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$ser una base de${\displaystyle A}$de tal manera que la multiplicación sea positiva en${\displaystyle \mathbf {a} }$, es decir

${\displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},}$con${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.}$

Dejar${\displaystyle B}$frijol${\displaystyle A}$- módulo . Luego una categorización abeliana (débil) de${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$consta de una categoría abeliana${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, un isomorfismo${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$y endofuntores exactos${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$de tal manera que

1. el functor${\displaystyle F_{i}}$eleva la acción de${\displaystyle a_{i}}$en el módulo${\displaystyle B}$, es decir${\displaystyle \phi [F_ {i}]=a_ {i}\phi}$, y
2. existen isomorfismos${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$, es decir la composición${\displaystyle F_{i}F_{j}}$se descompone como la suma directa de functores${\displaystyle F_{k}}$de la misma manera que el producto${\displaystyle a_{i}a_{j}}$se descompone como la combinación lineal de elementos base${\displaystyle a_{k}}$.

• Demostración combinatoria , el proceso de reemplazar teoremas de teoría de números por análogos de teoría de conjuntos.
• Teoría de categorías superiores
• Álgebra de dimensiones superiores
• Anillo categórico

• Una entrada de blog de uno de los autores mencionados anteriormente (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html .