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Articulo de referencia

Conversión de coordenadas geográficas

En geodesia , la conversión entre diferentes sistemas de coordenadas geográficas se hace necesaria debido a la diversidad de sistemas utilizados en todo el mundo y a lo largo de...

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En geodesia , la conversión entre diferentes sistemas de coordenadas geográficas se hace necesaria debido a la diversidad de sistemas utilizados en todo el mundo y a lo largo del tiempo. La conversión de coordenadas comprende varios tipos de conversión: cambio de formato de coordenadas geográficas, conversión de sistemas de coordenadas o transformación a diferentes datums geodésicos . La conversión de coordenadas geográficas tiene aplicaciones en cartografía , topografía , navegación y sistemas de información geográfica .

En geodesia, la conversión de coordenadas geográficas se define como la traslación entre diferentes formatos de coordenadas o proyecciones cartográficas referenciadas al mismo datum geodésico. [ 1 ] Una transformación de coordenadas geográficas es una traslación entre diferentes datums geodésicos. Tanto la conversión como la transformación de coordenadas geográficas se considerarán en este artículo.

Este artículo presupone que los lectores ya están familiarizados con el contenido del artículo sobre sistemas de coordenadas geográficas y datos geodésicos .

Cambio de unidades y formato

De manera informal, especificar una ubicación geográfica generalmente significa dar la latitud y la longitud de la ubicación . Los valores numéricos de latitud y longitud pueden aparecer en varias unidades o formatos diferentes: [ 2 ] [ 3 ]

  • Grado sexagesimal : grados , minutos y segundos  : 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ O
  • grados y minutos decimales: 40° 26.767′ N 79° 58.933′ O o 40° 26'.767 N 79° 58'.933 O o 40° 26'767 N 79° 58'933 O
  • grados decimales: +40,446 -79,982 (el signo '+' se suele omitir)

Algunas convenciones incluyen el uso consistente de tres dígitos para los grados de longitud inferiores a 100°; dos dígitos para los grados de latitud inferiores a 10°; y dos dígitos para los minutos y segundos inferiores a 10' o 10 '' . Esto se lleva a cabo para limitar el riesgo de confusión cuando los dígitos se leen en secuencia; independientemente del valor. Por ejemplo, 05° 09' 01 '' S 008° 03' 02 '' E.

En estos formatos, ocasionalmente se omiten espacios y son comunes las variaciones de los formatos anteriores. [ 3 ] Por ejemplo, 10°59 '26''123N000°00'04'' 902W.

Un grado equivale a 60 minutos y un minuto a 60 segundos. Por lo tanto, para convertir del formato grados, minutos y segundos al formato de grados decimales, se puede utilizar la fórmula. dmidoimetroal dmigramormimis=dmigramormimis+metroinortetútmis60+smidoonorteds3600.{\displaystyle {\rm {{grados\ decimales}={\rm {{grados}+{\frac {\rm {minutos}}{60}}+{\frac {\rm {segundos}}{3600}}.}}}}}

Para convertir de nuevo del formato de grados decimales al formato de grados, minutos y segundos, absDmigramormimis=|dmidoimetroal dmigramormimis|FloorAbsDmigramormimis=⌊absDmigramormimis⌋dmigramormimis=sgn⁡(dmidoimetroal dmigramormimis)×FloorAbsDmigramormimismetroinortetútmis=⌊60×(absDmigramormimis−FloorAbsDmigramormimis)⌋smidoonorteds=3600×(absDmigramormimis−FloorAbsDmigramormimis)−60×metroinortetútmis{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutos}}}}}}\\\end{aligned}}} dóndeabsDmigramormimis{\displaystyle {\rm {absDegrees}}}yFloorAbsDmigramormimis{\displaystyle {\rm {floorAbsDegrees}}}Son simplemente variables temporales para manejar correctamente tanto los valores positivos como los negativos.

Conversión de sistema de coordenadas

La conversión de sistemas de coordenadas consiste en la conversión de un sistema de coordenadas a otro, ambos basados ​​en el mismo datum geodésico. Las conversiones más comunes incluyen la conversión entre coordenadas geodésicas y coordenadas geocéntricas fijas ( ECEF ), así como la conversión entre diferentes tipos de proyecciones cartográficas.

De coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF

La longitud PQ , llamada radio vertical primo , es N ( φ ) . La longitud IQ es igual a e 2 N ( φ ) . R = ( X , Y , Z ) .

Coordenadas geodésicas (latitud ϕ{\displaystyle \ \phi }, longitud λ{\displaystyle \ \lambda }, alturah{\displaystyle h}) se puede convertir a coordenadas ECEF utilizando la siguiente ecuación: [ 4 ]incógnita=(norte(ϕ)+h)porque⁡ϕporque⁡λY=(norte(ϕ)+h)porque⁡ϕpecado⁡λZ=(b2a2norte(ϕ)+h)pecado⁡ϕ=((1−mi2)norte(ϕ)+h)pecado⁡ϕ=((1−F)2norte(ϕ)+h)pecado⁡ϕ{\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}} dónde norte(ϕ)=a2a2porque2⁡ϕ+b2pecado2⁡ϕ=a1−mi2pecado2⁡ϕ=a1−mi21+cuna2⁡ϕ,{\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {e^{2}}{1+\cot ^{2}\phi }}}}},} ya{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son el radio ecuatorial ( semieje mayor ) y el radio polar ( semieje menor ), respectivamente.mi2=1−b2a2{\textstyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}es el cuadrado de la primera excentricidad numérica del elipsoide.F=1−ba{\textstyle f=1-{\frac {b}{a}}}es el aplanamiento del elipsoide. El radio de curvatura vertical principalnorte(ϕ){\displaystyle \,N(\phi )}es la distancia desde la superficie hasta laZ{\displaystyle Z}-eje a lo largo de la normal del elipsoide.

Propiedades

La siguiente condición se cumple para la longitud de la misma manera que en el sistema de coordenadas geocéntricas: incógnitaporque⁡λ−Ypecado⁡λ=0.{\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}

Y lo siguiente se cumple para la latitud: pagporque⁡ϕ−Zpecado⁡ϕ−mi2norte(ϕ)=0,{\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,} dóndepag=incógnita2+Y2{\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}, como parámetroh{\displaystyle h}se elimina restando pagporque⁡ϕ=norte+h{\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h} y Zpecado⁡ϕ=b2a2norte+h.{\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}

Además, se cumple lo siguiente, derivado de la división de las ecuaciones anteriores: Zpagcuna⁡ϕ=1−mi2nortenorte+h.{\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}.}

Ortogonalidad

La ortogonalidad de las coordenadas se confirma mediante diferenciación: (dincógnitadYdZ)=(−pecado⁡λ−pecado⁡ϕporque⁡λporque⁡ϕporque⁡λporque⁡λ−pecado⁡ϕpecado⁡λporque⁡ϕpecado⁡λ0porque⁡ϕpecado⁡ϕ)(dmidnortedU),(dmidnortedU)=((norte(ϕ)+h)porque⁡ϕ000METRO(ϕ)+h0001)(dλdϕdh),{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}} dónde METRO(ϕ)=a(1−mi2)(1−mi2pecado2⁡ϕ)32=norte(ϕ)1−mi21−mi2pecado2⁡ϕ{\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}=N(\phi ){\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}

(véase también " Arco meridiano en el elipsoide ").

De ECEF a coordenadas geodésicas

Conversión para la longitud

La conversión de coordenadas ECEF a longitud es: λ=atan2⁡(Y,incógnita).{\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X).} donde atan2 es la función arcotangente que resuelve los cuadrantes. La longitud geocéntrica y la longitud geodésica tienen el mismo valor; esto es cierto para la Tierra y otros planetas de forma similar porque tienen una gran cantidad de simetría rotacional alrededor de su eje de rotación (véase la longitud elipsoidal triaxial para una generalización).

Conversión iterativa simple para latitud y altura

A menos que el parámetroh{\displaystyle h}Se elimina la conversión para la latitud.ϕ{\displaystyle \phi }y alturah{\displaystyle h}implica una relación circular que involucranorte{\displaystyle N}, que es una función de la latitud: {Zpagcuna⁡ϕ=1−mi2nortenorte+h,h=pagporque⁡ϕ−norte.{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}},\\h={\frac {p}{\cos \phi }}-N.\end{cases}}} Se puede resolver iterativamente, [ 5 ] [ 6 ] por ejemplo, comenzando con una primera estimación h ≈0 y luego actualizando N. A continuación se muestran métodos más elaborados. Sin embargo, el procedimiento es sensible a una precisión pequeña debido anorte{\displaystyle N}yh{\displaystyle h}estando quizás a 10 6 de distancia. [ 7 ] [ 8 ]

método de Newton-Raphson

La siguiente ecuación irracional de latitud geodésica de Bowring, [ 9 ] derivada simplemente de las propiedades anteriores, se puede resolver eficientemente mediante el método de iteración de Newton-Raphson : [ 10 ] [ 11 ]κ−1−mi2aκpag2+(1−mi2)Z2κ2=0,{\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,} dóndeκ=pagZbroncearse⁡ϕ{\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi }La altura se calcula de la siguiente manera: h=mi−2(κ−1−κ0−1)pag2+Z2κ2,κ0≜(1−mi2)−1.{\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&\triangleq \left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}

La iteración se puede transformar en el siguiente cálculo: κi+1=doi+(1−mi2)Z2κi3doi−pag2=1+pag2+(1−mi2)Z2κi3doi−pag2,{\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},} dóndedoi=(pag2+(1−mi2)Z2κi2)32ami2.{\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}

La constanteκ0{\displaystyle \,\kappa _{0}}es un buen valor inicial para la iteración cuandoh≈0{\displaystyle h\approx 0}Bowring demostró que una sola iteración produce una solución suficientemente precisa. En su formulación original, utilizó funciones trigonométricas adicionales.

La solución de Ferrari

La ecuación cuártica deκ{\displaystyle \kappa }, derivado de lo anterior, puede resolverse mediante la solución de Ferrari [ 12 ] [ 13 ] para obtener: ζ=(1−mi2)z2a2,ρ=16(pag2a2+ζ−mi4),s=mi4ζpag24ρ3a2,t=1+s+s(s+2)3,tú=ρ(t+1+1t),v=tú2+mi4ζ,w=mi2tú+v−ζ2v,κ=1+mi2tú+v+w2+wtú+v.{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}

La aplicación de la solución de Ferrari

Existen diversas técnicas y algoritmos, pero el más preciso, según Zhu, [ 14 ] es el siguiente procedimiento establecido por Heikkinen, [ 15 ] citado por Zhu. Esto coincide con lo anterior. Se asume que los parámetros geodésicos{a,b,mi}{\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}son conocidos a=6378137.0 m. Radio ecuatorial de la Tierrab=6356752.3142 m. Radio polar de la Tierrami2=a2−b2a2mi′2=a2−b2b2pag=incógnita2+Y2F=54b2Z2GRAMO=pag2+(1−mi2)Z2−mi2(a2−b2)do=mi4Fpag2GRAMO3s=1+do+do2+2do3k=s+1+1sPAG=F3k2GRAMO2Q=1+2mi4PAGr0=−PAGmi2pag1+Q+12a2(1+1Q)−PAG(1−mi2)Z2Q(1+Q)−12PAGpag2U=(pag−mi2r0)2+Z2V=(pag−mi2r0)2+(1−mi2)Z2z0=b2ZaVh=U(1−b2aV)ϕ=arctan⁡[Z+mi′2z0pag]λ=arctan2⁡[Y,incógnita]{\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}

Nota: arctan2 [Y, X] es la función tangente inversa de cuatro cuadrantes.

Serie Power

Para e 2 pequeño la serie de potencias κ=∑i≥0αimi2i{\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}} comienza con α0=1;α1=aZ2+pag2;α2=aZ2Z2+pag2+2a2pag22(Z2+pag2)2.{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}

Coordenadas geodésicas hacia/desde ENU

La conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas del plano tangente local ( ENU ) es un proceso de dos etapas:

  1. Convertir coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF.
  2. Convertir coordenadas ECEF a coordenadas ENU locales.

De ECEF a ENU

Para transformar las coordenadas ECEF a coordenadas locales necesitamos un punto de referencia local. Normalmente, este podría ser la ubicación de un radar. Si un radar está ubicado en{incógnitar,Yr,Zr}{\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}y un avión en{incógnitapag,Ypag,Zpag}{\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}, entonces el vector que apunta desde el radar hacia la aeronave en el marco ENU es [incógnitayz]=[−pecado⁡λrporque⁡λr0−pecado⁡ϕrporque⁡λr−pecado⁡ϕrpecado⁡λrporque⁡ϕrporque⁡ϕrporque⁡λrporque⁡ϕrpecado⁡λrpecado⁡ϕr][incógnitapag−incógnitarYpag−YrZpag−Zr]{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}

Nota: ϕ{\displaystyle \ \phi }es la latitud geodésica ; la latitud geocéntrica no es apropiada para representar la dirección vertical del plano tangente local y debe convertirse si es necesario.

De ENU a ECEF

Esto es simplemente la inversión de la transformación de ECEF a ENU, así que [incógnitapagYpagZpag]=[−pecado⁡λr−pecado⁡ϕrporque⁡λrporque⁡ϕrporque⁡λrporque⁡λr−pecado⁡ϕrpecado⁡λrporque⁡ϕrpecado⁡λr0porque⁡ϕrpecado⁡ϕr][incógnitayz]+[incógnitarYrZr]{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}

Conversión entre proyecciones cartográficas

La conversión de coordenadas y posiciones cartográficas entre diferentes proyecciones cartográficas con referencia al mismo datum puede realizarse mediante fórmulas de traducción directa de una proyección a otra, o bien convirtiendo primero desde una proyección.A{\displaystyle A}a un sistema de coordenadas intermedio, como ECEF, y luego convertir de ECEF a proyecciónB{\displaystyle B}Las fórmulas involucradas pueden ser complejas y, en algunos casos, como en la conversión de ECEF a geodésica mencionada anteriormente, la conversión no tiene una solución analítica y deben utilizarse métodos aproximados. Referencias como el Manual Técnico DMA 8358.1 [ 16 ] y el documento del USGS Proyecciones Cartográficas: Un Manual de Trabajo [ 17 ] contienen fórmulas para la conversión de proyecciones cartográficas. Es común utilizar programas informáticos para realizar tareas de conversión de coordenadas, como el programa GEOTRANS, respaldado por el Departamento de Defensa y la NGA [ 18 ] .

transformaciones de datos

rutas de transformación de coordenadas
Las diferentes rutas posibles para transformar coordenadas geográficas del datum A al datum B.

Las transformaciones entre sistemas de referencia se pueden realizar de diversas maneras. Existen transformaciones que convierten directamente las coordenadas geodésicas de un sistema a otro. También hay transformaciones indirectas que convierten las coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF, transforman las coordenadas ECEF de un sistema a otro y, posteriormente, transforman las coordenadas ECEF del nuevo sistema de referencia de nuevo a coordenadas geodésicas. Asimismo, existen transformaciones basadas en cuadrículas que transforman directamente un par (sistema de referencia, proyección cartográfica) a otro par (sistema de referencia, proyección cartográfica).

Transformación de Helmert

Uso de la transformación de Helmert en la transformación de coordenadas geodésicas de datumA{\displaystyle A}a coordenadas geodésicas de datumB{\displaystyle B}ocurre en el contexto de un proceso de tres pasos: [ 19 ]

  1. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para el datum.A{\displaystyle A}
  2. Aplique la transformación de Helmert, con el valor apropiado.A→B{\displaystyle A\to B}parámetros de transformación, para transformar desde el datoA{\displaystyle A}Coordenadas ECEF al datumB{\displaystyle B}Coordenadas de ECEF
  3. Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para el datumB{\displaystyle B}

En términos de vectores XYZ de ECEF, la transformación de Helmert tiene la forma (convención de transformación de vector de posición y simplificación de ángulos de rotación muy pequeños) [ 19 ].[incógnitaBYBZB]=[doincógnitadoydoz]+(1+s×10−6)[1−rzryrz1−rincógnita−ryrincógnita1][incógnitaAYAZA].{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}

La transformada de Helmert es una transformada de siete parámetros con tres parámetros de traslación (desplazamiento).doincógnita,doy,doz{\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}tres parámetros de rotaciónrincógnita,ry,rz{\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}y un parámetro de escala (dilatación)s{\displaystyle s}La transformada de Helmert es un método aproximado que resulta preciso cuando los parámetros de la transformada son pequeños en relación con las magnitudes de los vectores ECEF. En estas condiciones, la transformada se considera reversible. [ 20 ]

Una transformada de Helmert de catorce parámetros, con dependencia temporal lineal para cada parámetro, [ 20 ] : 131-133 puede utilizarse para capturar la evolución temporal de las coordenadas geográficas debida a procesos geomórficos , como la deriva continental [ 21 ] y los terremotos. [ 22 ] Esto se ha incorporado a software, como la herramienta de Posicionamiento Horizontal Dependiente del Tiempo (HTDP) del NGS de EE. UU. [ 23 ]

Transformación Molodensky-Badekas

Para eliminar el acoplamiento entre las rotaciones y traslaciones de la transformación de Helmert, se pueden introducir tres parámetros adicionales para obtener un nuevo centro de rotación XYZ más cercano a las coordenadas que se están transformando. Este modelo de diez parámetros se denomina transformación de Molodensky-Badekas y no debe confundirse con la transformación de Molodensky, más básica. [ 20 ] : 133-134

Al igual que la transformada de Helmert, el uso de la transformada de Molodensky-Badekas es un proceso de tres pasos:

  1. Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para el datum.A{\displaystyle A}
  2. Aplique la transformación de Molodensky-Badekas, con el valor apropiado.A→B{\displaystyle A\to B}parámetros de transformación, para transformar desde el datoA{\displaystyle A}Coordenadas ECEF al datumB{\displaystyle B}Coordenadas de ECEF
  3. Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para el datumB{\displaystyle B}

La transformación tiene la forma [ 24 ][incógnitaBYBZB]=[incógnitaAYAZA]+[ΔincógnitaAΔYAΔZA]+[1−rzryrz1−rincógnita−ryrincógnita1][incógnitaA−incógnitaA0YA−YA0ZA−ZA0]+ΔS[incógnitaA−incógnitaA0YA−YA0ZA−ZA0].{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.} dónde(incógnitaA0,YA0,ZA0){\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}es el origen de las transformaciones de rotación y escalado yΔS{\displaystyle \Delta S}es el factor de escala.

La transformación de Molodensky-Badekas se utiliza para transformar datos geodésicos locales a un datum geodésico global, como el WGS 84. A diferencia de la transformación de Helmert, la transformación de Molodensky-Badekas no es reversible debido a que el origen de rotación está asociado con el datum original. [ 20 ] : 134

transformación de Molodensky

La transformación de Molodensky convierte directamente entre sistemas de coordenadas geodésicas de diferentes datums sin el paso intermedio de conversión a coordenadas geocéntricas (ECEF). [ 25 ] Requiere los tres desplazamientos entre los centros de los datums y las diferencias entre los semiejes mayores del elipsoide de referencia y los parámetros de aplanamiento.

La transformada de Molodensky es utilizada por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA) en su estándar TR8350.2 y en el programa GEOTRANS, respaldado por la NGA. [ 26 ] El método de Molodensky era popular antes de la llegada de las computadoras modernas y forma parte de muchos programas geodésicos.

Método basado en cuadrícula

Magnitud del desplazamiento de posición entre los datos NAD27 y NAD83 en función de la ubicación.

Las transformaciones basadas en cuadrículas convierten directamente las coordenadas de un mapa (mapa-proyección, datum geodésico) a las coordenadas de otro mapa (mapa-proyección, datum geodésico). Un ejemplo es el método NADCON para transformar del Datum Norteamericano (NAD) 1927 al datum NAD 1983. [ 27 ] La Red de Referencia de Alta Precisión (HARN), una versión de alta precisión de las transformaciones NADCON, tiene una precisión de aproximadamente 5 centímetros. La Transformación Nacional versión 2 ( NTv2 ) es una versión canadiense de NADCON para transformar entre NAD 1927 y NAD 1983. Las HARN también se conocen como NAD 83/91 y Redes de Cuadrícula de Alta Precisión (HPGN). [ 28 ] Posteriormente, Australia y Nueva Zelanda adoptaron el formato NTv2 para crear métodos basados ​​en cuadrículas para transformar entre sus propios datums locales.

Al igual que la transformación de ecuaciones de regresión múltiple, los métodos basados ​​en cuadrículas utilizan un método de interpolación de bajo orden para convertir coordenadas cartográficas, pero en dos dimensiones en lugar de tres. La NOAA proporciona una herramienta de software (como parte del NGS Geodetic Toolkit) para realizar transformaciones NADCON. [ 29 ] [ 30 ]

Ecuaciones de regresión múltiple

Se crearon transformaciones de datum mediante el uso de métodos de regresión múltiple empírica para lograr resultados de mayor precisión en regiones geográficas pequeñas que las transformaciones estándar de Molodensky. Las transformaciones MRE se utilizan para transformar datums locales en regiones del tamaño de continentes o más pequeñas a datums globales, como WGS 84. [ 31 ] El estándar NIMA TM 8350.2, Apéndice D, [ 32 ] enumera transformaciones MRE de varios datums locales a WGS 84, con precisiones de aproximadamente 2 metros. [ 33 ]

Las MRE son una transformación directa de coordenadas geodésicas sin ningún paso intermedio ECEF. Coordenadas geodésicasϕB,λB,hB{\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}en el nuevo datumB{\displaystyle B}se modelan como polinomios de hasta noveno grado en las coordenadas geodésicasϕA,λA,hA{\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}del datum originalA{\displaystyle A}Por ejemplo, el cambio enϕB{\displaystyle \phi _{B}}podría parametrizarse como (mostrando solo términos hasta cuadráticos) [ 31 ] : 9Δϕ=a0+a1U+a2V+a3U2+a4UV+a5V2+⋯{\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots } dónde

  • ai,{\displaystyle a_{i},}parámetros ajustados mediante regresión múltiple
  • U=K(ϕA−ϕmetro)V=K(λA−λmetro){\displaystyle {\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}}
  • K,{\displaystyle K,}factor de escala
  • ϕmetro,λmetro,{\displaystyle \phi _{m},\,\lambda _{m},}origen del dato,A.{\displaystyle A.}

con ecuaciones similares paraΔλ{\displaystyle \Delta \lambda }yΔh{\displaystyle \Delta h}. Dado un número suficiente de(A,B){\displaystyle (A,\,B)}Para obtener buenas estadísticas, se utilizan pares de coordenadas para los puntos de referencia en ambos sistemas de referencia. Se emplean métodos de regresión múltiple para ajustar los parámetros de estos polinomios. Los polinomios, junto con los coeficientes ajustados, conforman las ecuaciones de regresión múltiple.

Véase también

Referencias

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