Vector cíclico y separador

En matemáticas, la noción de vector cíclico y separador es importante en la teoría de las álgebras de von Neumann , ^{[ 1 ] [ 2 ]} y, en particular, en la teoría de Tomita-Takesaki . Una noción relacionada es la de vector cíclico para un operador dado. La existencia de vectores cíclicos está garantizada por la construcción de Gelfand-Naimark-Segal (GNS) .

Dado un espacio de Hilbert H y un espacio lineal A de operadores lineales acotados en H , se dice que un elemento Ω de H es cíclico para A si el espacio lineal A Ω = { a Ω: a ∈ A } es denso en norma en H. Se dice que el elemento Ω es separable si a Ω  =  0 para a en A implica que a  =  0. Nótese que:

• Cualquier elemento Ω de H define una seminorma p en A , con p ( a ) = || a Ω||. La afirmación de que "Ω es separable" es entonces equivalente a la afirmación de que p es en realidad una norma .
• Si Ω es cíclico para A , entonces es separable para el conmutante A′ de A en B ( H ), que es el álgebra de von Neumann que consta de todos los operadores acotados en H que conmutan con todos los elementos de A , donde A es un subconjunto de B ( H ). En particular, si a pertenece al conmutante A′ y satisface a Ω  =  0 para algún Ω, entonces para todo b en A , tenemos que 0  = ba Ω = ab Ω. Debido a que el subespacio b Ω para b en A es denso en el espacio de Hilbert H , esto implica que a se anula en un subespacio denso de H. Por continuidad, esto implica que a se anula en todas partes. Por lo tanto, Ω es separativo para A′ .   

El siguiente resultado, más fuerte, se cumple si A es un *-álgebra (un álgebra cerrada bajo adjuntos ) y unitaria (es decir, contiene el operador identidad 1 ). Para una demostración, véase la Proposición 5 de la Parte I, Capítulo 1 de álgebras de von Neumann . ^{[ 2 ]}

Proposición Si A es un *-álgebra de operadores lineales acotados en H y 1 pertenece a A , entonces Ω es cíclico para A si y solo si es separativo para el conmutador A′ .

Se da un caso especial cuando A es un álgebra de von Neumann , en cuyo caso un vector Ω que es cíclico y separador para A también es cíclico y separador para el conmutador A′ .

Se dice que un funcional lineal positivo ω en un *-álgebra A es fiel si, para cualquier elemento positivo a en A , ω ( a )  =  0 implica que a = 0.   

Cada elemento Ω del espacio de Hilbert H define un funcional lineal positivo ω _Ω en un *-álgebra A de operadores lineales acotados en H mediante el producto interno ω _Ω ( a )  =  ( a Ω,Ω), para todo a en A . Si ω _Ω se define de esta manera y A es un C*-álgebra , entonces ω _Ω es fiel si y solo si el vector Ω es separador para A . Nótese que un álgebra de von Neumann es un caso especial de un C*-álgebra .

Proposición Sean φ y ψ elementos de H que son cíclicos para A. Supongamos que ω _φ  = ω _ψ . Entonces existe una isometría U en el conmutador A′ tal que φ = Uψ .