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grupo puntual cristalográfico

En cristalografía , un grupo puntual cristalográfico es un grupo puntual tridimensional cuyas operaciones de simetría son compatibles con la simetría traslacional de las redes c...

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En cristalografía , un grupo puntual cristalográfico es un grupo puntual tridimensional cuyas operaciones de simetría son compatibles con la simetría traslacional de las redes cristalográficas tridimensionales . Según la restricción cristalográfica, solo puede contener rotaciones o rotoinversiones de uno, dos, tres, cuatro y seis ejes (nótese que los centros de inversión y los planos de simetría se incluyen como operaciones equivalentes a las rotoinversiones de uno y dos ejes). Esto reduce el número de grupos puntuales cristalográficos a 32 (de una infinidad de grupos puntuales generales). Estos 32 grupos son los mismos que los 32 tipos de simetrías cristalinas morfológicas (externas) derivadas en 1830 por Johann Friedrich Christian Hessel a partir de la observación de formas cristalinas. En 1867, Axel Gadolin , quien desconocía el trabajo previo de Hessel, halló los grupos puntuales cristalográficos de forma independiente utilizando la proyección estereográfica para representar los elementos de simetría de los 32 grupos. [ 1 ] : 379

En la clasificación de cristales, a cada grupo espacial se le asocia un grupo puntual cristalográfico al "olvidar" los componentes traslacionales de las operaciones de simetría; es decir, al convertir las rotaciones helicoidales en rotaciones, las reflexiones con deslizamiento en reflexiones y al trasladar todos los elementos de simetría al origen. Cada grupo puntual cristalográfico define la clase cristalina (geométrica) del cristal.

El grupo puntual de un cristal determina, entre otras cosas, la variación direccional de las propiedades físicas que surgen de su estructura, incluidas propiedades ópticas como la birrefringencia o características electroópticas como el efecto Pockels .

Notación

Los grupos puntuales se nombran según las simetrías de sus componentes. Existen varias notaciones estándar utilizadas por cristalógrafos, mineralogistas y físicos .

Para la correspondencia de los dos sistemas que se muestran a continuación, consulte el sistema cristalino .

notación de Schoenflies

En la notación de Schoenflies , los grupos puntuales se denotan mediante un símbolo de letra con un subíndice. Los símbolos utilizados en cristalografía significan lo siguiente:

  • C n (de cíclico ) indica que el grupo tiene un eje de rotación n -ésimo. C nh es C n con la adición de un plano de reflexión perpendicular al eje de rotación . C nv es C n con la adición de n planos de reflexión paralelos al eje de rotación.
  • S 2n (por Spiegel , que en alemán significa espejo ) denota un grupo con un único eje de rotación-reflexión de orden 2n .
  • D n (de diedro , o de dos lados) indica que el grupo tiene un eje de rotación de orden n más n ejes de orden dos perpendiculares a ese eje. D nh tiene, además, un plano de simetría perpendicular al eje de orden n . D nd tiene, además de los elementos de D n , planos de simetría paralelos al eje de orden n .
  • La letra T (de tetraedro ) indica que el grupo tiene la simetría de un tetraedro. T d incluye operaciones de rotación impropias , T excluye operaciones de rotación impropias y T h es T con la adición de una inversión.
  • La letra O (de octaedro ) indica que el grupo tiene la simetría de un octaedro, con ( O h ) o sin ( O ) operaciones impropias (aquellas que cambian la quiralidad).

Debido al teorema de restricción cristalográfica , n = 1, 2, 3, 4 o 6 en el espacio bidimensional o tridimensional.

D 4d y D 6d están prohibidos porque contienen rotaciones impropias con n=8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos puntuales de la tabla, más T , T d , T h , O y O h, constituyen 32 grupos puntuales cristalográficos.

notación de Hermann-Mauguin

Una forma abreviada de la notación de Hermann-Mauguin, comúnmente utilizada para grupos espaciales, también sirve para describir grupos puntuales cristalográficos. Los nombres de los grupos son:

La correspondencia entre diferentes notaciones

Representaciones gráficas

Tabla que muestra las proyecciones estereográficas de los 32 grupos puntuales cristalográficos, organizados por sistema cristalino, eje principal de rotación y simetrías adicionales. La notación de Schoenflies para cada grupo se indica en la parte inferior izquierda, mientras que la notación de Hermann-Mauguin se muestra en la parte inferior derecha. Los grupos de Laue se etiquetan en la parte superior derecha de cada celda. Los grupos puntuales cúbicos cuentan con líneas adicionales que marcan círculos máximos a modo de guía visual.

Es común representar gráficamente los grupos puntuales para desarrollar una comprensión intuitiva de su simetría. Normalmente se utilizan proyecciones estereográficas, ya que preservan las relaciones angulares. Se pueden realizar dos tipos de proyecciones. La primera, que se muestra aquí, es una proyección de los elementos de simetría para mostrar sus relaciones angulares entre sí. En este caso, cada elemento de simetría está representado por un símbolo que se muestra en la tabla siguiente. Se utilizan líneas finas para delimitar la esfera de la proyección estereográfica y los ejes de rotación o rotoinversión donde no intersecan con un plano de simetría. Los planos de simetría están representados por líneas gruesas. El segundo tipo de proyección es de un punto general y todos los puntos adicionales generados a partir de ese punto inicial utilizando los elementos de simetría del grupo puntual. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

Isomorfismos

Se dice que dos grupos son isomorfos si existe una correspondencia biyectiva y homomórfica entre ellos. Es decir, que simplemente renombrando los elementos de un grupo con los del segundo de la manera correcta se obtiene el segundo grupo, y viceversa. Muchos grupos puntuales cristalográficos comparten la misma estructura interna en este sentido. Por ejemplo, los grupos puntuales 1 , 2 y m contienen diferentes operaciones de simetría geométrica (inversión, rotación y reflexión, respectivamente), pero todos comparten la estructura del grupo cíclico C2 . Todos los grupos isomorfos son del mismo orden , pero no todos los grupos del mismo orden son isomorfos. Los grupos puntuales isomorfos se muestran en la siguiente tabla: [ 6 ].

Esta tabla utiliza grupos cíclicos (C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 ), grupos diedrales (D 2 , D 3 , D 4 , D 6 ), uno de los grupos alternantes (A 4 ) y uno de los grupos simétricos (S 4 ). Aquí el símbolo " × " indica un producto directo .

Derivación del grupo puntual cristalográfico (clase cristalina) a partir del grupo espacial.

  1. Omitir el tipo de celosía de Bravais .
  2. Convierta todos los elementos de simetría con componentes de traslación en sus respectivos elementos de simetría sin simetría de traslación. (Los planos de deslizamiento se convierten en planos de simetría simples; los ejes helicoidales se convierten en ejes de rotación simples).
  3. Los ejes de rotación, los ejes de rotoinversión y los planos de simetría permanecen sin cambios.

Simetría en la comprensión de las propiedades de los cristales

La simetría de un material puede tener efectos profundos en las propiedades que se le permiten mostrar a ese cristal. Estas influencias se resumen en el principio de Von Neumann [ 7 ] y, más generalmente, en la Ley de Curie. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] Estas leyes establecen que la simetría de las propiedades físicas de un cristal debe ser al menos tan simétrica como el propio cristal. Un ejemplo común es la piezoelectricidad y la piroelectricidad . Estas propiedades generan un dipolo eléctrico en un cristal bajo tensión o cambios térmicos. Un dipolo eléctrico es direccional y, como tal, no puede existir en cristales con simetría de inversión. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Los cristales sin simetría de inversión no necesariamente muestran piezoelectricidad o piroelectricidad.

Simetría en policristales

Los policristales contienen muchos cristales pequeños con diferentes orientaciones. En un caso ideal, con cristales suficientemente pequeños en una muestra suficientemente grande, todas las orientaciones están representadas, lo que da como resultado un material aproximadamente isótropo . En efecto, esto permite que un policristal presente propiedades de mayor simetría que los cristales individuales que lo componen. Por ejemplo, un policristal ideal o los cristalitos piroeléctricos presentarán dipolos eléctricos en todas las direcciones, los cuales se cancelan entre sí, lo que confiere al policristal una polarización neta nula.

Una extensión de los grupos puntuales cristalográficos conocidos como grupos de Curie nos permite describir la simetría del policristal mediante la simetría de las orientaciones de cada cristalito. En un policristal ideal, cada orientación es idéntica, lo que puede considerarse como tener una simetría rotacional infinita en todas las direcciones dadas por ∞∞, que representan dos ejes de rotación perpendiculares. Esto da dos grupos ∞∞ si el policristal tiene una quiralidad neta, y ∞∞m si no hay quiralidad neta. Los grupos de Curie restantes pueden derivarse de las simetrías ideales utilizando el principio de Curie . [ 11 ] [ 9 ] [ 10 ] El principio de Curie establece que la simetría de un (poli)cristal bajo un estímulo es la intersección de la simetría del estímulo y la simetría del (poli)cristal. A continuación se muestra una tabla que presenta los 7 grupos de Curie junto con mmm y 222, resultantes de un policristal ideal expuesto a diferentes estímulos para generar diferentes simetrías.

Esta extensión de la simetría a los policristales es de gran valor para la fabricación, ya que permite generar muestras policristalinas con propiedades de baja simetría, en lugar de requerir monocristales puros. Además, permite orientar las propiedades mediante el proceso de fabricación, en lugar de depender de una orientación precisa del monocristal. Por ejemplo, si se necesita un material piroeléctrico, se puede fabricar un policristal de un material adecuado y luego exponerlo a un campo eléctrico intenso para reorientar los dipolos de cada cristalito en la dirección de dicho campo. El policristal resultante exhibe entonces piroelectricidad en la dirección en la que se aplicó el campo eléctrico.

Grupos puntuales magnéticos

Algunas propiedades de los materiales, como el magnetismo, presentan una forma adicional de simetría conocida como antisimetría, simetría magnética, simetría de inversión temporal o simetría dicromática . Esta nueva simetría invierte un estado binario, como el espín, y está ligada a otros elementos de simetría. Independientemente de la propiedad considerada, el estado binario en un punto dado se representa típicamente mediante un punto negro o blanco, de ahí el nombre de «simetría dicromática».

Ejemplo:

Un modelo clásico del magnetismo considera el espín de los electrones como bucles de corriente que generan un dipolo magnético, el cual puede representarse como un pseudovector . Si un plano de reflexión perpendicular al dipolo actúa sobre el bucle de corriente (espín), este permanece en su estado original, dando lugar al mismo dipolo. Si un plano de reflexión paralelo al dipolo actúa sobre el bucle de corriente (espín), este se invierte, generando el dipolo opuesto. En ambos casos, se puede añadir una antisimetría al plano de reflexión. El efecto espacial del espejo permanece inalterado, pero su influencia sobre el estado binario se invierte; es decir, si el espejo regular invirtió el espín, el espejo antisimétrico no lo hace.

Al añadir antisimetría a los grupos puntuales cristalográficos, se generan 122 grupos magnéticos. De estos 122, 32 son los grupos puntuales cristalográficos originales y 32 son los denominados grupos grises, en los que el estado blanco y negro de la propiedad se superponen en los mismos puntos. Los 58 grupos restantes son capaces de mostrar propiedades dicroicas como el magnetismo. [ 12 ] [ 13 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Authier, André (2015). "12. El nacimiento y auge del concepto de red espacial". Los inicios de la cristalografía de rayos X. Oxford: Oxford University Press. doi : 10.1093/acprof:oso/9780199659845.003.0012 . ISBN 9780198754053Consultado el 24 de diciembre de 2024 .
  2. ↑ "(Tablas Internacionales) Resumen" . Consultado el 25 de noviembre de 2011 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archival service (link)
  3. ↑ Rohrer, Gregory S. (2001). Estructura y enlaces en materiales cristalinos . Cambridge Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-15333-4.
  4. ↑ Tablas Internacionales de Cristalografía . doi : 10.1107/97809553602060000001 . ISBN 978-1-4020-4969-9.
  5. ↑ Tablas internacionales para cristalografía de rayos X (PDF) (3.ª ed.). Kynoch Press. 1969. 
  6. ↑ Novak, I (18 de julio de 1995). "Isomorfismo molecular". European Journal of Physics . 16 (4). IOP Publishing: 151– 153. Bibcode : 1995EJPh...16..151N . doi : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .  
  7. ↑ "Principio de Neumann del Diccionario en línea de cristalografía" . 16 de noviembre de 2017.
  8. ↑ "Leyes de Curie del Diccionario en línea de cristalografía" . 9 de noviembre de 2017.
  9. ^ Curie , P. (1894). "Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" . Journal de Physique Théorique et Appliquée (en francés). 3 (1): 393– 415. doi : 10.1051/jphystap:018940030039300 . ISSN 0368-3893 . 
  10. 1 2 Curie, Pierre; Comentario), Andrzej Ziółkowski (traducción y (2024-09-11). "Sobre la simetría en los fenómenos físicos, simetría de un campo eléctrico y de un campo magnético" . Studia Historiae Scientiarum . 23 : 23–67 . doi : 10.4467/2543702XSHS.24.002.19575 . ISSN 2543-702X . 
  11. ↑ Hahn, Th.; Klapper, H.; Müller, U.; Aroyo, MI (31-12-2016), Grupos puntuales y clases cristalinas , págs. 720–776 , doi : 10.1107/97809553602060000930 , consultado el 16-12-2025 
  12. ↑ Litvin, DB, ed. (abril de 2013). Tablas de grupos magnéticos: grupos subperiódicos magnéticos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales y grupos espaciales magnéticos . Chester, Inglaterra: Unión Internacional de Cristalografía. doi : 10.1107/9780955360220001 . ISBN 978-0-9553602-2-0.
  13. ↑ De Graef, Marc (2009). Enseñanza de la simetría de grupos puntuales cristalográficos y magnéticos mediante visualizaciones renderizadas tridimensionales (PDF) .
  • Símbolos de grupos puntuales en las Tablas Internacionales de Cristalografía (2006). Vol. A, cap. 12.1, págs. 818-820
  • Nombres y símbolos de las 32 clases cristalinas en las Tablas Internacionales de Cristalografía (2006). Vol. A, cap. 10.1, pág. 794
  • Descripción gráfica de los 32 grupos
  • Kostov, RI 2024. Tabla de colores de las 32 clases de simetría con estadísticas de minerales entre sistemas cristalinos. – Simetría: Cultura y Ciencia (Festival de Simetría 2024. 17-20 de julio de 2024, Pisa, Italia. Simetría «inclinada». Actas de la conferencia; Eds. S. Brasili, J. Gielis), Volumen único, 91-94. https://doi.org/10.26830/symmetryfestival2024_24
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