functor representable

En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un funtor representable es un funtor determinado de una categoría arbitraria a la categoría de conjuntos . Dichos funtores proporcionan representaciones de una categoría abstracta en términos de estructuras conocidas (es decir, conjuntos y funciones ), lo que permite utilizar, en la medida de lo posible, el conocimiento sobre la categoría de conjuntos en otros contextos.

Desde otro punto de vista, los functores representables para una categoría C son los functores dados con C. Su teoría es una vasta generalización de los conjuntos superiores en conjuntos parcialmente ordenados , y el teorema de representabilidad de Yoneda generaliza el teorema de Cayley en teoría de grupos .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría localmente pequeña y dejar${\displaystyle \mathbf {Conjunto} }$sea ​​la categoría de conjuntos . Para cada objeto${\displaystyle A}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$dejar${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$sea ​​el functor hom que mapea objeto${\displaystyle X}$al conjunto${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$.

Un functor${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$Se dice que es representable si es naturalmente isomorfo a${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$para algún objeto${\displaystyle A}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Una representación de${\displaystyle F}$es un par${\displaystyle (A,\Phi )}$dónde $${\displaystyle \Phi$$ :\operatorname {Hom} (A,-)\rightarrow F} es un isomorfismo natural.

Un functor contravariante${\displaystyle G}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Conjunto} }$es lo mismo que un functor${\displaystyle G:{\mathcal {C}}^{\text{op}}\rightarrow \mathbf {Set} }$y se le suele llamar prehaz . Un prehaz es representable cuando es naturalmente isomorfo al functor hom contravariante.${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$para algún objeto${\displaystyle A}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Según el lema de Yoneda , las transformaciones naturales de Hom( A , – ) a F están en correspondencia biunívoca con los elementos de F ( A ). Dada una transformación natural Φ  : Hom( A , – ) → F el elemento correspondiente u ∈ F ( A ) viene dado por

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

Por el contrario, dado cualquier elemento u ∈ F ( A ) podemos definir una transformación natural Φ  : Hom( A , – ) → F mediante

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

donde f es un elemento de Hom( A , X ). Para obtener una representación de F, queremos saber cuándo la transformación natural inducida por u es un isomorfismo. Esto nos lleva a la siguiente definición:

Un elemento universal de un functor F  : C → Set es un par ( A , u ) que consiste en un objeto A de C y un elemento u ∈ F ( A ) tal que para cada par ( X , v ) que consiste en un objeto X de C y un elemento v ∈ F ( X ) existe un único morfismo f  : A → X tal que ( Ff )( u ) = v .

Un elemento universal puede verse como un morfismo universal del conjunto de un punto {•} al functor F o como un objeto inicial en la categoría de elementos de F.

La transformación natural inducida por un elemento u ∈ F ( A ) es un isomorfismo si y solo si ( A , u ) es un elemento universal de F . Por lo tanto, concluimos que las representaciones de F están en correspondencia biunívoca con los elementos universales de F . Por esta razón, es común referirse a los elementos universales ( A , u ) como representaciones.

• Consideremos el functor contravariante P  : Set → Set que mapea cada conjunto a su conjunto potencia y cada función a su mapeo imagen inversa . Para representar este functor necesitamos un par ( A , u ) donde A es un conjunto y u es un subconjunto de A , es decir un elemento de P ( A ), tal que para todos los conjuntos X , el conjunto hom Hom( X , A ) es isomorfo a P ( X ) a través de Φ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u ). Tomemos A = {0,1} y u = {1}. Dado un subconjunto S ⊆ X la función correspondiente de X a A es la función característica de S .
• Los functores de olvido a Set son muy a menudo representables. En particular, un functor de olvido se representa por ( A , u ) siempre que A sea un objeto libre sobre un conjunto unitario con generador u .
  • El functor olvidadizo Grp → Set en la categoría de grupos está representado por ( Z , 1).
  • El functor olvidadizo Ring → Set en la categoría de anillos está representado por ( Z [ x ], x ), el anillo de polinomios en una variable con coeficientes enteros .
  • El functor olvidadizo A - Mod → Set en la categoría de módulos sobre un anillo A está representado por ( A , 1).
  • El functor olvidadizo Top → Set en la categoría de espacios topológicos está representado por cualquier espacio topológico unitario con su único elemento.
• Un grupo G puede considerarse una categoría (incluso un grupoide ) con un objeto que denotamos por •. Un functor de G a Set corresponde entonces a un G -conjunto . El único hom-functor Hom(•, – ) de G a Set corresponde al G -conjunto canónico G con la acción de multiplicación por la izquierda. Argumentos estándar de la teoría de grupos muestran que un functor de G a Set es representable si y solo si el G -conjunto correspondiente es simplemente transitivo (es decir, un G -torsor o montón ). Elegir una representación equivale a elegir una identidad para el montón.
• Sea R un anillo conmutativo con identidad, y sea R - Mod la categoría de R -módulos. Si M y N son módulos unitarios sobre R , existe un functor covariante B : R - Mod → Set que asigna a cada R -módulo P el conjunto de aplicaciones R -bilineales M × N → P y a cada homomorfismo de R -módulo f  : P → Q la función B ( f )  : B ( P ) → B ( Q ) que envía cada aplicación bilineal g  : M × N → P a la aplicación bilineal f ∘ g  : M × N → Q . El functor B está representado por el R -módulo M ⊗ _R N . ^{[ 1 ]}
• El functor representado por un esquema A puede, en ocasiones, describir familias de objetos geométricos . Por ejemplo, los haces vectoriales de rango k sobre una variedad algebraica o esquema X dado corresponden a morfismos algebraicos.${\displaystyle X\to A}$donde A es la grassmanniana de k- planos en un espacio de alta dimensión. Además, ciertos tipos de subesquemas están representados por esquemas de Hilbert .
• Sea C la categoría de complejos CW con morfismos dados por clases de homotopía de funciones continuas. Para cada número natural n hay un functor contravariante H ⁿ  : C → Ab que asigna a cada complejo CW su n ^º grupo de cohomología (con coeficientes enteros). Componiendo esto con el functor de olvido tenemos un functor contravariante de C a Set . El teorema de representabilidad de Brown en topología algebraica dice que este functor está representado por un complejo CW K ( Z , n ) llamado espacio de Eilenberg-MacLane .

Consideremos un funcional lineal en un espacio de Hilbert complejo H , es decir, una función lineal.${\displaystyle F:H\to \mathbb {C} }$El teorema de representación de Riesz establece que si F es continua, entonces existe un único elemento${\displaystyle a\in H}$que representa a F en el sentido de que F es igual al funcional del producto interno${\displaystyle \langle a,-\rangle }$, eso es${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$para${\displaystyle v\in H}$.

Por ejemplo, los funcionales lineales continuos en el espacio de funciones de cuadrado integrable${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$son todos representables en la forma${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx}$para una función única${\displaystyle a(x)\in H}$La teoría de las distribuciones considera funcionales continuos más generales en el espacio de funciones de prueba .${\displaystyle C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$. Dicha función de distribución no necesariamente se puede representar mediante una función, pero puede considerarse intuitivamente como una función generalizada. Por ejemplo, la función delta de Dirac es la distribución definida por${\displaystyle F(v)=v(0)}$para cada función de prueba${\displaystyle v(x)\in C}$y puede considerarse como "representado" por una función de protuberancia infinitamente alta y delgada cerca de${\displaystyle x=0}$.

Por lo tanto, una función${\displaystyle a(x)}$puede estar determinado no por sus valores, sino por su efecto en otras funciones a través del producto interno. Análogamente, un objeto A en una categoría puede caracterizarse no por sus características internas, sino por su functor de puntos , es decir, su relación con otros objetos a través de morfismos. Así como los funcionales no representables se describen mediante distribuciones, los functores no representables pueden describirse mediante estructuras más complejas como pilas .

Las nociones categóricas de morfismos universales y functores adjuntos pueden expresarse utilizando functores representables.

Sea G  : D → C un functor y sea X un objeto de C. Entonces ( A , φ) es un morfismo universal de X a G si y solo si ( A , φ) es una representación del functor Hom _C ( X , G – ) de D a Set . De ello se deduce que G tiene un adjunto izquierdo F si y solo si Hom _C ( X , G – ) es representable para todo X en C. El isomorfismo natural Φ _X  : Hom _D ( FX , – ) → Hom _C ( X , G – ) produce la adjunción; es decir,

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

es una biyección para todo X e Y.

Las afirmaciones duales también son verdaderas. Sea F  : C → D un functor y sea Y un objeto de D. Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de F a Y si y solo si ( A ,φ) es una representación del functor Hom _D ( F – , Y ) de C a Set . De ello se deduce que F tiene un adjunto derecho G si y solo si Hom _D ( F – , Y ) es representable para todo Y en D . ^{[ 2 ]}

• clasificador de subobjetos
• Teorema de densidad

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Marquis, Jean-Pierre (2009). «Categorías como espacios, functores como transformaciones». Desde un punto de vista geométrico . Vol.  14. pp. 73–108 . doi : 10.1007/978-1-4020-9384-5_4 . ISBN  978-1-4020-9383-8.