Condiciones de coordenadas

En la relatividad general , las leyes de la física se pueden expresar en una forma generalmente covariante . En otras palabras, la descripción del mundo que dan las leyes de la física no depende de nuestra elección de sistemas de coordenadas. Sin embargo, a menudo resulta útil fijarse en un sistema de coordenadas en particular para resolver problemas reales o hacer predicciones reales. Una condición de coordenadas selecciona dicho(s) sistema(s) de coordenadas.

Las ecuaciones de campo de Einstein no determinan la métrica de forma única, incluso si se sabe a qué equivale el tensor métrico en todas partes en un tiempo inicial. Esta situación es análoga al fracaso de las ecuaciones de Maxwell para determinar los potenciales de forma única. En ambos casos, la ambigüedad se puede eliminar mediante la fijación de calibre . Por lo tanto, las condiciones de coordenadas son un tipo de condición de calibre. ^[1] Ninguna condición de coordenadas es generalmente covariante, pero muchas condiciones de coordenadas son covariantes de Lorentz o covariantes rotacionalmente .

Ingenuamente, uno podría pensar que las condiciones de coordenadas tomarían la forma de ecuaciones para la evolución de las cuatro coordenadas, y de hecho en algunos casos (por ejemplo, la condición de coordenadas armónicas) pueden ponerse en esa forma. Sin embargo, es más habitual que aparezcan como cuatro ecuaciones adicionales (más allá de las ecuaciones de campo de Einstein) para la evolución del tensor métrico. Las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no determinan completamente la evolución de la métrica relativa al sistema de coordenadas. Podría parecer que lo harían ya que hay diez ecuaciones para determinar los diez componentes de la métrica. Sin embargo, debido a la segunda identidad de Bianchi del tensor de curvatura de Riemann , la divergencia del tensor de Einstein es cero, lo que significa que cuatro de las diez ecuaciones son redundantes, dejando cuatro grados de libertad que pueden asociarse con la elección de las cuatro coordenadas. El mismo resultado se puede derivar de una expansión de Kramers-Moyal-van-Kampen de la ecuación Master (utilizando los coeficientes de Clebsch-Gordan para descomponer los productos tensoriales) ^{[ cita requerida ]} .

Una condición de coordenadas particularmente útil es la condición armónica (también conocida como "indicador de Donder"):

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\!.}$

Aquí, gamma es un símbolo de Christoffel (también conocido como la "conexión afín"), y la "g" con superíndices es la inversa del tensor métrico . Los físicos utilizan con frecuencia esta condición armónica cuando trabajan con ondas gravitacionales . Esta condición también se utiliza con frecuencia para derivar la aproximación post-newtoniana .

Aunque la condición de coordenadas armónicas no es generalmente covariante, es covariante de Lorentz. Esta condición de coordenadas resuelve la ambigüedad del tensor métrico al proporcionar cuatro ecuaciones diferenciales adicionales que el tensor métrico debe satisfacer. ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$

Otra condición de coordenadas particularmente útil es la condición sincrónica:

${\displaystyle g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!}$

y

${\displaystyle g_{00}=-1\!}$.

Las coordenadas sincrónicas también se conocen como coordenadas gaussianas. ^[2] Se utilizan con frecuencia en cosmología . ^[3]

La condición de coordenadas sincrónicas no es ni covariante en general ni covariante de Lorentz. Esta condición de coordenadas resuelve la ambigüedad del tensor métrico al proporcionar cuatro ecuaciones algebraicas que el tensor métrico debe satisfacer. ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$

Los físicos han empleado muchas otras condiciones de coordenadas, aunque ninguna de ellas de forma tan generalizada como las descritas anteriormente. Casi todas las condiciones de coordenadas utilizadas por los físicos, incluidas las condiciones de coordenadas armónicas y sincrónicas, se cumplirían con un tensor métrico que fuera igual al tensor de Minkowski en todas partes. (Sin embargo, dado que el tensor de Riemann y, por lo tanto, el tensor de Ricci para las coordenadas de Minkowski es idénticamente cero, las ecuaciones de Einstein dan una energía/materia cero para las coordenadas de Minkowski; por lo tanto, las coordenadas de Minkowski no pueden ser una respuesta final aceptable). A diferencia de las condiciones de coordenadas armónicas y sincrónicas, algunas condiciones de coordenadas de uso común pueden ser subdeterminantes o sobredeterminantes.

Un ejemplo de una condición subdeterminativa es la afirmación algebraica de que el determinante del tensor métrico es −1, lo que aún deja una considerable libertad de calibración. ^[4] Esta condición tendría que complementarse con otras condiciones para eliminar la ambigüedad en el tensor métrico.

Un ejemplo de una condición sobredeterminante es la afirmación algebraica de que la diferencia entre el tensor métrico y el tensor de Minkowski es simplemente un cuadrivector nulo multiplicado por sí mismo, lo que se conoce como una forma Kerr-Schild de la métrica. ^[5] Esta condición Kerr-Schild va mucho más allá de eliminar la ambigüedad de las coordenadas y, por lo tanto, también prescribe un tipo de estructura física del espacio-tiempo. El determinante del tensor métrico en una métrica Kerr-Schild es negativo, lo que en sí mismo es una condición de coordenadas subdeterminante. ^{[4] [6]}

Al elegir las condiciones de coordenadas, es importante tener cuidado con las ilusiones o artefactos que pueden crearse con esa elección. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild puede incluir una singularidad aparente en una superficie que está separada de la fuente puntual, pero esa singularidad es simplemente un artefacto de la elección de las condiciones de coordenadas, en lugar de surgir de la realidad física real. ^[7]

Si se van a resolver las ecuaciones de campo de Einstein utilizando métodos aproximados como la expansión post-newtoniana , entonces se debe intentar elegir una condición de coordenadas que haga que la expansión converja lo más rápido posible (o al menos que evite que diverja). De manera similar, para los métodos numéricos es necesario evitar las cáusticas (singularidades de coordenadas).

Si se combina una condición de coordenadas que es covariante de Lorentz, como la condición de coordenadas armónicas mencionada anteriormente, con las ecuaciones de campo de Einstein , se obtiene una teoría que es en cierto sentido coherente tanto con la relatividad especial como con la general. Entre los ejemplos más simples de tales condiciones de coordenadas se encuentran los siguientes:

1. ${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }=k\,g_{\mu \nu ,\alpha }\eta ^{\mu \nu }\,.}$
2. ${\displaystyle g^{\alpha \beta }{}_{,\beta }=k\,g^{\mu \nu }{}_{,\gamma }\eta _{\mu \nu }\eta ^{\alpha \gamma }\,.}$

donde se puede fijar la constante k en cualquier valor conveniente.