Continuo (topología)

En el campo matemático de la topología de conjuntos de puntos , un continuo (plural: "continuos") es un espacio métrico compacto conexo no vacío o, con menos frecuencia, un espacio de Hausdorff compacto conexo . La teoría de continuos es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos.

• Un continuo que contiene más de un punto se denomina no degenerado .
• Un subconjunto A de un continuo X tal que A mismo es un continuo se llama subcontinuo de X. Un espacio homeomorfo a un subcontinuo del ^plano euclidiano R² se llama continuo planar .
• Un continuo X es homogéneo si para cada par de puntos x e y en X , existe un homeomorfismo h : X → X tal que h ( x ) = y .
• Un continuo de Peano es un continuo que está conectado localmente en cada punto.
• Un continuo indescomponible es aquel que no puede representarse como la unión de dos subcontinuos propios. Un continuo X es hereditariamente indescomponible si todos sus subcontinuos son indescomponibles.
• La dimensión de un continuo generalmente se refiere a su dimensión topológica . Un continuo unidimensional a menudo se denomina curva .

• Un arco es un espacio homeomorfo al intervalo cerrado [0,1]. Si h : [0,1] → X es un homeomorfismo y h (0) = p y h (1) = q, entonces p y q se denominan los extremos de X ; también se dice que X es un arco de p a q . Un arco es el tipo más simple y conocido de continuo. Es unidimensional, conexo por arcos y localmente conexo.
• La curva sinusoidal topológica es un subconjunto del plano que es la unión de la gráfica de la función f ( x ) = sin(1/ x ), 0 < x ≤ 1 con el segmento − 1 ≤ y ≤ 1 del eje y . Es un continuo unidimensional que no está conectado por arcos y está discontinuo localmente en los puntos a lo largo del eje y .
• El círculo de Varsovia se obtiene al "cerrar" la curva sinusoidal del topólogo con un arco que conecta (0, − 1) y (1,sin(1)). Es un continuo unidimensional cuyos grupos de homotopía son todos triviales, pero no es un espacio contraíble .

• Un componente de un espacio de Hausdorff compacto particular puede formularse en términos de continuos; se define como un continuo que contiene dos puntos arbitrarios de un espacio de Hausdorff compacto.

• Una n -celda es un espacio homeomorfo a la bola cerrada en el espacio euclidiano R ⁿ . Es contraíble y es el ejemplo más simple de un continuo n- dimensional.
• Una n -esfera es un espacio homeomorfo a la n-esfera estándar en el espacio euclidiano ( n +1)-dimensional. Es un continuo homogéneo n -dimensional que no es contraíble y, por lo tanto, es diferente de una n -celda.
• El cubo de Hilbert es un continuo de dimensión infinita.
• Los solenoides se encuentran entre los ejemplos más simples de continuos homogéneos indescomponibles. No están conectados por arcos ni localmente.
• La alfombra de Sierpinski , también conocida como curva universal de Sierpinski , es un continuo de Peano plano unidimensional que contiene una imagen homeomórfica de cualquier continuo plano unidimensional.
• El pseudoarco es un continuo plano homogéneo hereditariamente indescomponible.

Existen dos técnicas fundamentales para construir continuos, mediante intersecciones anidadas y límites inversos .

• Si { X _n } es una familia anidada de continuos, es decir X _n ⊇ X _{n +1} , entonces su intersección es un continuo.

• Si {( X _n , f _n )} es una secuencia inversa de continuos X _n , llamados espacios de coordenadas , junto con aplicaciones continuas f _n : X _{n +1} → X _n , llamadas aplicaciones de enlace , entonces su límite inverso es un continuo.

Un producto finito o numerable de continuos es un continuo.

• Continuo lineal
• esponja de Menger
• Teoría de las formas (matemáticas)

• Sam B. Nadler, Jr., Teoría del continuo. Una introducción . Matemáticas puras y aplicadas, Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8659-9.
• Hocking, John; Young, Gail (1988). Topología (  Edición revisada). Dover Publications . ISBN 978-0486656762.

• Problemas abiertos en la teoría del continuo
• Ejemplos en la teoría del continuo
• Teoría del continuo y dinámica topológica , M. Barge y J. Kennedy, en Problemas abiertos en topología, J. van Mill y GM Reed (editores), Elsevier Science Publishers BV (North-Holland), 1990.
• Hyperspacewiki