Construcciones en geometría hiperbólica

La geometría hiperbólica es una geometría no euclidiana en la que se conservan los primeros cuatro axiomas de la geometría euclidiana , pero se modifica el quinto axioma, el postulado de las paralelas . El quinto axioma de la geometría hiperbólica establece que, dada una recta L y un punto P ^que no pertenece a dicha recta, existen al menos dos rectas que pasan por P y son paralelas a L. [ ^{1 ]} Al igual que en la geometría euclidiana, donde los matemáticos griegos antiguos utilizaban un compás y una regla idealizada para construir longitudes, ángulos y otras figuras geométricas, también se pueden realizar construcciones en la geometría hiperbólica.

Modelos de geometría hiperbólica

Existen varios modelos de geometría hiperbólica que facilitan la realización y visualización de construcciones. Se pueden colocar porciones del plano hiperbólico sobre una pseudoesfera , manteniendo ángulos y distancias hiperbólicas, e incluso curvarlas conservando sus propiedades. ^{[ 2 ]} Sin embargo, no se puede colocar el plano hiperbólico completo sobre la pseudoesfera como modelo, sino solo una porción. ^{[ 2 ]}

Todo el plano hiperbólico también puede colocarse sobre un disco de Poincaré y mantener sus ángulos. Sin embargo, las líneas se convertirán en arcos circulares, lo que las deforma. ^{[ 2 ]}

Herramientas

En geometría hiperbólica , se puede utilizar la regla y el compás estándar que se emplean habitualmente en la geometría euclidiana plana . Sin embargo, existen diversos compases y reglas desarrollados específicamente para construcciones hiperbólicas.

Un hipercompás puede usarse para construir un hiperciclo a partir de la línea central y el radio. ^{[ 3 ]} Un horocompás puede usarse para construir un horociclo a través de un punto específico si también se proporcionan el diámetro y la dirección. Ambos requieren una regla recta, como la regla estándar . ^{[ 3 ]} Al realizar construcciones en geometría hiperbólica, siempre que se utilice la regla adecuada para la construcción, los tres compases (horocompás, hipercompás y compás estándar ) pueden realizar las mismas construcciones. ^{[ 3 ]}

Se puede usar una regla paralela para trazar una línea que pase por un punto A dado y sea paralela a un rayo a dado ^{[ 3 ]} . Para cualquier par de líneas, se puede usar una regla hiperbólica para construir una línea que sea paralela a la primera línea y perpendicular a la segunda. ^{[ 3 ]}

Algunas notas sobre los usos de las reglas son:

Una regla paralela puede usarse para construir cualquier cosa que una regla estándar y los tres compases también puedan construir ^{[ 3 ].}
Una regla paralela puede actuar como una regla en geometría euclidiana ^{[ 3 ].}
Una regla hiperbólica no puede realizar construcciones de geometría euclidiana ^{[ 3 ].}
En geometría hiperbólica, las construcciones que se pueden realizar utilizando cualquiera de los tres compases mencionados anteriormente y la regla paralela también se pueden realizar utilizando la regla hiperbólica ^{[ 3 ].}

Construcciones simples

bisectriz del ángulo

Consideremos un ángulo dado ᗉ IAI' ≠ $π$ /2 radianes cuya bisectriz se busca. Esto da lugar a dos casos diferentes: o bien ᗉ IAI' < $π$ /2 radianes o bien ᗉ IAI' > $π$ /2 radianes. ^[³^] En ambos casos se necesita una regla hiperbólica para trazar una línea BI' perpendicular a AI y paralela a AI'. Además, se traza una línea B'I perpendicular a AI' y paralela a AI. ^[³^]

Caso 1: ᗉ IAI'< $π$ /2 radianes

Sea C la intersección de BI' y B'I. El resultado es que la recta AC biseca a ᗉ IAI'. ^{[ 3 ]}

Caso 2: ᗉ IAI' > $π$ /2 radianes

Este caso se divide a su vez en tres subcasos:

Caso 2a: IB' interseca a I'B
- Sea A' la intersección de IB' e I'B. Entonces AA' es la bisectriz del ángulo ᗉ IAI'. ^{[ 3 ]}
Caso 2b: IB' es paralelo a I'B
- Construye el segmento de recta BB' y, usando una regla hiperbólica, construye la recta OI" de manera que OI" sea perpendicular a BB' y paralela a B'I". Entonces, la recta OA es la bisectriz del ángulo ᗉ IAI'. ^{[ 3 ]}
Caso 2c: IB' es ultraparalelo a I'B.
- Utilizando el teorema de las ultraparalelas , construimos la perpendicular común de IB' e I'B, CC'. Sea D la intersección de CB" y BC'. Como resultado, AD será la bisectriz del ángulo ᗉ BDB'. Entonces encontramos que la línea que pasa por OD también es la bisectriz del ángulo ᗉ IAI'. ^{[ 3 ]}

Línea paralela común a dos líneas

Consideramos el problema de encontrar una línea paralela a dos líneas dadas, a y a'.. Hay tres casos: a y a' se intersecan en un punto O, a y a'.son paralelas entre sí, y a y a' son ultraparalelas entre sí. ^{[ 3 ]}

Caso 1: a y a' se intersecan en un punto O,

Biseca uno de los ángulos formados por estas dos líneas y nómbralo bisectriz b . Usando una regla hiperbólica, traza una línea c de manera que c sea perpendicular a b y paralela a a. Como resultado, c también es paralela a a', lo que hace que c sea la paralela común a las líneas a y a'. ^{[ 3 ]}

Caso 2: a y a' son paralelas entre sí

Utilizando una regla hiperbólica, construya AI' de manera que AI' sea paralela a a' y perpendicular a a. Construya otra línea A'I de manera que A'I sea paralela a a y perpendicular a a'. Sea B la intersección de AI' y A'I. Dado que ᗉ IBI' > $π$ /2 radianes , el caso ahora se desarrolla como el caso 1, lo que permite construir la paralela común a BI y BI'. ^[³^]

Caso 3: a y a' son ultraparalelos entre sí.

Utilizando una regla hiperbólica, construya BI' de manera que BI' sea perpendicular a a y paralela a a'.y construir una línea B'I tal que B'I sea perpendicular a a' y paralela a a de forma que BI' y B'I queden del mismo lado de la perpendicular común a a y a', que se puede encontrar usando el teorema de las ultraparalelas . Sea C la intersección de BI' y B'I. Entonces ᗉ ICI' ≠ $π$ /2 radianes, lo que permite terminar la construcción como en los otros dos casos. ^[³^]

Línea perpendicular a otra línea en un punto

Supongamos que tenemos una línea a y un punto A en esa línea, y queremos construir una línea perpendicular a a que pase por A. Entonces sea a'.Sea una línea que pasa por A donde a y a' son dos líneas distintas. Entonces tendrás uno de dos casos. ^{[ 3 ]}

Caso 1: a es perpendicular a a'.

En este caso, ya tenemos la línea perpendicular a a que pasa por A. ^{[ 3 ]}

Caso 2: a y a' no son perpendiculares entre sí.

Usando una regla hiperbólica, traza una línea BI de manera que BI sea perpendicular a a y paralela a a'. Además, traza una línea CI' de manera que CI' sea perpendicular a a y paralela a a' pero en dirección opuesta a BI. Ahora traza una línea II" de manera que II" sea la paralela común a BI e I'C. El teorema de las ultraparalelas nos permite ahora crear la perpendicular común a II" y a porque estas dos líneas son ultraparalelas. Esta perpendicular común es ahora la línea perpendicular a a y que pasa por A. ^{[ 3 ]}

Punto medio de un segmento de línea

Supongamos que intentas encontrar el punto medio de un segmento de recta AB. Entonces, construye la recta AI de manera que AI pase por A y sea perpendicular a AB. Además, construye una recta BI' de manera que BI' interseque a AB en B y sea perpendicular a AB. Ahora construye la recta II' de manera que II' sea la paralela común a AI y BI'. ^{[ 3 ]} Construye la perpendicular común a II' y AB, lo cual se puede hacer usando el teorema de las ultraparalelas porque II' y AB son ultraparalelas entre sí. Nombra esta recta CC'. C ahora resulta ser el punto medio de AB. ^{[ 3 ]}

Definiciones para construcciones complejas

Para los fines de las siguientes definiciones, se harán las siguientes suposiciones, que generalmente no se pueden hacer en geometría hiperbólica.

Tres puntos distintos crean un círculo único ^{[ 4 ]}
Dadas dos líneas cualesquiera, se encuentran en un único punto ^{[ 4 ]} (normalmente, esto contradiría el axioma de paralelismo de la geometría hiperbólica, ya que puede haber muchas líneas diferentes paralelas a la misma línea ^{[ 1 ]} ).
Las medidas de los ángulos tienen signo. Aquí se definirán de la siguiente manera: Consideremos un triángulo XYZ. El signo del ángulo ᗉ XYZ es positivo si y solo si la dirección del camino a lo largo del arco más corto desde el lado XY al lado YZ es en sentido antihorario. La imagen del triángulo de la derecha lo ilustra. Para hacer una comparación, al trabajar con el círculo unitario , la medida del ángulo es positiva cuando se va en sentido antihorario y negativa cuando se va en sentido horario. ^{[ 4 ]}

Cuadriláteros cíclicos

Un cuadrilátero es cíclico si la suma de los ángulos de sus dos vértices opuestos es igual a pi radianes o 180 grados. ^{[ 4 ]} Asimismo, si un cuadrilátero se inscribe en un círculo de manera que todos sus vértices se encuentren sobre él, es cíclico. ^{[ 5 ]}

Pseudoaltitudes

Consideremos el triángulo ABC, cuyos puntos están etiquetados en sentido horario, de modo que todos los ángulos son positivos. Sea X un punto que se mueve a lo largo de BC desde B hasta C. A medida que X se acerca a C, el ángulo ᗉAXB disminuye y el ángulo ᗉAXC aumenta. Cuando X está lo suficientemente cerca de B, ᗉAXB > ᗉAXC . Cuando X está lo suficientemente cerca de C, ᗉAXB < ᗉAXC . Esto significa que, en algún punto, X estará en una posición donde ᗉAXB = ᗉAXC . Cuando X está en esta posición, se define como el pie de la pseudoaltura desde el vértice A. ^{[ 4 ]} La pseudoaltura sería entonces el segmento de recta AX. ^{[ 4 ]}

Pseudolongitudes

Sea d _E (A,B) la pseudolongitud de un segmento de recta hiperbólico AB dado. Consideremos una transformación que traslada A al centro de un disco de Poincaré con radio igual a 1. La pseudolongitud d _E (A,B) es la longitud de este segmento en geometría euclidiana. ^{[ 4 ]}

Homotecia

Dado un punto P, un punto A donde A es el centro de la homotecia, y un número k que representa la razón de la homotecia, una homotecia es una transformación que moverá P a un punto P' donde P' está en el rayo AP y d _E (A,P') = k·d _E (A,P). ^{[ 4 ]}

Teorema de los tres gorros de burro

_{Consideremos las} tres circunferencias ω₁ _,ω₂ y _ω₃ en un plano común. Sea P₁ _la intersección de las dos rectas tangentes externas de ω₂ y _ω₃ . Calculemos P₂ _y P₃ _{de la misma manera. El}Teorema _de los Tres Gorros de Burro establece que P₁ , _P₂ y _P₃ se _{encuentran sobre la}^misma recta. ^[⁴ ]

Demostración: Construya una esfera sobre cada círculo y luego construya un plano tangente a estas tres esferas. El plano interseca el plano sobre el que se encuentran los círculos en una línea recta que contiene P ₁ , P ₂ y P ₃ . Estos puntos son también los centros de homotecia de los círculos de los que se derivaron. ^{[ 4 ]}

Aplicación a la geometría esférica

Algebraicamente, la geometría hiperbólica y la esférica tienen la misma estructura. ^{[ 4 ]} Esto nos permite aplicar conceptos y teoremas de una geometría a la otra. ^{[ 4 ]} Aplicar la geometría hiperbólica a la geometría esférica puede facilitar su comprensión porque las esferas son mucho más concretas, lo que a su vez facilita la conceptualización de la geometría esférica.

Referencias

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Al - Dhahir , MW ( 1962 ) . " Un instrumento en geometría hiperbólica " . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 13 (2): 298– 304. doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0138036-7 . JSTOR 2034487 .
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↑ Leonard, I. Ed; Lewis, JE; Liu, ACF; Tokarsky, GW (2014-06-04). Geometría clásica : euclidiana, transformacional, inversiva y proyectiva . Hoboken, NJ. ISBN 9781118839430OCLC 861966488 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[:3-1] 1 2 Cannon, James W.; Floyd, William J.; Kenyon, Richard; Perry, Walter R. (1997). "Geometría hiperbólica" (PDF) . library.msri.org . Recuperado el 13 de diciembre de 2018 .

[:2-2] 1 2 3 Rothe, Franz (2006-09-07). "Geometría hiperbólica y la pseudoesfera" (PDF) . math2.uncc.edu . Archivado del original (PDF) el 2018-01-09 . Recuperado el 2018-12-13 .

[:0-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Al - Dhahir , MW ( 1962 ) . " Un instrumento en geometría hiperbólica " . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 13 (2): 298– 304. doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0138036-7 . JSTOR 2034487 .

[:1-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Akopyan, Arseniy V. (2011-05-11). "Sobre algunas construcciones clásicas extendidas a la geometría hiperbólica". arXiv : 1105.2153 [ math.MG ].

[5] Leonard, I. Ed; Lewis, JE; Liu, ACF; Tokarsky, GW (2014-06-04). Geometría clásica : euclidiana, transformacional, inversiva y proyectiva . Hoboken, NJ. ISBN 9781118839430OCLC 861966488 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

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