Sin coordenadas

Un tratamiento de una teoría científica o un tema matemático que no dependa de coordenadas o componentes desarrolla sus conceptos en cualquier forma de variedad sin referencia a ningún sistema de coordenadas en particular .

Los tratamientos sin coordenadas generalmente permiten sistemas de ecuaciones más simples y restringen inherentemente ciertos tipos de inconsistencia, lo que permite una mayor elegancia matemática a costa de cierta abstracción de las fórmulas detalladas necesarias para evaluar estas ecuaciones dentro de un sistema de coordenadas particular.

Además de la elegancia, los tratamientos independientes de coordenadas son cruciales en ciertas aplicaciones para demostrar que una definición dada está bien formulada. Por ejemplo, para un espacio vectorial con base , puede resultar tentador construir el espacio dual como el espacio generado formalmente por los símbolos con corchete , pero no es inmediatamente evidente que esta construcción sea independiente del sistema de coordenadas inicial elegido. En cambio, es mejor construir como el espacio de funcionales lineales con corchete , y luego derivar las fórmulas basadas en coordenadas a partir de esta construcción.${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle v_{1}^{*},...,v_{n}^{*}}$${\displaystyle \langle \sum \alpha _{i}v_{i},\sum \beta _{i}v_{i}^{*}\rangle$ :=\sum \alpha _{i}\beta _{i}} ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \langle v,\varphi \rangle =\varphi (v)}$

No obstante, a veces puede resultar demasiado complicado proceder a partir de un tratamiento sin coordenadas, o bien un tratamiento sin coordenadas puede garantizar la unicidad pero no la existencia del objeto descrito, o simplemente puede no existir un tratamiento sin coordenadas. Como ejemplo de la última situación, la aplicación indica un isomorfismo general entre un espacio vectorial de dimensión finita y su dual, pero este isomorfismo no está atestiguado por ninguna definición sin coordenadas. Como ejemplo de la segunda situación, una forma común de construir el producto fibrado de esquemas implica pegar a lo largo de parches afines. ^{[ 1 ]} Para mitigar la falta de elegancia de esta construcción, el producto fibrado se caracteriza entonces por una propiedad universal conveniente y se demuestra que es independiente de los parches afines iniciales elegidos.${\displaystyle v_{i}\mapsto v_{i}^{*}}$

Los métodos sin coordenadas eran el único enfoque disponible para la geometría (y ahora se conocen como geometría sintética ) antes del desarrollo de la geometría analítica por Descartes . Tras varios siglos de exposición generalmente basada en coordenadas, la tendencia moderna es introducir a los estudiantes a los métodos sin coordenadas desde el principio, y luego derivar los métodos basados ​​en coordenadas a partir de los métodos sin coordenadas, en lugar de hacerlo al revés .

Los campos que ahora se introducen con frecuencia mediante tratamientos sin coordenadas incluyen el cálculo vectorial , los tensores , la geometría diferencial y los gráficos por computadora . ^{[ 2 ]}

En física , la existencia de tratamientos de teorías físicas independientes de coordenadas es un corolario del principio de covarianza general .

• Covarianza general
• Fundamentos de geometría
• Cambio de base
• Condiciones de coordenadas
• Tratamiento de tensores sin componentes
• Independencia de antecedentes
• Topología sin sentido