Valoración (álgebra)

Una valoración discreta en un cuerpo K es una función : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

que cumplen las condiciones:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

a pesar de${\displaystyle x,y\in K}$.

Nótese que a menudo la valoración trivial toma solo los valores${\displaystyle 0,\infty }$está explícitamente excluido.

Un campo con una valoración discreta no trivial se denomina campo de valoración discreta .

A cada campo${\displaystyle K}$con valoración discreta${\displaystyle \nu }$podemos asociar el subanillo

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

de${\displaystyle K}$, que es un anillo de valoración discreto . Por el contrario, la valoración${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$en un anillo de valoración discreto${\displaystyle A}$puede extenderse de una manera única a una valoración discreta en el campo de cocientes.${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$; el anillo de valoración discreta asociado${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$es solo${\displaystyle A}$.

Anillos de valoración discretos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$son anillos locales con máximo ideal

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\nu }:=\left\{x\in {\mathcal {O}}_{\nu }\mid \nu (x)>0\right\},}$

Así pues, existe la noción de campo residual.${\displaystyle \kappa ={\mathcal {O}}_{\nu }/{\mathfrak {m}}_{\nu }}$Algunos autores llaman${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$un local${\displaystyle K}$-álgebra cuando${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle K}$son isomorfos.

Se comienza con los siguientes objetos:

• un cuerpo K y su grupo multiplicativo K ^× ,
• un grupo totalmente ordenado abeliano (Γ, +, ≥) .

El ordenamiento y la ley de grupo en Γ se extienden al conjunto Γ ∪ {∞ } ^{[ a ]} ​​mediante las reglas

• ∞ ≥ α para todo α ∈ Γ ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ para todo α ∈ Γ .

Entonces, una valoración de K es cualquier mapa

v  : K → Γ ∪ {∞}

que satisface las siguientes propiedades para todo a , b en K :

• v ( a ) = ∞ si y solo si a = 0 ,
• v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
• v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b )) , con igualdad si v ( a ) ≠ v ( b ).

Una valoración v es trivial si v ( a )  =  0 para todo a en K ^× , de lo contrario no es trivial .

La segunda propiedad afirma que cualquier valuación es un homomorfismo de grupo en K ^× . La tercera propiedad es una versión de la desigualdad triangular en espacios métricos adaptada a un Γ arbitrario (véase la sección  Notación multiplicativa más adelante). Para las valuaciones utilizadas en aplicaciones geométricas , la primera propiedad implica que cualquier germen no vacío de una variedad analítica cerca de un punto contiene dicho punto.

La valoración puede interpretarse como el orden del término de orden principal . ^{[ b ]} La tercera propiedad corresponde entonces a que el orden de una suma sea el orden del término mayor, ^{[ c ]} a menos que los dos términos tengan el mismo orden, en cuyo caso pueden cancelarse y la suma puede tener un orden mayor.

Para muchas aplicaciones, Γ es un subgrupo aditivo de los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ d ]} en cuyo caso ∞ puede interpretarse como +∞ en losnúmeros reales extendidos; tenga en cuenta que${\displaystyle \min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a}$para cualquier número real a , y por lo tanto +∞ es la unidad bajo la operación binaria de mínimo. Los números reales (extendidos por +∞) con las operaciones de mínimo y suma forman un semianillo , llamado semianillo tropical min , ^{[ e ]} y una valuación v es casi un homomorfismo de semianillo de K al semianillo tropical, excepto que la propiedad de homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valuación.

De forma similar al caso discreto, hay varios objetos definidos a partir de una valuación dada v  : K → Γ ∪ {∞} ;

• el grupo de valores o grupo de valoración Γ _v = v ( K ^× ), un subgrupo de Γ (aunque generalmente se supone que v es sobreyectivo, de modo que Γ _v = Γ ),
• el anillo de valoración R _v es el conjunto (subanillo) de a ∈ K con v ( a )  ≥  0,
• el ideal primo m _v es el conjunto de a ∈ K con v ( a )  >  0 (de hecho es un ideal maximal de R _v , y el único de este tipo),
• el campo residual k _v = R _v / m _v .

El concepto fue desarrollado por Emil Artin en su libro Álgebra geométrica escribiendo el grupo en notación multiplicativa como (Γ, ·, ≥) : ^{[ 2 ]}

En lugar de ∞, adjuntamos un símbolo formal O a Γ, con el ordenamiento y la ley de grupo extendidos por las reglas.

• O ≤ α para todo α ∈ Γ ,
• O · α = α · O = O para todo α ∈ Γ .

Entonces, una valoración de K es cualquier mapa

| ⋅ | _v  : K → Γ ∪ { O }

que satisfacen las siguientes propiedades para todo a , b ∈ K :

• | a | _v = O si y solo si a = 0,
• | ab | _v = | a | _v · | b | _v ,
• | a+b | _v ≤ max( | a | _v , | b | _v ), con igualdad si | a | _v ≠ | b | _v .

(Nótese que la dirección de las desigualdades es inversa a la de la notación aditiva).

Si Γ es un subgrupo de los números reales positivos bajo la multiplicación, la última condición es la desigualdad ultramétrica , una forma más fuerte de la desigualdad triangular | a+b | _v ≤ | a | _v + | b | _v , y | ⋅ | _v es un valor absoluto . En este caso, podemos pasar a la notación aditiva con grupo de valores${\displaystyle \Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)}$tomando v ₊ ( a ) = − log | a | _v .

Cada valoración en K define un preorden lineal correspondiente : a ≼ b ⇔ | a | _v ≤ | b | _v . Recíprocamente, dado un " ≼ " que satisface las propiedades requeridas , podemos definir la valoración | a | _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }, con multiplicación y ordenación basadas en K y ≼ .

En este artículo, utilizamos los términos definidos anteriormente, en notación aditiva. Sin embargo, algunos autores utilizan términos alternativos:

• Nuestra "valoración" (que satisface la desigualdad ultramétrica) se denomina "valoración exponencial", "valor absoluto no arquimediano" o "valor absoluto ultramétrico".
• Nuestro "valor absoluto" (que satisface la desigualdad triangular) se denomina "valoración" o "valor absoluto arquimediano".

Se dice que dos valoraciones v ₁ y v ₂ de K con grupos de valoración Γ ₁ y Γ ₂ , respectivamente, son equivalentes si existe un isomorfismo de grupos que preserva el orden φ  : Γ ₁ → Γ ₂ tal que v ₂ ( a )  =  φ( v ₁ ( a )) para todo a en K ^× . Esta es una relación de equivalencia .

Dos valoraciones de K son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración. Por otro lado, cualquier anillo de valoración O de K es el anillo de valoración de una valoración canónica v  : K → Γ ∪ {∞} , donde Γ = K ^× / O ^× , un grupo abeliano ordenado linealmente por xO ^× ≤ yO ^× siempre que y / x ∈ O , y v es la aplicación cociente v ( x ) = xO ^× .

Una clase de equivalencia de valoraciones de un cuerpo se llama lugar . El teorema de Ostrowski proporciona una clasificación completa de los lugares del cuerpo de los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q}$ :} Estas son precisamente las clases de equivalencia de valoraciones para las completaciones p -ádicas de${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Sea v una valoración de K y sea L una extensión de cuerpo de K. Una extensión de v (a L ) es una valoración w de L tal que la restricción de w a K es v . El conjunto de todas estas extensiones se estudia en la teoría de ramificación de valoraciones .

Sea L / K una extensión finita y sea w una extensión de v a L. El índice de Γ _v en Γ _w , e( w / v )  =  [Γ _w  :  Γ _v ], se llama índice de ramificación reducido de w sobre v . Satisface e( w / v )  ≤  [ L  : K ] (el grado de la extensión L / K ). El grado relativo de w sobre v se define como f ( w / v ) = [ R _w / m _w : R _v / m _v ] (el grado de la extensión de cuerpos residuales). También es menor o igual que el grado de L / K . Cuando L / K es separable , el índice de ramificación de w sobre v se define como e( w / v ) p ⁱ , donde p ⁱ es el grado inseparable de la extensión R _w / m _w sobre R _v / m _v .     

Cuando el grupo abeliano ordenado Γ es el grupo aditivo de los enteros , la valuación asociada es equivalente a un valor absoluto y, por lo tanto, induce una métrica en el cuerpo K. Si K es completo con respecto a esta métrica, se le llama cuerpo valuado completo . Si K no es completo, se puede usar esta métrica para construir su completación de Cauchy y obtener una valuación única que extiende la de K , como en los ejemplos siguientes; diferentes valuaciones pueden definir diferentes cuerpos de completación.

En general, una valuación induce una estructura uniforme en K , y K se denomina cuerpo valuado completo si es completo como espacio uniforme. Existe una propiedad relacionada conocida como completitud esférica : es equivalente a la completitud si${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ,}$pero más fuertes en general.

Un ejemplo elemental es la valuación p -ádica ν _p asociada a un entero primo p , en los números racionales.${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$con anillo de valoración${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{(p)},}$dónde ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$es la localización de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en el ideal primordial${\displaystyle (p)}$El grupo de valoración son los números enteros aditivos.${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z}$ ;} el campo residual es${\displaystyle k=\mathbb {Z} _{(p)}/p\mathbb {Z} _{(p)}\cong \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$Para un número entero${\displaystyle a\in R=\mathbb {Z} ,}$La valoración ν _p ( a ) mide la divisibilidad de a por potencias de p :

${\displaystyle \nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};}$

y para una fracción, ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) − ν _p ( b ).

Escribiendo esto multiplicativamente se obtiene el valor absoluto p -ádico , que convencionalmente tiene como base${\displaystyle 1/p=p^{-1}}$, entonces${\displaystyle |a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}}$.

La finalización de${\displaystyle \mathbb {Q} }$con respecto a ν _p es el campo${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$de números p-ádicos .

La valoración p -ádica en${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$se extiende de forma única a su cierre algebraico${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$, que tiene grupo de valoración${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Q} }$y el cierre integral de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$como su anillo de valoración. Por lo tanto,${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$, la finalización de${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$(que de nuevo es algebraicamente cerrado ), también tiene grupo de valuación${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 3 ]}

Dada una superficie de Riemann${\displaystyle X}$, podemos considerar el campo${\displaystyle K=M(X)}$de funciones meromorfas${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$Para un punto fijo${\displaystyle p\in X}$, definimos una valoración discreta en${\displaystyle K}$como sigue:${\displaystyle \nu (f)=j}$si y solo si${\displaystyle j}$es el entero más grande tal que la función${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$puede extenderse a una función holomorfa en${\displaystyle p}$. Esto significa: si${\displaystyle \nu (f)=j>0}$entonces${\displaystyle f}$tiene una raíz de orden${\displaystyle j}$en ese punto${\displaystyle p}$; si${\displaystyle \nu (f)=j<0}$entonces${\displaystyle f}$tiene un polo de orden${\displaystyle -j}$en${\displaystyle p}$. De manera similar, también se define una valuación discreta en el campo de funciones de una curva algebraica para cada punto regular.${\displaystyle p}$en la curva.

Sea K = F (x), las funciones racionales en la recta afín X = F ¹ , y tomemos un punto a ∈ X. Para un polinomio${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$con${\displaystyle a_{k}\neq 0}$, definimos v _a ( f ) = k, el orden de anulación en x = a ; y v _a ( f / g ) = v _a ( f ) − v _a ( g ). Entonces el anillo de valuación R consta de funciones racionales sin polo en x = a , y la completación es el anillo formal de series de Laurent F (( x − a )). Esto se puede generalizar al campo de series de Puiseux K {{ t }} (potencias fraccionarias), el campo de Levi-Civita (su completación de Cauchy) y el campo de series de Hahn , con valuación que en todos los casos devuelve el exponente más pequeño de t que aparece en la serie.

Generalizando los ejemplos anteriores, sea R un dominio de ideales principales , K su cuerpo de fracciones y π un elemento irreducible de R. Dado que todo dominio de ideales principales es un dominio de factorización única , todo elemento no nulo a de R puede escribirse (esencialmente) de forma única como

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$

donde los e _i son enteros no negativos y los p _i son elementos irreducibles de R que no son asociados de π . En particular, el entero e _a está determinado unívocamente por a .

La valoración π-ádica de K viene dada entonces por

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infty }$
• ${\displaystyle v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.}$

Si π' es otro elemento irreducible de R tal que (π')  =  (π) (es decir, generan el mismo ideal en R ), entonces la valoración π-ádica y la valoración π'-ádica son iguales. Por lo tanto, la valoración π-ádica puede llamarse valoración P -ádica, donde P  = (π). Su anillo de  valoración es R _P.

El ejemplo anterior puede generalizarse a dominios de Dedekind . Sea R un dominio de Dedekind, K su cuerpo de fracciones y P un ideal primo no nulo de R. Entonces, la localización de R en P , denotada R _P , es un dominio de ideales principales cuyo cuerpo de fracciones es K. La construcción de la sección anterior aplicada al ideal primo PR _P de R _P produce la valuación P -ádica de K.

Por ejemplo, si R es el anillo de enteros de un cuerpo numérico algebraico K , la completación de K con respecto a una valuación P -ádica es una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$para el número primo p con${\displaystyle P\cap \mathbb {Q} =(p)}$, un campo local (no arquimediano) .