Convergencia compacta

En matemáticas, la convergencia compacta (o convergencia uniforme en conjuntos compactos ) es un tipo de convergencia que generaliza la idea de convergencia uniforme . Está asociada a la topología compacta-abierta .

Sea un espacio topológico y un espacio métrico . Una secuencia de funciones ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$,${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

se dice que converge de forma compacta respecto a alguna función si, para cada conjunto compacto , ${\displaystyle n\to \infty}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

uniformemente como . Esto significa que para todos los compactos , ${\estilo de visualización K}$${\displaystyle n\to \infty}$${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sup_{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

• Si y con sus topologías habituales, con , entonces converge de forma compacta a la función constante con valor 0, pero no de manera uniforme.${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R}}$${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$$Estilo de visualización f_{n}$
• Si , y , entonces converge puntualmente a la función que es cero en y uno en , pero la secuencia no converge de manera compacta.${\displaystyle X=(0,1]}$${\displaystyle Y=\mathbb {R}}$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$$Estilo de visualización f_{n}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\estilo de visualización 1}$
• Una herramienta muy poderosa para demostrar la convergencia compacta es el teorema de Arzelà–Ascoli . Existen varias versiones de este teorema; en términos generales, establece que cada secuencia de funciones equicontinuas y uniformemente acotadas tiene una subsecuencia que converge de manera compacta a alguna función continua.

• Si es uniforme, entonces compacto.${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Si es un espacio compacto y de forma compacta, entonces de forma uniforme.${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Si es un espacio localmente compacto , entonces es compacto si y sólo si es localmente uniforme.${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• Si es un espacio generado de forma compacta , de forma compacta, y cada uno es continuo , entonces es continuo.${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$$Estilo de visualización f_{n}$${\estilo de visualización f}$

• Modos de convergencia (índice anotado)
• Teorema de Montel

• Reinhold Remmert Teoría de funciones complejas (1991 Springer) p. 95