Cambio de anillos

Supongamos que${\displaystyle M}$es un módulo sobre${\displaystyle S}$Entonces puede considerarse como un módulo sobre${\displaystyle R}$donde la acción de${\displaystyle R}$se da a través de

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle m\cdot f(r)}$denota la acción definida por el${\displaystyle S}$-estructura del módulo en${\displaystyle M}$. ^{[ 1 ]}

La restricción de escalares puede verse como un functor desde${\displaystyle S}$-módulos a${\displaystyle R}$-módulos. Un${\displaystyle S}$-homomorfismo${\displaystyle u:M\to N}$automáticamente se convierte en un${\displaystyle R}$-homomorfismo entre las restricciones de${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$. De hecho, si${\displaystyle m\in M}$y${\displaystyle r\in R}$, entonces

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

Como functor, la restricción de escalares es el adjunto derecho del functor de extensión de escalares.

Si${\displaystyle R}$es el anillo de los enteros, entonces esto es simplemente el functor olvidadizo de módulos a grupos abelianos.

Dejar${\displaystyle f:R\to S}$Sea un homomorfismo entre dos anillos, y sea${\displaystyle M}$ser un módulo sobre${\displaystyle R}$Consideremos el producto tensorial .${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$, dónde${\displaystyle S}$se considera una izquierda${\displaystyle R}$-módulo vía${\displaystyle f}$. Desde${\displaystyle S}$es también un módulo derecho sobre sí mismo, y las dos acciones conmutan, es decir${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$para${\displaystyle r\in R}$,${\displaystyle s,s'\in S}$(en un lenguaje más formal,${\displaystyle S}$es un${\displaystyle (R,S)}$- bimódulo ),${\displaystyle M^{S}}$hereda un derecho de acción de${\displaystyle S}$. Se da por${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$para${\displaystyle m\in M}$,${\displaystyle s,s'\in S}$Se dice que este módulo se obtiene de${\displaystyle M}$mediante la extensión de escalares .

De manera informal, la extensión de escalares es "el producto tensorial de un anillo y un módulo"; más formalmente, es un caso especial de un producto tensorial de un bimódulo y un módulo: el producto tensorial de un R -módulo con un${\displaystyle (R,S)}$-bimodule es un S -módulo.

Uno de los ejemplos más sencillos es la complejización , que consiste en la extensión de escalares de los números reales a los números complejos . De forma más general, dada cualquier extensión de cuerpo K < L, se pueden extender escalares de K a L. En el lenguaje de los cuerpos, un módulo sobre un cuerpo se denomina espacio vectorial , y por lo tanto, la extensión de escalares convierte un espacio vectorial sobre K en un espacio vectorial sobre L. Esto también se puede hacer con álgebras de división , como se hace en la cuaternionización (extensión de los números reales a los cuaterniones ).  

De forma más general, dado un homomorfismo de un cuerpo o anillo conmutativo R a un anillo S, el anillo S puede considerarse como un álgebra asociativa sobre R, y así, cuando se extienden escalares sobre un R -módulo, el módulo resultante puede considerarse alternativamente como un S -módulo, o como un R -módulo con una representación algebraica de S (como un R -álgebra). Por ejemplo, el resultado de complejizar un espacio vectorial real ( R = R , S = C ) puede interpretarse como un espacio vectorial complejo ( S -módulo) o como un espacio vectorial real con una estructura lineal compleja (representación algebraica de S como un R -módulo).

Esta generalización es útil incluso para el estudio de campos; notablemente, muchos objetos algebraicos asociados a un campo no son campos en sí mismos, sino anillos, como álgebras sobre un campo, como en la teoría de representaciones . Así como se pueden extender escalares en espacios vectoriales, también se pueden extender escalares en álgebras de grupo y también en módulos sobre álgebras de grupo, es decir, representaciones de grupo . Particularmente útil es relacionar cómo cambian las representaciones irreducibles bajo la extensión de escalares; por ejemplo, la representación del grupo cíclico de orden 4, dada por la rotación del plano en 90°, es una representación real irreducible bidimensional , pero al extender escalares a los números complejos, se divide en 2 representaciones complejas de dimensión 1. Esto corresponde al hecho de que el polinomio característico de este operador,${\displaystyle x^{2}+1,}$es irreducible de grado 2 sobre los números reales, pero se factoriza en 2 factores de grado 1 sobre los números complejos; no tiene valores propios reales, pero sí 2 valores propios complejos.

La extensión de escalares puede interpretarse como un functor desde${\displaystyle R}$-módulos a${\displaystyle S}$-módulos. Envía${\displaystyle M}$a${\displaystyle M^{S}}$, como se indicó anteriormente, y un${\displaystyle R}$-homomorfismo${\displaystyle u:M\to N}$hacia${\displaystyle S}$-homomorfismo${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$definido por${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$.