Hispanopedia WikiEn análisis numérico , un problema de aproximación es un sistema auxiliar de ecuaciones que se utiliza en un método iterativo para la solución de un sistema de ecuaciones más amplio. Básicamente, se trata de una versión del mismo problema con menor resolución, que conserva sus características esenciales, pero con menos variables. Su propósito es propagar la información a través de todo el problema de forma global.
En los métodos multigrid para ecuaciones diferenciales parciales , el problema grueso se obtiene típicamente como una discretización de la misma ecuación en una malla más gruesa (generalmente, en métodos de diferencias finitas ) o mediante una aproximación de Galerkin en un subespacio , denominado espacio grueso . En los métodos de elementos finitos , se suele utilizar la aproximación de Galerkin, con el espacio grueso generado por elementos de mayor tamaño en el mismo dominio . Por lo general, el problema grueso corresponde a una malla dos o tres veces más gruesa.
Los espacios gruesos (modelo grueso, modelo sustituto ) son la base de los algoritmos y metodologías que explotan el concepto de mapeo espacial para resolver problemas de modelado y diseño de ingeniería computacionalmente intensivos. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] En el mapeo espacial , se utiliza un modelo fino o de alta fidelidad (alta resolución, computacionalmente intensivo) para calibrar o recalibrar —o actualizar sobre la marcha, como en el mapeo espacial agresivo— un modelo grueso adecuado. Un modelo grueso actualizado a menudo se denomina modelo sustituto o modelo grueso mapeado. Permite un aprovechamiento rápido, pero más preciso, del modelo grueso subyacente en la exploración de diseños o en la optimización del diseño.
En los métodos de descomposición de dominio , la construcción de un problema grueso sigue los mismos principios que en los métodos multigrid, pero el problema grueso tiene muchas menos incógnitas, generalmente solo una o unas pocas por subdominio o subestructura, y el espacio grueso puede ser de un tipo bastante diferente al del espacio de elementos finitos original, por ejemplo, constantes por partes con promediado en la descomposición de dominio de equilibrio o construido a partir de funciones mínimas de energía en BDDC . Sin embargo, la construcción del problema grueso en FETI es inusual, ya que no se obtiene como una aproximación de Galerkin del problema original.
En los métodos multigrid algebraicos y en los métodos de agregación iterativa en economía matemática y cadenas de Markov , el problema grueso se obtiene generalmente mediante la aproximación de Galerkin en un subespacio. En economía matemática, el problema grueso puede obtenerse mediante la agregación de productos o industrias en una descripción gruesa con menos variables. En cadenas de Markov, una cadena de Markov gruesa puede obtenerse mediante la agregación de estados.
La velocidad de convergencia de los métodos multigrid y de descomposición de dominio para ecuaciones diferenciales parciales elípticas sin un problema grueso se deteriora al disminuir el paso de la malla (o disminuir el tamaño del elemento, o aumentar el número de subdominios o subestructuras), lo que hace necesario un problema grueso para un algoritmo escalable .
Referencias
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- ↑ AJ Booker, JE Dennis, Jr., PD Frank, DB Serafini, V. Torczon y MW Trosset, "Un marco riguroso para la optimización de funciones costosas mediante sustitutos", Structural Optimization , vol. 17, n.º 1, págs. 1-13, febrero de 1999.
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- ↑ JE Rayas-Sanchez, "Poder en la simplicidad con ASM: seguimiento del agresivo algoritmo de mapeo espacial a lo largo de dos décadas de desarrollo y aplicaciones de ingeniería" , IEEE Microwave Magazine , vol. 17, n.º 4, págs. 64–76, abril de 2016.
- ↑ JW Bandler y S. Koziel "Avances en la optimización del diseño basada en electromagnetismo" , IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Digest (San Francisco, CA, 2016).
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- Olof B. Widlund , " El desarrollo de espacios gruesos para algoritmos de descomposición de dominio ", en: Métodos de descomposición de dominio en ciencia e ingeniería XVIII , Bercovier, M. y Gander, MJ y Kornhuber, R. y Widlund, O. (eds.), Lecture Notes in Computational Science and Engineering 70, Springer-Verlag, 2009, Actas de la 18.ª Conferencia Internacional sobre Descomposición de Dominio, Jerusalén, Israel, enero de 2008, doi : 10.1007/978-3-642-02677-5_26 .
Véase también
- métodos de descomposición de dominio