Controlador de lazo cerrado

Un controlador de lazo cerrado o controlador de retroalimentación es un lazo de control que incorpora retroalimentación , a diferencia de un controlador de lazo abierto o controlador sin retroalimentación . Un controlador de lazo cerrado utiliza la retroalimentación para controlar los estados o salidas de un sistema dinámico . Su nombre proviene de la ruta de información en el sistema: las entradas del proceso (por ejemplo, el voltaje aplicado a un motor eléctrico ) tienen un efecto en las salidas del proceso (por ejemplo, la velocidad o el par del motor), que se mide con sensores y es procesado por el controlador; el resultado (la señal de control) se "realimenta" como entrada al proceso, cerrando el lazo. ^{[ 1 ]}

En el caso de los sistemas de retroalimentación lineal , se configura un bucle de control que incluye sensores , algoritmos de control y actuadores para regular una variable en un punto de consigna (PC). Un ejemplo cotidiano es el control de crucero de un vehículo; donde factores externos como las pendientes provocan cambios de velocidad, y el conductor puede modificar la velocidad deseada. El algoritmo PID del controlador restablece la velocidad real a la deseada de forma óptima, con un retardo o sobreimpulso mínimo , controlando la potencia del motor del vehículo. Los sistemas de control que incorporan algún tipo de detección de los resultados que buscan alcanzar utilizan la retroalimentación y pueden adaptarse a diversas circunstancias hasta cierto punto. Los sistemas de control de bucle abierto no utilizan la retroalimentación y funcionan únicamente de forma preestablecida.

Los controladores de lazo cerrado presentan las siguientes ventajas sobre los controladores de lazo abierto:

• rechazo de perturbaciones (como las colinas en el ejemplo del control de crucero anterior)
• Rendimiento garantizado incluso con incertidumbres del modelo , cuando la estructura del modelo no coincide perfectamente con el proceso real y los parámetros del modelo no son exactos.
• Los procesos inestables pueden estabilizarse.
• Sensibilidad reducida a las variaciones de los parámetros
• Rendimiento de seguimiento de referencia mejorado
• rectificación mejorada de fluctuaciones aleatorias ^{[ 2 ]}

En algunos sistemas, se utilizan simultáneamente el control de lazo cerrado y el de lazo abierto. En estos sistemas, el control de lazo abierto se denomina prealimentación y sirve para mejorar aún más el rendimiento del seguimiento de referencia.

Una arquitectura común de controlador de lazo cerrado es el controlador PID .

La salida del sistema y ( t ) se retroalimenta mediante una medición del sensor F para compararla con el valor de referencia r ( t ). El controlador C toma entonces el error e (diferencia) entre la referencia y la salida para modificar las entradas u del sistema bajo control P. Esto se muestra en la figura. Este tipo de controlador es un controlador de lazo cerrado o controlador de realimentación.

Esto se denomina sistema de control de entrada única y salida única ( SISO ); los sistemas MIMO (es decir, de múltiples entradas y múltiples salidas), con más de una entrada/salida, son comunes. En estos casos, las variables se representan mediante vectores en lugar de simples valores escalares . Para algunos sistemas de parámetros distribuidos, los vectores pueden ser de dimensión infinita (típicamente funciones).

Si asumimos que el controlador C , la planta P y el sensor F son lineales e invariantes en el tiempo (es decir, los elementos de su función de transferencia C ( s ), P ( s ) y F ( s ) no dependen del tiempo), los sistemas anteriores pueden analizarse utilizando la transformada de Laplace en las variables. Esto da como resultado las siguientes relaciones:

${\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)}$

${\displaystyle U(s)=C(s)E(s)}$

${\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s).}$

Al despejar Y ( s ) en términos de R ( s ) se obtiene

${\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)F(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).}$

La expresión${\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}}$Se denomina función de transferencia de lazo cerrado del sistema. El numerador es la ganancia directa (de lazo abierto) de r a y , y el denominador es uno más la ganancia al recorrer el lazo de retroalimentación, la llamada ganancia de lazo. Si${\displaystyle |P(s)C(s)|\gg 1}$, es decir, tiene una norma grande con cada valor de s , y si${\displaystyle |F(s)|\approx 1}$, entonces Y ( s ) es aproximadamente igual a R ( s ) y la salida sigue de cerca la entrada de referencia.

Un controlador proporcional-integral-derivativo (controlador PID) es una técnica de control de mecanismo de retroalimentación de bucle de control ampliamente utilizada en sistemas de control.

Un controlador PID calcula continuamente un valor de error e ( t ) como la diferencia entre un punto de consigna deseado y una variable de proceso medida , y aplica una corrección basada en términos proporcionales , integrales y derivativos . PID es el acrónimo de Proporcional-Integral-Derivativo , que se refiere a los tres términos que actúan sobre la señal de error para generar una señal de control.

Su comprensión teórica y aplicación datan de la década de 1920, y se implementan en casi todos los sistemas de control analógicos; originalmente en controladores mecánicos, luego mediante electrónica discreta y, posteriormente, en computadoras de procesos industriales. El controlador PID es probablemente el diseño de control por retroalimentación más utilizado.

Si u ( t ) es la señal de control enviada al sistema, y ​​( t ) es la salida medida y r ( t ) es la salida deseada, y e ( t ) = r ( t ) − y ( t ) es el error de seguimiento, un controlador PID tiene la forma general

${\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int ^{t}e(\tau ){\text{d}}\tau +K_{D}{\frac {{\text{d}}e(t)}{{\text{d}}t}}.}$

La dinámica de lazo cerrado deseada se obtiene ajustando los tres parámetros K _P , K _I y K _D , a menudo de forma iterativa mediante "sintonización" y sin necesidad de conocer el modelo específico de la planta. La estabilidad suele garantizarse utilizando únicamente el término proporcional. El término integral permite rechazar una perturbación escalón (una especificación a menudo crucial en el control de procesos ). El término derivativo se utiliza para amortiguar o modular la respuesta. Los controladores PID constituyen la clase de sistemas de control más consolidada; sin embargo, no pueden utilizarse en casos más complejos, especialmente en sistemas MIMO .

Al aplicar la transformada de Laplace se obtiene la ecuación del controlador PID transformada.

${\displaystyle u(s)=K_{P}\,e(s)+K_{I}\,{\frac {1}{s}}\,e(s)+K_{D}\,s\,e(s)}$

${\displaystyle u(s)=\left(K_{P}+K_{I}\,{\frac {1}{s}}+K_{D}\,s\right)e(s)}$

con la función de transferencia del controlador PID

${\displaystyle C(s)=\left(K_{P}+K_{I}\,{\frac {1}{s}}+K_{D}\,s\right).}$

Como ejemplo de ajuste de un controlador PID en el sistema de lazo cerrado H ( s ) , consideremos una planta de primer orden dada por

${\displaystyle P(s)={\frac {A}{1+sT_{P}}}}$

donde A y T _P son algunas constantes. La salida de la planta se retroalimenta a través de

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sT_{F}}}}$

donde T _F también es una constante. Ahora, si establecemos${\displaystyle K_{P}=K\left(1+{\frac {T_{D}}{T_{I}}}\right)}$, K _D = KT _D , y${\displaystyle K_{I}={\frac {K}{T_{I}}}}$, podemos expresar la función de transferencia del controlador PID en forma de serie como

${\displaystyle C(s)=K\left(1+{\frac {1}{sT_{I}}}\right)(1+sT_{D})}$

SDSD

Sustituyendo P ( s ) , F ( s ) , y C ( s ) en la función de transferencia de lazo cerrado H ( s ) , encontramos que al establecer

${\displaystyle K={\frac {1}{A}},T_{I}=T_{F},T_{D}=T_{P}}$

H ( s ) = 1 . Con este ajuste en este ejemplo, la salida del sistema sigue exactamente la entrada de referencia.

Sin embargo, en la práctica, un diferenciador puro no es físicamente realizable ni deseable ^{[ 5 ]} debido a la amplificación del ruido y los modos resonantes en el sistema. Por lo tanto, se utiliza en su lugar un compensador de adelanto de fase o un diferenciador con atenuación de paso bajo.