Paquete Clifford

En matemáticas , un fibrado de Clifford es un fibrado de álgebras cuyas fibras tienen la estructura de un álgebra de Clifford y cuyas trivializaciones locales respetan la estructura del álgebra. Existe un fibrado de Clifford natural asociado a cualquier variedad ( pseudo ) riemanniana M que se denomina fibrado de Clifford de M.

Esto se conoce comúnmente como la fibración de Hopf de S ³ , una construcción topológica señalada por Heinz Hopf (1931). Pero el procedimiento de Hopf se basó explícitamente (con la debida referencia) en una construcción geométrica anterior de " paralelos de Clifford ". ^{[ 1 ]}

Construcción general

Sea V un espacio vectorial ( real o complejo ) junto con una forma bilineal simétrica <·,·>. El álgebra de Clifford Cℓ ( V ) es un álgebra natural ( asociativa unitaria ) generada por V sujeta únicamente a la relación

v^{2}=\langle v,v\rangle

para todo v en V . ^{[ 2 ]} Se puede construir Cℓ ( V ) como un cociente del álgebra tensorial de V por el ideal generado por la relación anterior.

Al igual que otras operaciones tensoriales, esta construcción puede realizarse fibra por fibra en un fibrado vectorial suave . Sea E un fibrado vectorial suave sobre una variedad suave M , y sea g una forma bilineal simétrica suave en E. El fibrado de Clifford de E es el fibrado cuyas fibras son las álgebras de Clifford generadas por las fibras de E :

C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})

La topología de Cℓ ( E ) está determinada por la de E a través de una construcción de fibrado asociada .

Uno suele estar interesado en el caso donde g es definida positiva o al menos no degenerada ; es decir, cuando ( E , g ) es un fibrado vectorial riemanniano o pseudoriemanniano. Para mayor concreción, supongamos que ( E , g ) es un fibrado vectorial riemanniano. El fibrado de Clifford de E se puede construir de la siguiente manera. Sea Cℓ _n R el álgebra de Clifford generada por R ⁿ con la métrica euclidiana . La acción estándar del grupo ortogonal O( n ) sobre R ⁿ induce un automorfismo graduado de Cℓ _n R . El homomorfismo

{\displaystyle \rho

está determinado por

\rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})

donde v _i son todos vectores en R ⁿ . El fibrado de Clifford de E viene dado entonces por

C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R}

donde F ( E ) es el fibrado de marcos ortonormales de E . Es claro a partir de esta construcción que el grupo de estructura de Cℓ ( E ) es O( n ). Dado que O( n ) actúa mediante automorfismos graduados en Cℓ _n R se deduce que Cℓ ( E ) es un fibrado de álgebras Z ₂ -graduadas sobre M . El fibrado de Clifford Cℓ ( E ) puede entonces descomponerse en subfibrados pares e impares:

C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).

Si el fibrado vectorial E es orientable , entonces se puede reducir el grupo de estructura de Cℓ ( E ) de O( n ) a SO( n ) de manera natural.

fibrado de Clifford de una variedad riemanniana

Si M es una variedad riemanniana con métrica g , entonces el fibrado de Clifford de M es el fibrado de Clifford generado por el fibrado tangente TM . También se puede construir un fibrado de Clifford a partir del fibrado cotangente T * M. La métrica induce un isomorfismo natural TM = T * M y, por lo tanto, un isomorfismo Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M ).

Existe un isomorfismo de fibrado vectorial natural entre el fibrado de Clifford de M y el fibrado exterior de M :

C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).

Se trata de un isomorfismo de fibrados vectoriales, no de fibrados algebraicos. El isomorfismo se induce a partir del isomorfismo correspondiente en cada fibra. De este modo, se pueden considerar las secciones del fibrado de Clifford como formas diferenciales en M equipadas con la multiplicación de Clifford en lugar del producto exterior (que es independiente de la métrica).

El isomorfismo anterior respeta la gradación en el sentido de que

{\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}

Descripción local

Para un vector $v\in T_{x}M$ en $x\in M$ y un formulario $\psi \in \Lambda (T_{x}M)$ La multiplicación de Clifford ^{[ 3 ]} se define como

$v\psi =v\wedge \psi +v\lrcorner \psi$ ,

donde la dualidad métrica para cambiar el vector a una forma se utiliza en el primer término.

Luego, la derivada exterior $d$ y coderivada $\delta$ puede estar relacionado con la conexión métrica $\nabla$ utilizando la elección de una base ortonormal $\{e_{a}\}$ por

$d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =-e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}$ .

Utilizando estas definiciones, el operador de Dirac-Kähler ^{[ 4 ]}^{[ 3 ]} se define por

$D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta$ .

En un dominio estrellado, el operador puede invertirse utilizando el lema de Poincaré para la derivada exterior y su dual estrellado de Hodge para la coderivada . ^{[ 5 ]} Una forma práctica de hacerlo es mediante operadores de homotopía y cohomotopía . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Véase también

Notas

↑ Penrose, Roger (2004). El camino a la realidad: una guía compleja de las leyes del universo ( ed. 2007 ). Reino Unido. págs. 365–366 . ISBN 0-224-04447-8.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
↑ En la definición de un álgebra de Clifford, la elección del signo es arbitraria. En general, se puede tomar^v²= ± < v , v > . En geometría diferencial, es común usar la convención de signos (−).
1 2 Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física . A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6.
↑ Graf, Wolfgang (1978). "Formas diferenciales como espinores" . Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 29 (1): 85–109 . ISSN 2400-4863 .
1 2 Kycia, Radosław Antoni (2022). "El lema de Poincaré para formas codiferenciales y anticoexactas, y aplicaciones a la física" . Resultados en matemáticas . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .
↑ Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, las formas antiexactas y el oscilador armónico cuántico fermiónico" . Results in Mathematics . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .

Referencias

Berlín, Nicole ; Getzler, Ezra ; Vergne, Michèle (2004). Calentar granos y operadores Dirac . Ediciones de texto Grundlehren ( edición de bolsillo). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-20062-2. Zbl 1037.58015 .
Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de espín . Serie matemática de Princeton. Vol. 38. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5. Zbl 0688.57001 .

[1] Penrose, Roger (2004). El camino a la realidad: una guía compleja de las leyes del universo ( ed. 2007 ). Reino Unido. págs. 365–366 . ISBN 0-224-04447-8.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[2] En la definición de un álgebra de Clifford, la elección del signo es arbitraria. En general, se puede tomar^v²= ± < v , v > . En geometría diferencial, es común usar la convención de signos (−).

[:0-3] 1 2 Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física . A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6.

[4] Graf, Wolfgang (1978). "Formas diferenciales como espinores" . Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 29 (1): 85–109 . ISSN 2400-4863 .

[:1-5] 1 2 Kycia, Radosław Antoni (2022). "El lema de Poincaré para formas codiferenciales y anticoexactas, y aplicaciones a la física" . Resultados en matemáticas . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .

[6] Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, las formas antiexactas y el oscilador armónico cuántico fermiónico" . Results in Mathematics . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .

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