Representación de Clebsch

En física y matemáticas , la representación de Clebsch de un campo vectorial tridimensional arbitrario${\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}})}$es: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$$

donde los campos escalares${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle ,\psi ({\boldsymbol {x}})}$y${\displaystyle \chi ({\boldsymbol {x}})}$se conocen como potenciales de Clebsch ^{[ 3 ]} o potenciales de Monge [ ^{4 ] llamados} así en honor a Alfred Clebsch (1833–1872) y Gaspard Monge (1746–1818), y${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$es el operador gradiente .

En dinámica de fluidos y física de plasmas , la representación de Clebsch proporciona un medio para superar las dificultades de describir un flujo no viscoso con vorticidad no nula —en el marco de referencia euleriano— utilizando la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} En el punto crítico de tales funcionales , el resultado son las ecuaciones de Euler , un conjunto de ecuaciones que describen el flujo del fluido. Nótese que las dificultades mencionadas no surgen al describir el flujo mediante un principio variacional en el marco de referencia lagrangiano . En el caso de ondas de gravedad superficiales , la representación de Clebsch conduce a una forma de flujo rotacional del principio variacional de Luke . ^{[ 8 ]}

Para que la representación de Clebsch sea posible, el campo vectorial${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$debe ser (localmente) acotada , continua y suficientemente suave . Para aplicabilidad global${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$tiene que decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito . ^{[ 9 ]} La descomposición de Clebsch no es única, y se necesitan (dos) restricciones adicionales para definir de forma única los potenciales de Clebsch. ^{[ 1 ]} Dado que${\displaystyle \psi {\boldsymbol {\nabla }}\chi }$En general no es solenoidal , la representación de Clebsch no satisface en general la descomposición de Helmholtz . ^{[ 10 ]}

La vorticidad${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {x}})}$es igual a ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi \right)={\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$$

con el último paso debido a la identidad del cálculo vectorial${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\psi {\boldsymbol {A}})=\psi ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {A}}.}$Entonces la vorticidad${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es perpendicular a ambos${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\psi }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\chi,}$mientras que además la vorticidad no depende de${\displaystyle \varphi .}$