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Segmento circular

Un segmento circular (en verde) está encerrado entre una secante/cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos extremos coinciden con los de la cuerda (el arco que se muestra en...

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Un segmento circular (en verde) está encerrado entre una secante/cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos extremos coinciden con los de la cuerda (el arco que se muestra encima del área verde).

En geometría , un segmento circular o segmento de disco (símbolo: ⌓ ) es una región de un disco [ 1 ] que está "separada" del resto del disco por una línea recta. La línea completa se conoce como secante , y la sección dentro del disco como cuerda . [ 2 ]

De forma más formal, un segmento circular es una región plana delimitada por un arco circular (de menos de π radianes por convención) y la cuerda circular que conecta sus extremos.

Fórmulas

Sea R el radio del arco que forma parte del perímetro del segmento, θ el ángulo central que subtiende el arco en radianes , c la longitud de la cuerda , s la longitud del arco , h la sagita ( altura ) del segmento, d la apotema del segmento y a el área del segmento.

Por lo general, se conocen o miden la longitud de la cuerda y la altura, y a veces la longitud del arco como parte del perímetro. Las incógnitas son el área y, en ocasiones, la longitud del arco. Estas no se pueden calcular simplemente a partir de la longitud de la cuerda y la altura, por lo que normalmente se calculan primero dos cantidades intermedias: el radio y el ángulo central.

Radio y ángulo central

El radio es:

R=h2+do28h{\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}[ 3 ]

El ángulo central es

θ=2arcoseno⁡do2R{\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}

Longitud y altura de la cuerda

La longitud de la cuerda y la altura se pueden calcular a partir del radio y el ángulo central mediante:

La longitud de la cuerda es

do=2Rpecado⁡θ2=R2(1−porque⁡θ){\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}
do=2R2−(R−h)2=22Rh−h2{\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}

La sagita es

h=R−R2−do24=R(1−porque⁡θ2)=R(1−1+porque⁡θ2)=do2broncearse⁡θ4{\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}

La apotema es

d=R−h=R2−do24=Rporque⁡θ2{\displaystyle d=Rh={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}

Longitud de arco y área

La longitud del arco, según la geometría familiar de un círculo, es

s=θR{\displaystyle s={\theta }R}

El áreaa{\displaystyle a}del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular (usando la fórmula del ángulo doble para obtener una ecuación en términos deθ{\displaystyle \theta }):

a=R22(θ−pecado⁡θ){\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}

En términos de c y R ,

a=R22(2arcoseno⁡do2R−pecado⁡(2arcoseno⁡do2R))=R2(arcoseno⁡do2R−do2R1−(do2R)2){\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}-\sin \left(2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}\right)\right)=R^{2}\left(\arcsin {\frac {c}{2R}}-{\frac {c}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{2R}}\right)^{2}}}\right)}

En términos de R y h ,

a=R2arcos⁡(1−hR)−(R−h)h(2R−h){\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(Rh\right){\sqrt {h\left(2R-h\right)}}}

En términos de c y h ,

a=(do28h+h2)2arcos⁡(do2−4h2do2+4h2)−do16h(do2−4h2){\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}

Lo que se puede afirmar es que a medida que el ángulo central se hace más pequeño (o, alternativamente, el radio se hace más grande), el área a se aproxima rápida y asintóticamente.23do⋅h{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}. Siθ≪1{\displaystyle \theta \ll 1},a=23do⋅h{\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}es una aproximación sustancialmente buena.

Sido{\displaystyle c}si se mantiene constante y se permite que el radio varíe, entonces tenemos∂a∂s=R{\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}

A medida que el ángulo central se acerca a π, el área del segmento converge al área de un semicírculo .πR22{\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}, por lo que una buena aproximación es un desplazamiento delta desde esta última área:

a≈πR22−(R+do2)(R−h){\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(Rh)}para h>.75 R

Como ejemplo, el área es un cuarto del círculo cuando θ ~ 2,31 radianes (132,3°), lo que corresponde a una altura de ~59,6% y una longitud de cuerda de ~183% del radio.

Otras propiedades

El perímetro p es la longitud del arco más la longitud de la cuerda:

pag=do+s=do+θR{\displaystyle p=c+s=c+\theta R}

Proporción del área total del círculo:

aA=θ−pecado⁡θ2π{\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}

Aplicaciones

La fórmula del área se puede utilizar para calcular el volumen de un tanque cilíndrico parcialmente lleno colocado horizontalmente.

En el diseño de ventanas o puertas con parte superior redondeada, c y h pueden ser los únicos valores conocidos y pueden utilizarse para calcular R para el ajuste del compás del dibujante.

Es posible reconstruir las dimensiones completas de un objeto circular a partir de fragmentos midiendo la longitud del arco y la longitud de la cuerda del fragmento.

Para comprobar la posición de los orificios en un patrón circular. Especialmente útil para el control de calidad de productos mecanizados.

Para calcular el área o localizar el centroide de una figura plana que contiene segmentos circulares.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Las matemáticas distinguen, cuando es necesario, entre las palabras círculo y disco : un disco es un área plana que tiene un círculo como límite, mientras que un círculo es la curva cerrada que forma el límite mismo.
  2. ↑ Estos términos se refieren a una línea que interseca una curva. En este caso, la curva es el círculo que forma el límite del disco.
  3. ↑ La relación fundamental entreR{\displaystyle R},do{\displaystyle c}, yh{\displaystyle h}derivable directamente del teorema de Pitágoras entreR{\displaystyle R},do/2{\displaystyle c/2}, yR−h{\displaystyle Rh}como componentes de un triángulo rectángulo es:R2=(do2)2+(R−h)2{\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(Rh)^{2}}que se puede resolverR{\displaystyle R},do{\displaystyle c}, oh{\displaystyle h}según sea necesario.
  • Definición de un segmento circular con animación interactiva.
  • Fórmulas para calcular el área de un segmento circular. Con animación interactiva.