Método de características

En matemáticas , el método de las características es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales específicas . Generalmente, se aplica a ecuaciones de primer orden , aunque también se pueden encontrar curvas características para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas . El método consiste en reducir una ecuación diferencial parcial (EDP) a una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a lo largo de las cuales se puede integrar la solución a partir de algunos datos iniciales dados en una hipersuperficie adecuada .

Características de una ecuación diferencial parcial de primer orden

Para una EDP de primer orden, el método de las características descubre las llamadas curvas características a lo largo de las cuales la EDP se convierte en una EDO. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Una vez encontrada la EDO, se puede resolver a lo largo de las curvas características y transformarla en una solución para la EDP original.

Ecuación diferencial parcial cuasilineal bidimensional

Para simplificar, inicialmente centramos nuestra atención en el caso de una función de dos variables independientes x e y . Consideremos una EDP cuasilineal de la forma ^{[ 3 ].}

Para una función diferenciable $(x,y)\mapsto u(x,y)$ , consideremos la gráfica de u , que es el conjunto $\operatorname {gph} (u)=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z=u(x,y)\}$ Un vector normal a $\operatorname {gph} (u)$ viene dado por ^{[ 4 ]}

$n(x,y)=\left({\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y),-1\right).$

Consideremos el campo vectorial

El producto escalar del campo vectorial ( 2 ) con el vector normal a $\operatorname {gph} (u)$ en cada $(x,y,u(x,y))\in \operatorname {gph} (u)$ es ${\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}(x,y)\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}(x,y)\\-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\\b{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\\c{\big (}x,y,u(x,y){\big )}\end{bmatrix}}=a{\big (}x,y,u(x,y){\big )}{\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)+b{\big (}x,y,u(x,y){\big )}{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)-c{\big (}x,y,u(x,y){\big )}.$

Comparando el lado derecho de la ecuación anterior con ( 1 ), es evidente que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

El lado derecho de la ecuación anterior es cero;
$u$ es una solución a ( 1 );
El campo vectorial ( 2 ) es ortogonal a los vectores normales de $\operatorname {gph} (u)$ en cada punto $(x,y,z)\in \operatorname {gph} (u)$ ;
El campo vectorial ( 2 ) es tangente a la superficie. $\operatorname {gph} (u)$ en cada punto $(x,y,z)\in \operatorname {gph} (u)$ ;

En otras palabras, la gráfica de la solución de ( 1 ) es la unión de curvas integrales del campo vectorial ( 2 ). Cada curva integral se denomina curva característica de la ecuación diferencial parcial ( 1 ) y sigue como solución de las ecuaciones características : ^{[ 3 ]}

$\left\{{\begin{aligned}{\dfrac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\[4pt]{\dfrac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\[4pt]{\dfrac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}\right.$

Una forma invariante de parametrización de las ecuaciones de Lagrange-Charpit es: ^{[ 5 ]}

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.

Ecuaciones diferenciales parciales lineales y cuasilineales N-dimensionales

{\displaystyle yu_{x}-xu_{y}-e^{u}=0} — Ejemplo. La solución a la ecuación $yu_{x}-xu_{y}-e^{u}=0$ con condición de contorno $\{(x,y,u)=(s,\sin s,0):s\in \mathbb {R} \}$ se obtiene trazando todas las curvas características a través del conjunto de condiciones de contorno.

Consideremos ahora una EDP de la forma

\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).

Para que esta EDP sea lineal , los coeficientes a _i pueden ser funciones únicamente de las variables espaciales e independientes de u . Para que sea cuasilineal, ^{[ 6 ]} a _i también puede depender del valor de la función, pero no de ninguna derivada. La distinción entre estos dos casos no es esencial para la discusión que se presenta aquí.

Para una EDP lineal o cuasilineal, las curvas características se dan paramétricamente por

(x_{1},\dots ,x_{n},u)=(X_{1}(s),\dots ,X_{n}(s),U(s))

u(\mathbf {X} (s))=U(s)

para algunas funciones univariadas $s\mapsto (X_{i}(s))_{i},U(s)$ de una variable real $s$ que satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ) dan las características de la EDP.

Ecuación diferencial parcial totalmente no lineal

Consideremos la ecuación diferencial parcial

donde las variables p _i son una abreviatura de las derivadas parciales

p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.

Dejar $s\mapsto (x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s),p_{1}(s),\dots ,p_{n}(s))$ Sea u una curva en R ²ⁿ⁺¹ . Supongamos que u es cualquier solución y que

u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).

Las derivadas con respecto a $s$ de $x_{i},$ $u,$ y $p_{i}$ se escriben como ${\dot {x}}_{i},$ , ${\dot {u}},$ y ${\dot {p}}_{i},$ respectivamente. A lo largo de una solución, al diferenciar ( 6 ) con respecto a s se obtiene ^{[ 7 ].}

\sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0

{\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0

\sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.

La segunda ecuación se obtiene aplicando la regla de la cadena a una solución u , y la tercera se obtiene tomando una derivada exterior de la relación. $du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0$ Manipular estas ecuaciones da como resultado

$\left\{{\begin{aligned}{\dot {x}}_{i}&=\lambda F_{p_{i}},\\[5pt]{\dot {p}}_{i}&=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\\[5pt]{\dot {u}}&=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}\end{aligned}}\right.$

donde λ es una constante. Escribiendo estas ecuaciones de forma más simétrica, se obtienen las ecuaciones de Lagrange-Charpit para la característica

{\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.

Geométricamente, el método de las características en el caso totalmente no lineal puede interpretarse como un requisito de que el cono de Monge de la ecuación diferencial sea tangente en todos los puntos a la gráfica de la solución.

Ejemplo

Como ejemplo, consideremos la ecuación de advección (este ejemplo presupone familiaridad con la notación de ecuaciones diferenciales parciales y con las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias básicas).

a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0

dónde $a$ es constante y $u$ es una función de $x$ y $t$ Queremos transformar esta EDP lineal de primer orden en una EDO a lo largo de la curva apropiada; es decir, algo de la forma

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),

dónde $(x(s),t(s))$ es una línea característica. Primero, encontramos

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}

por la regla de la cadena. Ahora, si establecemos ${\frac {dx}{ds}}=a$ y ${\frac {dt}{ds}}=1$ obtenemos

a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}

que es el lado izquierdo de la EDP con la que comenzamos. Por lo tanto

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.

Así pues, a lo largo de la línea característica $(x(s),t(s))$ La ecuación diferencial parcial original se convierte en la ecuación diferencial ordinaria. $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ . Es decir, que a lo largo de las características, la solución es constante. Por lo tanto, $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ dónde $(x_{s},t_{s})\,$ y $(x_{0},0)$ se encuentran en la misma característica. Por lo tanto, para determinar la solución general, basta con hallar las características resolviendo el sistema característico de EDO:

${\frac {dt}{ds}}=1$ , dejando $t(0)=0$ lo sabemos $t=s$ ,
${\frac {dx}{ds}}=a$ , dejando $x(0)=x_{0}$ lo sabemos $x=as+x_{0}=at+x_{0}$ ,
${\frac {du}{ds}}=0$ , dejando $u(0)=f(x_{0})$ lo sabemos $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$ .

En este caso, las líneas características son líneas rectas con pendiente $a$ y el valor de $u$ permanece constante a lo largo de cualquier línea característica.

Características de los operadores diferenciales lineales

Sea X una variedad diferenciable y P un operador diferencial lineal.

P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)

de orden k . En un sistema de coordenadas local x ⁱ ,

P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}

donde α denota un multiíndice . El símbolo principal de P , denotado σ _P , es la función en el fibrado cotangente T ^∗X definida en estas coordenadas locales por

\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }

donde las ξ _i son las coordenadas de la fibra en el fibrado cotangente inducidas por los diferenciales de coordenadas dx ⁱ . Aunque esto se define usando un sistema de coordenadas particular, la ley de transformación que relaciona las ξ _i y las x ⁱ asegura que σ _P es una función bien definida en el fibrado cotangente.

La función σ _P es homogénea de grado k en la variable ξ . Los ceros de σ _P , fuera de la sección cero de T ^∗X , son las características de P. Una hipersuperficie de X definida por la ecuación F ( x ) = c se llama hipersuperficie característica en x si

\sigma _{P}(x,dF(x))=0.

Invariablemente, una hipersuperficie característica es una hipersuperficie cuyo fibrado conormal está en el conjunto característico de P.

Análisis cualitativo de las características

Las características también son una herramienta poderosa para obtener información cualitativa sobre un EDP.

Se pueden utilizar los cruces de las características para encontrar ondas de choque para el flujo potencial en un fluido compresible . Intuitivamente, podemos pensar que cada línea característica implica una solución a $u$ a lo largo de sí misma. Por lo tanto, cuando dos características se cruzan, la función se vuelve multivaluada, lo que resulta en una solución no física. Físicamente, esta contradicción se elimina mediante la formación de una onda de choque, una discontinuidad tangencial o una discontinuidad débil, lo que puede resultar en un flujo no potencial, violando las suposiciones iniciales. ^{[ 8 ]}

Es posible que las características no abarquen parte del dominio de la ecuación diferencial parcial. Esto se denomina rarefacción e indica que la solución suele existir solo en un sentido débil , es decir, en el sentido de una ecuación integral .

La dirección de las líneas características indica el flujo de valores a través de la solución, como lo demuestra el ejemplo anterior. Este tipo de conocimiento es útil al resolver ecuaciones diferenciales parciales numéricamente, ya que puede indicar qué esquema de diferencias finitas es el más adecuado para el problema.

Véase también

Método de las características cuánticas

Notas

^ Zachmanoglou y Thoe 1986 , págs .
↑ Pinchover y Rubinstein 2005 , págs. 25–28.
1 2 Juan 1991 , pág. 9.
↑ Zauderer 2006 , pág. 82.
↑ Demidov 1982 , págs .
↑ "Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)—Documentación del lenguaje Wolfram" .
↑ Juan 1991 , págs. 19–24.
↑ Debnath, Lokenath (2005), "Leyes de conservación y ondas de choque", Ecuaciones diferenciales parciales no lineales para científicos e ingenieros (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, págs. 251–276 , ISBN 0-8176-4323-0

Referencias

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Demidov, SS (1982). "El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en los siglos XVIII y XIX". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 26 (4). Springer Science and Business Media LLC: 325–350 . doi : 10.1007/bf00418753 . ISSN 0003-9519 .
Evans, Lawrence C. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991). Ecuaciones diferenciales parciales (4.ª ed.). Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90609-6.
Zauderer, Erich (2006). Ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas . Wiley. doi : 10.1002/9781118033302 . ISBN 978-0-471-69073-3.* Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , Londres: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511801228 . ISBN 978-0-511-80122-8.
Polyanin, AD (2002), Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott (2003), "El método de las características con aplicaciones a las leyes de conservación" , Journal of Online Mathematics and Its Applications
Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Mecánica de fluidos (9.ª edición internacional revisada), McGraw-Hill Higher Education
Zachmanoglou, EC; Thoe, Dale W. (1986). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con aplicaciones . Nueva York: Courier Corporation. ISBN 0-486-65251-3.

Enlaces externos

Tutorial del profesor Scott Sarra sobre el método de las características.
Tutorial del profesor Alan Hood sobre el método de las características.

[FOOTNOTEZachmanoglouThoe1986112–152-1] Zachmanoglou y Thoe 1986 , págs .

[FOOTNOTEPinchoverRubinstein200525–28-2] Pinchover y Rubinstein 2005 , págs. 25–28.

[FOOTNOTEJohn19919-3] 1 2 Juan 1991 , pág. 9.

[FOOTNOTEZauderer200682-4] Zauderer 2006 , pág. 82.

[FOOTNOTEDemidov1982331–333-5] Demidov 1982 , págs .

[quasilinear-6] "Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)—Documentación del lenguaje Wolfram" .

[FOOTNOTEJohn199119–24-7] Juan 1991 , págs. 19–24.

[8] Debnath, Lokenath (2005), "Leyes de conservación y ondas de choque", Ecuaciones diferenciales parciales no lineales para científicos e ingenieros (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, págs. 251–276 , ISBN 0-8176-4323-0

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