Flujo compresible

El flujo compresible (o dinámica de gases ) es la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de los flujos que presentan cambios significativos en la densidad del fluido . Si bien todos los flujos son compresibles , generalmente se consideran incompresibles cuando el número de Mach (la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad del sonido) es menor que 0,3 (ya que el cambio de densidad debido a la velocidad es de aproximadamente el 5 % en ese caso). ^{[ 1 ]} El estudio del flujo compresible es relevante para aeronaves de alta velocidad, motores a reacción, motores de cohetes, entrada a alta velocidad en una atmósfera planetaria, gasoductos, aplicaciones comerciales como el chorro abrasivo y muchos otros campos.

El estudio de la dinámica de gases se asocia a menudo con el vuelo de aeronaves modernas de alta velocidad y la reentrada atmosférica de vehículos de exploración espacial; sin embargo, sus orígenes se remontan a máquinas más simples. A principios del siglo XIX, la investigación sobre el comportamiento de las balas disparadas condujo a mejoras en la precisión y las capacidades de las armas de fuego y la artillería. ^{[ 2 ]} A medida que avanzaba el siglo, inventores como Gustaf de Laval impulsaron el campo, mientras que investigadores como Ernst Mach buscaron comprender los fenómenos físicos involucrados mediante la experimentación.

A principios del siglo XX, el enfoque de la investigación en dinámica de gases se desplazó hacia lo que eventualmente se convertiría en la industria aeroespacial. Ludwig Prandtl y sus estudiantes propusieron conceptos importantes que abarcan desde la capa límite hasta las ondas de choque supersónicas , los túneles de viento supersónicos y el diseño de toberas supersónicas. ^{[ 2 ]} Theodore von Kármán , estudiante de Prandtl, continuó mejorando la comprensión del flujo supersónico. Otras figuras notables ( Meyer , Luigi Crocco y Ascher Shapiro ) también contribuyeron significativamente a los principios considerados fundamentales para el estudio de la dinámica de gases moderna. Muchos otros también contribuyeron a este campo.

A principios del siglo XX, la mejora en la comprensión conceptual de la dinámica de gases vino acompañada de la idea errónea de que existía una barrera para la velocidad alcanzable de las aeronaves, comúnmente conocida como la " barrera del sonido ". En realidad, la barrera para el vuelo supersónico era simplemente tecnológica, aunque difícil de superar. Entre otros factores, los perfiles aerodinámicos convencionales experimentaban un aumento drástico en el coeficiente de resistencia cuando el flujo se aproximaba a la velocidad del sonido. Superar esta mayor resistencia resultó difícil con los diseños de la época, de ahí la percepción de la barrera del sonido. Sin embargo, el diseño de aeronaves progresó lo suficiente como para producir el Bell X-1 . Pilotado por Chuck Yeager , el X-1 alcanzó oficialmente la velocidad supersónica en octubre de 1947. ^{[ 3 ]}

Históricamente, se han seguido dos líneas de investigación paralelas para profundizar en el conocimiento de la dinámica de gases. La dinámica de gases experimental realiza experimentos con modelos en túneles de viento, tubos de choque y campos de tiro balísticos, utilizando técnicas ópticas para documentar los resultados. La dinámica de gases teórica considera las ecuaciones de movimiento aplicadas a un gas de densidad variable y sus soluciones. Gran parte de la dinámica de gases básica es analítica, pero en la actualidad, la dinámica de fluidos computacional aplica la capacidad de cálculo para resolver las ecuaciones diferenciales parciales no lineales, de otro modo intratables, del flujo compresible para geometrías y características de flujo específicas.

La teoría subyacente del flujo compresible se basa en varias suposiciones importantes. Si bien todos los fluidos están compuestos de moléculas, no es necesario rastrear un gran número de moléculas individuales en un flujo (por ejemplo, a presión atmosférica). En cambio, la suposición de continuidad nos permite considerar un gas en movimiento como una sustancia continua, excepto a bajas densidades. Esta suposición proporciona una gran simplificación que resulta precisa para la mayoría de los problemas de dinámica de gases. Solo en el ámbito de baja densidad de la dinámica de gases enrarecidos el movimiento de las moléculas individuales cobra importancia.

Una suposición relacionada es la condición de no deslizamiento, donde se presume que la velocidad del flujo en una superficie sólida es igual a la velocidad de la superficie misma, lo cual es una consecuencia directa de asumir un flujo continuo. La condición de no deslizamiento implica que el flujo es viscoso y, como resultado, se forma una capa límite en los cuerpos que se desplazan por el aire a altas velocidades, de forma similar a como ocurre en flujos de baja velocidad.

La mayoría de los problemas en flujo incompresible involucran solo dos incógnitas: presión y velocidad, que generalmente se obtienen resolviendo las dos ecuaciones que describen la conservación de la masa y del momento lineal, suponiendo que la densidad del fluido es constante. Sin embargo, en el flujo compresible, la densidad y la temperatura del gas también se convierten en variables. Esto requiere dos ecuaciones adicionales para resolver problemas de flujo compresible: una ecuación de estado para el gas y una ecuación de conservación de la energía . Para la mayoría de los problemas de dinámica de gases, la ley simple de los gases ideales es la ecuación de estado apropiada. De lo contrario, deben considerarse ecuaciones de estado más complejas, lo que da lugar a la denominada dinámica de fluidos compresibles no ideales (NICFD).

Los problemas de dinámica de fluidos tienen dos tipos generales de sistemas de referencia: el lagrangiano y el euleriano (véanse Joseph-Louis Lagrange y Leonhard Euler ). El enfoque lagrangiano sigue una masa de fluido de identidad fija mientras se mueve a través de un campo de flujo. El sistema de referencia euleriano, en cambio, no se mueve con el fluido. Es, en cambio, un sistema fijo o volumen de control a través del cual fluye el fluido. El sistema euleriano es el más útil en la mayoría de los problemas de flujo compresible, pero requiere que las ecuaciones de movimiento se escriban en un formato compatible.

Finalmente, aunque se sabe que el espacio tiene tres dimensiones, se puede lograr una simplificación importante al describir matemáticamente la dinámica de gases si solo una dimensión espacial es de importancia primordial; por lo tanto, se asume un flujo unidimensional. Esto funciona bien en flujos en conductos, toberas y difusores, donde las propiedades del flujo cambian principalmente en la dirección del flujo en lugar de perpendicularmente a este. Sin embargo, una clase importante de flujos compresibles, incluido el flujo externo sobre cuerpos que se mueven a alta velocidad, requiere al menos un tratamiento bidimensional. Cuando las tres dimensiones espaciales, y quizás también la dimensión temporal, son importantes, a menudo recurrimos a soluciones computarizadas de las ecuaciones que rigen el flujo.

El número de Mach (M) se define como la relación entre la velocidad de un objeto (o de un flujo) y la velocidad del sonido. Por ejemplo, en el aire a temperatura ambiente, la velocidad del sonido es de aproximadamente 343 m/s (1130 ft/s) . M puede variar de 0 a infinito, pero este amplio rango se corresponde naturalmente con varios regímenes de flujo. Estos regímenes son subsónico, transónico , supersónico , hipersónico e hipervelocidad . La siguiente figura ilustra el espectro del número de Mach en estos regímenes de flujo.  

Estos regímenes de flujo no se eligen arbitrariamente, sino que surgen naturalmente del sólido fundamento matemático que sustenta el flujo compresible (véanse los libros de texto de referencia citados). A velocidades de flujo muy bajas, la velocidad del sonido es tan superior que se ignora matemáticamente, y el número de Mach resulta irrelevante. Sin embargo, una vez que la velocidad del flujo se aproxima a la del sonido, el número de Mach se vuelve crucial y comienzan a aparecer ondas de choque. Por lo tanto, el régimen transónico se describe mediante un tratamiento matemático diferente (y mucho más complejo). En el régimen supersónico, el flujo está dominado por el movimiento ondulatorio en ángulos oblicuos similares al ángulo de Mach. Por encima de Mach 5, estos ángulos de onda se vuelven tan pequeños que se requiere un enfoque matemático diferente, que define el régimen de velocidad hipersónica . Finalmente, a velocidades comparables a la de la entrada atmosférica planetaria desde la órbita, en el rango de varios km/s, la velocidad del sonido es ahora comparativamente tan baja que, una vez más, se ignora matemáticamente en el régimen de hipervelocidad .

Cuando un objeto acelera de velocidad subsónica a supersónica en un gas, se producen diferentes tipos de fenómenos ondulatorios. Para ilustrar estos cambios, la siguiente figura muestra un punto estacionario (M = 0) que emite ondas sonoras simétricas. La velocidad del sonido es la misma en todas las direcciones en un fluido uniforme, por lo que estas ondas son simplemente esferas concéntricas. A medida que el punto generador de sonido comienza a acelerar, las ondas sonoras se "agrupan" en la dirección del movimiento y se "extienden" en la dirección opuesta. Cuando el punto alcanza la velocidad sónica (M = 1), viaja a la misma velocidad que las ondas sonoras que crea. Por lo tanto, un número infinito de estas ondas sonoras se "acumulan" delante del punto, formando una onda de choque . Al alcanzar el flujo supersónico, la partícula se mueve tan rápido que deja continuamente sus ondas sonoras atrás. Cuando esto ocurre, el lugar geométrico de estas ondas que siguen al punto crea un ángulo conocido como ángulo de Mach o ángulo de Mach, μ:

${\displaystyle \mu =\arcsin \left({\frac {a}{V}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)}$

dónde${\displaystyle a}$representa la velocidad del sonido en el gas y${\displaystyle V}$representa la velocidad del objeto. Aunque reciben su nombre del físico austriaco Ernst Mach , estas ondas oblicuas fueron descubiertas por primera vez por Christian Doppler . ^{[ 4 ]}

El flujo unidimensional (1D) se refiere al flujo de gas a través de un conducto o canal en el que se supone que los parámetros del flujo cambian significativamente a lo largo de una sola dimensión espacial, a saber, la longitud del conducto. Al analizar el flujo en un canal 1D, se hacen varias suposiciones:

• La relación entre la longitud y el ancho del conducto (L/D) es ≤ aproximadamente 5 (para despreciar la fricción y la transferencia de calor ),
• Flujo constante frente a flujo no constante ,
• El flujo es isoentrópico (es decir, un proceso adiabático reversible),
• Ley de los gases ideales (es decir, P = ρRT)

Boquillas Laval convergentes-divergentes

A medida que la velocidad de un flujo se acelera desde el régimen subsónico al supersónico, la física de los flujos en boquillas y difusores se ve alterada. Utilizando las leyes de conservación de la dinámica de fluidos y la termodinámica, se desarrolla la siguiente relación para el flujo en canales (conservación combinada de masa y momento):

${\displaystyle dP\left(1-M^{2}\right)=\rho V^{2}\left({\frac {dA}{A}}\right)}$,

donde dP es el cambio diferencial de presión, M es el número de Mach, ρ es la densidad del gas, V es la velocidad del flujo, A es el área del conducto y dA es el cambio en el área del conducto. Esta ecuación establece que, para flujo subsónico, un conducto convergente (dA < 0) aumenta la velocidad del flujo y un conducto divergente (dA > 0) la disminuye. Para flujo supersónico, ocurre lo contrario debido al cambio de signo de (1 − M ² ). Un conducto convergente (dA < 0) ahora disminuye la velocidad del flujo y un conducto divergente (dA > 0) la aumenta. En Mach = 1, se presenta un caso especial en el que el área del conducto debe ser máxima o mínima. Para fines prácticos, solo un área mínima puede acelerar flujos a Mach 1 y más allá. Véase la tabla de difusores y toberas subsupersónicos.

Por lo tanto, para acelerar un flujo a Mach 1, se debe diseñar una tobera que converja hasta un área transversal mínima y luego se expanda. Este tipo de tobera —la tobera convergente-divergente— se denomina tobera de Laval en honor a Gustaf de Laval , su inventor. A medida que el flujo subsónico entra en el conducto convergente y el área disminuye, el flujo se acelera. Al alcanzar el área mínima del conducto, también conocida como garganta de la tobera, el flujo puede alcanzar Mach 1. Si la velocidad del flujo ha de seguir aumentando, su densidad debe disminuir para cumplir con la conservación de la masa. Para lograr esta disminución de la densidad, el flujo debe expandirse, y para ello, debe pasar a través de un conducto divergente. Véase la imagen de la tobera de Laval.

Relaciones del número de Mach de flujo isentrópico

Utilizando las leyes de conservación y la termodinámica, se obtienen varias relaciones de la forma

${\displaystyle {\frac {{\text{propiedad}}_{1}}{{\text{propiedad}}_{2}}}=f(M,\gamma )}$

se puede obtener, donde M es el número de Mach y γ es la relación de calores específicos (1,4 para el aire). Véase la tabla de relaciones del número de Mach para flujo isoentrópico.

Flujo de gas en un canal unidimensional no isentrópico: ondas de choque normales

Las ondas de choque normales son ondas de choque perpendiculares a la dirección del flujo local. Estas ondas se producen cuando las ondas de presión se acumulan y coalescen en una onda de choque extremadamente delgada que convierte la energía cinética en energía térmica . De esta forma, las ondas se superan y se refuerzan mutuamente, formando una onda de choque finita a partir de una serie infinita de ondas sonoras infinitesimales. Debido a que el cambio de estado a través de la onda de choque es altamente irreversible, la entropía aumenta a través de ella. Al analizar una onda de choque normal, se asume un flujo unidimensional, estacionario y adiabático de un gas ideal. La temperatura de estancamiento y la entalpía de estancamiento son las mismas aguas arriba y aguas abajo de la onda de choque.

Las ondas de choque normales pueden analizarse fácilmente en cualquiera de los dos sistemas de referencia: el choque normal estacionario y el choque en movimiento. El flujo antes de una onda de choque normal debe ser supersónico, y el flujo después de una onda de choque normal debe ser subsónico. Las ecuaciones de Rankine-Hugoniot se utilizan para determinar las condiciones del flujo.

Aunque el flujo unidimensional puede analizarse directamente, no es más que un caso especializado del flujo bidimensional. Por consiguiente, uno de los fenómenos que definen el flujo unidimensional, la onda de choque normal, es también un caso particular de una clase más amplia de ondas de choque oblicuas . Además, el término "normal" se refiere a la geometría, no a la frecuencia de aparición. Las ondas de choque oblicuas son mucho más comunes en aplicaciones como el diseño de tomas de aire de aeronaves, objetos en vuelo supersónico y (a un nivel más fundamental) toberas y difusores supersónicos. Dependiendo de las condiciones del flujo, una onda de choque oblicua puede estar unida al flujo o separada de él en forma de onda de choque frontal .

Ondas de choque oblicuas

Las ondas de choque oblicuas son similares a las ondas de choque normales, pero se producen en ángulos menores de 90° con respecto a la dirección del flujo. Cuando se introduce una perturbación en el flujo con un ángulo distinto de cero (δ), el flujo debe responder a las condiciones de contorno cambiantes. De esta forma, se forma una onda de choque oblicua, lo que provoca un cambio en la dirección del flujo.

Diagrama polar de choque

Según el nivel de desviación del flujo (δ), las ondas de choque oblicuas se clasifican como fuertes o débiles. Las ondas de choque fuertes se caracterizan por una mayor desviación y una mayor pérdida de entropía a través de la onda de choque, mientras que las ondas de choque débiles presentan el comportamiento opuesto. Para comprender mejor las diferencias entre estas ondas de choque, se puede utilizar un diagrama polar de choque. Conociendo la temperatura estática después de la onda de choque, T*, la velocidad del sonido después de la onda de choque se define como:

${\displaystyle A^{*}={\sqrt {\gamma RT^{*}}}}$

donde R es la constante de los gases y γ es la relación de calores específicos. El número de Mach se puede expresar en coordenadas cartesianas.

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2x}^{*}&={\frac {V_{x}}{a^{*}}}\\M_{2y}^{*}&={\frac {V_{y}}{a^{*}}}\end{aligned}}}$

donde V _x y V _y son las componentes x e y de la velocidad del fluido V. Conociendo el número de Mach antes del choque, se puede especificar un conjunto de condiciones. Para un δ _max determinado, el flujo pasa de un choque oblicuo fuerte a uno débil. Con δ = 0°, se produce un choque normal en el límite del choque oblicuo fuerte y la onda de Mach se produce en el límite de la onda de choque débil.

Reflexión de choque oblicua

Debido a la inclinación de la onda de choque, una vez que se genera una onda de choque oblicua, esta puede interactuar con un límite de tres maneras diferentes, dos de las cuales se explican a continuación.

Límite sólido

El flujo incidente se desvía inicialmente un ángulo δ con respecto al flujo principal. Esta onda de choque se refleja en el límite sólido, y el flujo se desvía –δ para volver a ser paralelo al límite. Cada onda de choque progresiva es más débil y su ángulo aumenta.

Reflexión irregular

Una reflexión irregular es muy similar al caso descrito anteriormente, con la salvedad de que δ es mayor que el ángulo de giro máximo permitido. Por lo tanto, se forma una onda de choque desprendida y se produce una reflexión más compleja conocida como reflexión de Mach.

Fans de Prandtl-Meyer

Los abanicos de Prandtl-Meyer pueden describirse como abanicos de compresión y de expansión. Estos abanicos también atraviesan una capa límite (es decir, entre una superficie fluida y una sólida), la cual reacciona de manera diferente. Cuando una onda de choque impacta una superficie sólida, el abanico resultante regresa como un abanico de la familia opuesta, mientras que cuando impacta una superficie libre, el abanico regresa como un abanico del tipo opuesto.

Aficionados a la expansión de Prandtl-Meyer

Hasta el momento, los únicos fenómenos de flujo que se han analizado son las ondas de choque, que ralentizan el flujo y aumentan su entropía. Es posible acelerar el flujo supersónico en lo que se ha denominado un abanico de expansión de Prandtl-Meyer , en honor a Ludwig Prandtl y Theodore Meyer. El mecanismo de expansión se muestra en la figura siguiente.

A diferencia de un flujo que encuentra una obstrucción inclinada y forma una onda de choque oblicua, en este caso el flujo se expande alrededor de una esquina convexa y forma un abanico de expansión mediante una serie de ondas de Mach isoentrópicas. El abanico de expansión está compuesto por ondas de Mach que abarcan desde el ángulo de Mach inicial hasta el ángulo de Mach final. El flujo puede expandirse por igual alrededor de una esquina afilada o redondeada, ya que el aumento del número de Mach es proporcional únicamente al ángulo de convexidad del paso (δ). La esquina de expansión que produce el abanico de Prandtl-Meyer puede ser afilada (como se ilustra en la figura) o redondeada. Si el ángulo de giro total es el mismo, la solución del flujo de Prandtl-Meyer también lo es.

La expansión de Prandtl-Meyer puede considerarse la explicación física del funcionamiento de la tobera de Laval. El contorno de la tobera genera una serie continua y uniforme de ondas de expansión de Prandtl-Meyer.

Ventiladores de compresión Prandtl-Meyer

La compresión de Prandtl-Meyer es el fenómeno opuesto a la expansión de Prandtl-Meyer. Si el flujo se desvía gradualmente un ángulo δ, se puede formar un abanico de compresión. Este abanico consiste en una serie de ondas de Mach que finalmente se fusionan en una onda de choque oblicua. Debido a que el flujo está definido por una región isoentrópica (flujo que se desplaza a través del abanico) y una región anisentrópica (flujo que se desplaza a través de la onda de choque oblicua), se genera una línea de deslizamiento entre ambas regiones de flujo.

• Flujo incompresible
• leyes de conservación
• Entropía
• Ecuación de estado
• Cinética de los gases
• relación de capacidad calorífica
• flujo isentrópico en boquilla
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo
• función de Prandtl-Meyer
• Termodinámica, especialmente "Procesos termodinámicos comúnmente considerados" y "Leyes de la termodinámica".
• Dinámica de fluidos compresibles no ideales

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. (1957) [1957]. Elementos de dinámica de gases . Dover Publications . ISBN 0-486-41963-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
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• Guía para principiantes de la NASA sobre aerodinámica compresible
• Calculadoras de flujo compresible de Virginia Tech