Adimensionalización

Considere la relación $${\displaystyle t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.}$$

Los operadores diferenciales adimensionales con respecto a la variable independiente se convierten en: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

Si un sistema tiene una función de forzamiento${\displaystyle f(t)}$entonces $${\displaystyle f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

Por lo tanto, la nueva función de forzamiento${\displaystyle F}$está hecho para depender de la cantidad adimensional${\displaystyle \tau }$.

Sustituye las variables x y t por sus cantidades escaladas. La ecuación queda

$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).}$$

Esta nueva ecuación no es adimensional, aunque todas las variables con unidades están aisladas en los coeficientes. Dividiendo por el coeficiente del término de mayor orden, la ecuación se convierte en:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$

Ahora es necesario determinar las cantidades de x _c ​​y t _c para que los coeficientes se normalicen. Dado que hay dos parámetros libres, como máximo solo dos coeficientes pueden ser iguales a la unidad.

Consideremos la variable t _c :

1. Si${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}}$El término de primer orden está normalizado.
2. Si${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$El término de orden cero está normalizado.

Ambas sustituciones son válidas. Sin embargo, por razones pedagógicas, se utiliza la segunda sustitución para sistemas de segundo orden. Al elegir esta sustitución, se puede determinar x _c normalizando el coeficiente de la función de forzamiento: $${\displaystyle 1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.}$$

La ecuación diferencial se convierte en $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

El coeficiente del término de primer orden no tiene unidades. Definir $${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

El factor 2 está presente para que las soluciones puedan parametrizarse en términos de ζ . En el contexto de sistemas mecánicos o eléctricos, ζ se conoce como coeficiente de amortiguación y es un parámetro importante requerido en el análisis de sistemas de control . 2 ζ también se conoce como ancho de línea del sistema. El resultado de la definición es la ecuación del oscilador universal . $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Supongamos que tenemos una masa unida a un resorte y un amortiguador, que a su vez están unidos a una pared, y una fuerza que actúa sobre la masa a lo largo de la misma línea. Defina

• ${\displaystyle x}$= desplazamiento desde el equilibrio [m]
• ${\displaystyle t}$= tiempo [s]
• ${\displaystyle f}$= fuerza externa o "perturbación" aplicada al sistema [kg⋅m⋅s ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= masa del bloque [kg]
• ${\displaystyle B}$= constante de amortiguación del amortiguador [kg⋅s ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= constante elástica del resorte [kg⋅s ⁻² ]

Supongamos que la fuerza aplicada es una sinusoide F = F ₀ cos( ωt ) , la ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque es $${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

Al adimensionalizar esta ecuación de la misma manera que se describe en el §  Sistema de segundo orden, se obtienen varias características del sistema:

• La unidad intrínseca x _c corresponde a la distancia que se mueve el bloque por unidad de fuerza.

$${\displaystyle x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

• La variable característica t _c es igual al período de las oscilaciones.

$${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

• La variable adimensional 2 ζ corresponde al ancho de línea del sistema.

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

• ζ en sí mismo es el coeficiente de amortiguación.

La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional independiente del tiempo es $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

El módulo al cuadrado de la función de onda | ψ ( x )| ² representa la densidad de probabilidad que, al integrarse sobre x , da una probabilidad adimensional. Por lo tanto, | ψ ( x )| ² tiene unidades de longitud inversa. Para adimensionalizarla, debe reescribirse como una función de una variable adimensional. Para ello, sustituimos $${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$ donde x _c ​​es alguna longitud característica de este sistema. Esto nos da una función de onda adimensional.${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$definido por medio de $${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x({\tilde {x}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

La ecuación diferencial se convierte entonces en: $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Para hacer el término delante de${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$sin dimensiones, conjunto $${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

La ecuación totalmente adimensionalizada es $${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$ donde hemos definido $${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$ El factor que se encuentra delante de${\displaystyle {\tilde {E}}}$es, de hecho (casualmente), la energía del estado fundamental del oscilador armónico. Normalmente, el término de energía no se adimensionaliza, ya que nos interesa determinar las energías de los estados cuánticos . Reordenando la primera ecuación, la ecuación familiar para el oscilador armónico se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$