Sistema por unidad

En el campo del análisis de sistemas de potencia de la ingeniería eléctrica , un sistema por unidad expresa las magnitudes del sistema como fracciones de una magnitud base definida. Los cálculos se simplifican porque las magnitudes expresadas en unidades no cambian al referirse de un lado a otro de un transformador. Esto puede ser una ventaja significativa en el análisis de sistemas de potencia donde se pueden encontrar numerosos transformadores. Además, los aparatos similares tendrán impedancias dentro de un rango numérico estrecho cuando se expresan como una fracción por unidad de la potencia nominal del equipo, incluso si el tamaño de la unidad varía ampliamente. La conversión de magnitudes por unidad a voltios, ohmios o amperios requiere conocer la unidad base a la que se referían dichas magnitudes. El sistema por unidad se utiliza en el flujo de potencia , la evaluación de cortocircuitos , los estudios de arranque de motores , etc.

La idea principal de un sistema por unidad es integrar las grandes diferencias en valores absolutos en relaciones básicas. De este modo, las representaciones de los elementos del sistema con valores por unidad se vuelven más uniformes.

Un sistema por unidad proporciona unidades para potencia , voltaje , corriente , impedancia y admitancia . Con excepción de la impedancia y la admitancia, cualquier par de unidades es independiente y puede seleccionarse como valores base; normalmente se eligen la potencia y el voltaje. Todas las magnitudes se especifican como múltiplos de los valores base seleccionados. Por ejemplo, la potencia base podría ser la potencia nominal de un transformador , o quizás una potencia seleccionada arbitrariamente que facilite la medición de las magnitudes de potencia en el sistema. El voltaje base podría ser el voltaje nominal de un bus . Los diferentes tipos de magnitudes se etiquetan con el mismo símbolo ( pu ); debe quedar claro si la magnitud es un voltaje, una corriente u otra unidad de medida.

Objetivo

Existen varias razones para utilizar un sistema por unidad:

Los aparatos similares (generadores, transformadores, líneas) tendrán impedancias y pérdidas por unidad similares, expresadas en función de su capacidad nominal, independientemente de su tamaño absoluto. Por ello, los datos por unidad pueden comprobarse rápidamente para detectar errores importantes. Un valor por unidad fuera del rango normal justifica una investigación para detectar posibles errores.
Los fabricantes suelen especificar la impedancia de los aparatos en valores por unidad.
Uso de la constante $\textstyle {\sqrt {3}}$ se reduce en los cálculos trifásicos.
Las cantidades por unidad son las mismas a ambos lados de un transformador, independientemente del nivel de voltaje.
Al normalizar las cantidades a una base común, se simplifican tanto los cálculos manuales como los automáticos.
Mejora la estabilidad numérica de los métodos de cálculo automático.
La representación de datos por unidad proporciona información importante sobre las magnitudes relativas.

El sistema por unidad se desarrolló para facilitar el análisis manual de los sistemas eléctricos. Si bien actualmente el análisis de sistemas eléctricos se realiza mediante computadora, los resultados suelen expresarse como valores por unidad sobre una base conveniente para todo el sistema.

Cantidades base

Generalmente se eligen valores base de potencia y voltaje. La potencia base puede ser la potencia nominal de un solo aparato, como un motor o un generador. Si se estudia un sistema, la potencia base suele elegirse como un número redondo conveniente , como 10 MVA o 100 MVA. El voltaje base se elige como el voltaje nominal del sistema. Todas las demás magnitudes base se derivan de estas dos. Una vez elegidas la potencia y el voltaje base, la corriente y la impedancia base se determinan mediante las leyes naturales de los circuitos eléctricos. El valor base debe ser solo una magnitud, mientras que el valor por unidad es un fasor. Los ángulos de fase de la potencia, el voltaje, la corriente, la impedancia, etc., complejos no se ven afectados por la conversión a valores por unidad.

El objetivo de utilizar un sistema por unidad es simplificar la conversión entre diferentes transformadores. Por lo tanto, es conveniente ilustrar los pasos para hallar los valores por unidad de voltaje e impedancia. Primero, supongamos que la potencia base ( S _base ) de cada extremo de un transformador es la misma. Una vez que S base se establece en la misma base, el voltaje base y la impedancia base de cada transformador se pueden obtener fácilmente. Luego, los valores reales de impedancia y voltaje se pueden sustituir en la definición de cálculo por unidad para obtener las respuestas del sistema por unidad. Si se conocen los valores por unidad, los valores reales se pueden obtener multiplicándolos por los valores base.

Por convención, se adoptan las dos reglas siguientes para las cantidades básicas:

El valor de potencia base es el mismo para todo el sistema eléctrico en cuestión.
La relación entre las bases de tensión a ambos lados de un transformador se selecciona de modo que sea igual a la relación entre las tensiones nominales del transformador.

Con estas dos reglas, la impedancia por unidad permanece invariable al medirse de un lado a otro del transformador. Esto permite eliminar el transformador ideal del modelo.

Relación entre unidades

La relación entre las unidades en un sistema por unidad depende de si el sistema es monofásico o trifásico .

Monofásico

Suponiendo que los valores base independientes son la potencia y el voltaje, tenemos:

P_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

V_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

Alternativamente, el valor base de la potencia puede darse en términos de potencia reactiva o aparente , en cuyo caso tenemos, respectivamente,

Q_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

o

S_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

El resto de las unidades se pueden derivar de la potencia y el voltaje utilizando las ecuaciones. $S=IV$ , $P=S\cos(\phi )$ , $Q=S\sin(\phi )$ y ${\underline {V}}={\underline {I}}{\underline {Z}}$ ( Ley de Ohm ), $Z$ estar representado por ${\underline {Z}}=R+jX=Z\cos(\phi )+jZ\sin(\phi )$ . Tenemos:

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{I_{\text{base}}V_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Trifásico

La potencia y la tensión se especifican de la misma manera que en los sistemas monofásicos. Sin embargo, debido a las diferencias en lo que estos términos suelen representar en los sistemas trifásicos, las relaciones para las unidades derivadas son diferentes. Específicamente, la potencia se da como potencia total (no por fase) y la tensión es tensión entre líneas. En los sistemas trifásicos, las ecuaciones $P=S\cos(\phi )$ y $Q=S\sin(\phi )$ también sostienen. El poder aparente $S$ ahora es igual a $S_{\text{base}}={\sqrt {3}}V_{\text{base}}I_{\text{base}}$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Ejemplo de por unidad

Como ejemplo de cómo se utiliza el valor por unidad, consideremos un sistema de transmisión de energía trifásico que maneja potencias del orden de 500 MW y utiliza una tensión nominal de 138 kV para la transmisión. Seleccionamos arbitrariamente $S_{\mathrm {base} }=500\,\mathrm {MVA}$ y utilice la tensión nominal de 138 kV como tensión base. $V_{\mathrm {base} }$ Entonces tenemos:

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=2.09\,\mathrm {kA}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=38.1\,\Omega

Y_{\mathrm {base} }={\frac {1}{Z_{\mathrm {base} }}}=26.3\,\mathrm {mS}

Si, por ejemplo, la tensión real medida en uno de los buses es de 136 kV, tenemos:

V_{\mathrm {pu} }={\frac {V}{V_{\mathrm {base} }}}={\frac {136\,\mathrm {kV} }{138\,\mathrm {kV} }}=0.9855\,\mathrm {pu}

Fórmulas del sistema por unidad

La siguiente tabla de fórmulas del sistema por unidad está adaptada del Manual de Sistemas de Energía Industrial de Beeman .

En transformadores

Se puede demostrar que los voltajes, las corrientes y las impedancias en un sistema por unidad tendrán los mismos valores, ya sea que se refieran al primario o al secundario de un transformador . ^{[ 1 ]}^{: 85}

Por ejemplo, en cuanto al voltaje, podemos demostrar que los voltajes por unidad de los dos lados del transformador, lado 1 y lado 2, son iguales. En este caso, los voltajes por unidad de los dos lados son E _1pu y E _2pu, respectivamente.

{\begin{aligned}E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{base2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(Fuente: Conferencias sobre sistemas de energía de Alexandra von Meier, UC Berkeley)

E ₁ y E ₂ son los voltajes de los lados 1 y 2 en voltios. N ₁ es el número de espiras de la bobina del lado 1. N ₂ es el número de espiras de la bobina del lado 2. V _base1 y V _base2 son los voltajes de base de los lados 1 y 2.

V_{\text{base1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}

En cuanto a la corriente, podemos demostrar que las corrientes por unidad de ambos lados son las mismas, como se muestra a continuación.

{\begin{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(Fuente: Conferencias sobre sistemas de energía de Alexandra von Meier, UC Berkeley)

donde I _1,pu e I _2,pu son las corrientes por unidad de los lados 1 y 2 respectivamente. En esto, las corrientes de base I _base1 e I _base2 están relacionadas de manera opuesta a como se relacionan V _base1 y V _base2 , en que

{\begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}&=S_{\text{base2}}\\V_{\text{base2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}

La razón de esta relación es la conservación de la energía.

S _base1 = S _base2

La pérdida de cobre a plena carga de un transformador, expresada en unidades por unidad, es igual al valor por unidad de su resistencia:

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{full-load copper loss}}\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{base}}}}\\&={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\end{aligned}}$

Por lo tanto, puede ser más útil expresar la resistencia en forma por unidad, ya que también representa la pérdida de cobre a plena carga. ^{[ 1 ]}^{: 86}

Como se indicó anteriormente, existen dos grados de libertad dentro del sistema por unidad que permiten al ingeniero especificar cualquier sistema por unidad. Los grados de libertad son la elección de la tensión base ( V _base ) y la potencia base ( S _base ). Por convención, se elige una única potencia base ( S _base ) para ambos lados del transformador, cuyo valor es igual a la potencia nominal del transformador. Por convención, en realidad se eligen dos tensiones base diferentes, V _base1 y V _base2, que son iguales a las tensiones nominales para cada lado del transformador. Al elegir las cantidades base de esta manera, el transformador puede eliminarse efectivamente del circuito como se describió anteriormente. Por ejemplo:

Consideremos un transformador con una potencia nominal de 10 kVA y una tensión de 240/100 V. El lado secundario tiene una impedancia igual a 1∠0° Ω. La impedancia de base en el lado secundario es igual a:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{\text{base,2}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Esto significa que la impedancia por unidad en el lado secundario es 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu. Cuando esta impedancia se refiere al otro lado, la impedancia se convierte en:

${\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right)^{2}\times {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}$

La impedancia base para el lado primario se calcula de la misma manera que para el secundario:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{\text{base,1}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Esto significa que la impedancia por unidad es 5,76∠0° Ω / 5,76 Ω = 1∠0° pu, que es la misma que cuando se calcula desde el otro lado del transformador, como cabría esperar.

Otra herramienta útil para analizar transformadores es la fórmula de cambio de base, que permite al ingeniero pasar de una impedancia base con un conjunto de tensión y potencia base a otra impedancia base con un conjunto diferente de tensión y potencia base. Esto resulta especialmente útil en aplicaciones prácticas, donde un transformador con una tensión en el lado secundario de 1,2 kV podría conectarse al lado primario de otro transformador cuya tensión nominal es de 1 kV. La fórmula se muestra a continuación.

${\begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{base,new}}}}=Z_{\text{pu,old}}\times \left({\frac {V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}}\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned}}$

Referencias

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