Centro (teoría de grupos)

En álgebra abstracta , el centro de un grupo G es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de G. Se denota Z( G ) , del alemán Zentrum , que significa centro . En notación de construcción de conjuntos ,

Z( G ) = { z ∈ G | ∀ g ∈ G , zg = gz } .

El centro es un subgrupo normal ,${\displaystyle Z(G)\triangleleft G}$y también un subgrupo característico , pero no necesariamente completamente característico . El grupo cociente , G / Z( G ) , es isomorfo al grupo de automorfismos internos , Inn( G ) .

Un grupo G es abeliano si y solo si Z( G ) = G . En el otro extremo, se dice que un grupo no tiene centro si Z( G ) es trivial ; es decir, consta solo del elemento identidad .

Los elementos del centro son elementos centrales .

El centro de G es siempre un subgrupo de G. En particular:

1. Z( G ) contiene el elemento identidad de G , porque conmuta con cada elemento de g , por definición: eg = g = ge , donde e es la identidad;
2. Si x e y están en Z( G ) , entonces también lo está xy , por asociatividad: ( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) para cada g ∈ G ; es decir, Z( G ) es cerrado;
3. Si x está en Z( G ) , entonces también lo está x ⁻¹ ya que, para todo g en G , x ⁻¹ conmuta con g : ( gx = xg ) ⇒ ( x ⁻¹ gxx ⁻¹ = x ⁻¹ xgx ⁻¹ ) ⇒ ​​( x ⁻¹ g = gx ⁻¹ ) .

Además, el centro de G es siempre un subgrupo abeliano y normal de G. Dado que todos los elementos de Z( G ) conmutan, es cerrado bajo conjugación .

Un homomorfismo de grupo f  : G → H podría no restringirse a un homomorfismo entre sus centros. Los elementos de la imagen f ( g ) conmutan con la imagen f ( G ) , pero no necesariamente conmutan con todo H a menos que f sea sobreyectiva. Por lo tanto, el mapeo del centro${\displaystyle G\to Z(G)}$no es un functor entre las categorías Grp y Ab, ya que no induce un mapa de flechas.

Por definición, un elemento es central siempre que su clase de conjugación contenga solo el elemento mismo; es decir, Cl( g ) = { g } .

El centro es la intersección de todos los centralizadores de elementos de G :

${\displaystyle Z(G)=\bigcap _ {g\in G}Z_{G}(g).}$

Dado que los centralizadores son subgrupos, esto demuestra una vez más que el centro es un subgrupo.

Consideremos la aplicación f  : G → Aut( G ) , de G al grupo de automorfismos de G definido por f ( g ) = ϕ _g , donde ϕ _g es el automorfismo de G definido por

f ( g )( h ) = ϕ _g ( h ) = ghg ^​​−1 .

La función f es un homomorfismo de grupo , y su núcleo es precisamente el centro de G , y su imagen se llama grupo de automorfismos internos de G , denotado Inn( G ) . Por el primer teorema de isomorfismo obtenemos:

G /Z( G ) ≃ Inn( G ) .

El conúcleo de este mapa es el grupo Out( G ) de automorfismos externos , y estos forman la secuencia exacta.

1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 .

• El centro de un grupo abeliano , G , es todo G.
• El centro del grupo de Heisenberg , H , es el conjunto de matrices de la forma:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$
• El centro de un grupo simple no abeliano es trivial.
• El centro del grupo diedral , D _n , es trivial para n impar ≥ 3. Para n par ≥ 4 , el centro consiste en el elemento identidad junto con la rotación de 180° del polígono .
• El centro del grupo de cuaterniones , Q ₈ = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , es {1, −1} .
• El centro del grupo simétrico , S _n , es trivial para n ≥ 3 .
• El centro del grupo alternante , A _n , es trivial para n ≥ 4 .
• El centro del grupo lineal general sobre un cuerpo F , GL _n (F) , es la colección de matrices escalares , { sI _n ∣ s ∈ F \ {0} } .
• El centro del grupo ortogonal , O _n (F) es {I _n , −I _n } .
• El centro del grupo ortogonal especial , SO( n ) es todo el grupo cuando n = 2 , y en caso contrario {I _n , −I _n } cuando n es par, y trivial cuando n es impar.
• El centro del grupo unitario ,${\displaystyle U(n)}$es${\displaystyle \left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}}$.
• El centro del grupo unitario especial ,${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$es${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$.
• El centro del grupo multiplicativo de cuaterniones no nulos es el grupo multiplicativo de números reales no nulos .
• Utilizando la ecuación de clase , se puede demostrar que el centro de cualquier p-grupo finito no trivial no es trivial.
• Si el grupo cociente G /Z( G ) es cíclico , G es abeliano (y por lo tanto G = Z( G ) , así que G /Z( G ) es trivial).
• El centro del grupo del Cubo de Rubik consta de dos elementos: la identidad (es decir, el estado resuelto) y el superflip . El centro del grupo del Cubo de Bolsillo es trivial.
• El centro del grupo Megaminx tiene orden 2, y el centro del grupo Kilominx es trivial.

Al tomar el cociente por el centro de un grupo, se obtiene una secuencia de grupos denominada serie central superior :

( G ₀ = G ) ⟶ ( G ₁ = G ₀ /Z( G ₀ )) ⟶ ( G ₂ = G ₁ /Z( G ₁ )) ⟶ ⋯

El núcleo de la aplicación G → G _i es el i -ésimo centro ^{[ 1 ]} de G ( segundo centro , tercer centro , etc.), denotado Z ⁱ ( G ) . ^{[ 2 ]} Concretamente, el ( i +1 )-ésimo centro comprende los elementos que conmutan con todos los elementos hasta un elemento del i- ésimo centro. Siguiendo esta definición, se puede definir el 0-ésimo centro de un grupo como el subgrupo identidad. Esto se puede extender a ordinales transfinitos por inducción transfinita ; la unión de todos los centros superiores se llama hipercentro . ^{[ nota 1 ]}

La cadena ascendente de subgrupos

1 ≤ Z( G ) ≤ Z ² ( G ) ≤ ⋯

se estabiliza en i (equivalentemente, Z ⁱ ( G ) = Z ⁱ⁺¹ ( G ) ) si y solo si G _i no tiene centro.

• Centro (álgebra)
• Centro (teoría del anillo)
• Centralizador y normalizador
• Clase de conjugación

• Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7  ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

• "Centro de un grupo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]