vórtice central

Los vórtices centrales son defectos topológicos lineales que existen en el vacío de la teoría de Yang-Mills y la cromodinámica cuántica (QCD) . Existen evidencias en simulaciones de red de que desempeñan un papel importante en el confinamiento de los quarks .

Los vórtices centrales portan una carga de calibre bajo los elementos centrales de la cubierta universal del grupo de calibre G. De forma equivalente, su carga topológica es un elemento del grupo fundamental de esta cubierta universal cociente por su centro.

En un espacio bidimensional M, un vórtice central en un punto x puede construirse de la siguiente manera: se parte de un fibrado trivial G sobre M. Se traza un círculo que une x . Se vuelve a unir el espacio total con una función de transición que mapea el círculo resultante a una representación de G. El nuevo espacio total es el fibrado gauge de un vórtice central.

Ahora se construye el vórtice en x . Su carga topológica se puede calcular de la siguiente manera. Al elevar este mapa a la cubierta universal de G , cada vez que se circunnavega el círculo, la función de transición se desplaza un elemento en el centro de la cubierta universal. Este elemento es la carga.

Los vórtices centrales también existen en espacios de dimensiones superiores. Siempre tienen codimensión dos, y la construcción anterior se generaliza cortando a lo largo de un tubo que rodea el vórtice.

En el caso de las teorías de gauge SU( N ), el centro consta de las matrices constantes:

${\displaystyle z_{n}=e^{\frac {2\pi in}{N}}I\;,}$

donde I es la matriz identidad. Estos elementos forman el subgrupo abeliano Z _N . Bajo tales elementos centrales, los quarks se transforman como

${\displaystyle \psi \to e^{\frac {2\pi in}{N}}\psi \;,}$

mientras que los gluones son invariantes. Esto significa que, si los quarks son libres (como en la fase desconfinada ), la simetría central se romperá. La restauración de la simetría central implicará confinamiento. 't  Hooft fue el primero en fundamentar esto de manera más rigurosa. ^{[ 1 ]}

Las dos fases de la teoría se pueden distinguir en función del comportamiento de los vórtices. ^{[ 2 ]} Al considerar un bucle de Wilson determinado , si los vórtices son generalmente largos, la mayoría de los vórtices solo perforarán la superficie dentro del bucle de Wilson una vez. Además, el número de vórtices que perforan esta superficie crecerá en proporción al área de la superficie. Debido a que los vórtices suprimen el valor del valor esperado del vacío del bucle de Wilson, esto conducirá a una ley de área, es decir, el bucle de Wilson W ( C ) se comporta como

${\displaystyle \langle W(C)\rangle \propto e^{-\sigma A}\;,}$

donde A es el área abarcada por el bucle. La constante σ se denomina tensión de la cuerda . Este comportamiento es típico del confinamiento. Sin embargo, al considerar un régimen donde los vórtices son generalmente cortos —es decir, forman bucles pequeños— , normalmente atravesarán la superficie del bucle de Wilson dos veces en direcciones opuestas, lo que provoca que las dos contribuciones se cancelen. Solo los bucles de vórtice cercanos al propio bucle de Wilson lo atravesarán una vez, lo que da lugar a una contribución que escala como el perímetro:

${\displaystyle \langle W(C)\rangle \propto e^{-\alpha L}\;,}$

donde L es la longitud del bucle de Wilson y α es una constante. Este comportamiento indica que no hay confinamiento.

En simulaciones de red, este comportamiento se observa efectivamente. ^{[ 2 ]} A bajas temperaturas (donde hay confinamiento), los vórtices forman grandes y complejos cúmulos que se propagan por el espacio. A temperaturas más altas (por encima de la transición de fase de desconfinamiento), los vórtices forman pequeños bucles. Además, se ha observado que la tensión de la cuerda casi cae a cero cuando se eliminan los vórtices centrales de la simulación. ^{[ 3 ]} Por otro lado, la tensión de la cuerda permanece prácticamente inalterada al eliminar todo excepto los vórtices centrales. Esto demuestra claramente la estrecha relación entre los vórtices centrales y el confinamiento. Aparte de esto, también se ha demostrado en simulaciones que los vórtices tienen una densidad finita en el límite continuo (lo que significa que no son un artefacto de la red, sino que existen en la realidad), y que también están vinculados con la ruptura de la simetría quiral y la carga topológica. ^{[ 3 ]}

Una sutileza concierne a la tensión de cuerda en el rango intermedio y en el límite de N grande . Según la descripción del vórtice central, la tensión de cuerda debería depender de la forma en que los campos de materia se transforman bajo el centro, es decir, su denominada N -alidad. Esto parece ser correcto para la tensión de cuerda a grandes distancias, pero a distancias menores la tensión de cuerda es proporcional al Casimir cuadrático de la representación , lo que se conoce como escalamiento de Casimir. Esto se ha explicado mediante la formación de dominios alrededor de los vórtices centrales. ^{[ 4 ]} En el límite de N grande , este escalamiento de Casimir se extiende hasta grandes distancias. ^{[ 5 ]}

Consideremos el grupo de gauge SO(3). Tiene un centro trivial, pero su grupo fundamental π ₁ (SO(3)) es Z ₂ . De manera similar, su recubrimiento universal es SU(2), cuyo centro también es Z ₂ . Por lo tanto, los vórtices centrales en esta teoría están cargados bajo Z ₂ y, en consecuencia, se espera que los pares de vórtices puedan aniquilarse.

Además, _{la teoría de gauge} G2 no presenta tensión de cuerda de largo alcance, lo cual es consistente con el modelo de vórtice central. En esta teoría, los gluones pueden apantallar quarks, dando lugar a estados singlete de color con el número cuántico de quarks. Sin embargo, la escala de Casimir sigue presente en rangos intermedios, es decir, antes de que se produzca la ruptura de cuerda. Esto puede explicarse mediante la formación de dominios. ^{[ 4 ]}

• Vacío QCD
• 't Hooft loop