Ondícula de Cauchy

En matemáticas, las ondículas de Cauchy son una familia de ondículas continuas, utilizadas en la transformada continua de ondículas .

Definición

La ondícula de Cauchy de orden $p$ se define como:

$\psi _{p}(t)={\frac {\Gamma (p+1)}{2\pi }}\left({\frac {j}{t+j}}\right)^{p+1}$

dónde $p>0$ y $j={\sqrt {-1}}$ Por lo tanto, su transformada de Fourier se define como

${\hat {\psi _{p}}}(\xi )=\xi ^{p}e^{-\xi }I_{[\xi \geq 0]}$ .

A veces se define como una función con su transformada de Fourier ^{[ 1 ].}

${\hat {\psi _{p}}}(\xi )=\rho (\xi )\xi ^{p}e^{-\xi }I_{[\xi \geq 0]}$

dónde $\rho (\xi )\in L^{\infty }(\mathbb {R} )$ y $\rho (\xi )=\rho (a\xi )$ para $\xi \in \mathbb {R}$ casi en todas partes y $\rho (\xi )\neq 0$ a pesar de $\xi \in \mathbb {R}$ .

Además, solía definirse como ^{[ 2 ]}

$\psi _{p}(t)=({\frac {j}{t+j}})^{p+1}$

en investigaciones previas de la ondícula de Cauchy. Si definimos la ondícula de Cauchy de esta manera, podemos observar que la transformada de Fourier de la ondícula de Cauchy

$\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi _{p}}}(\xi )\,d\xi =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi }{\Gamma (p+1)}}\xi ^{p}e^{-\xi }\,d\xi =2\pi$

Además, podemos ver que el máximo de la transformada de Fourier de la ondícula de Cauchy de orden $p$ sucedió en $\xi =p$ y la transformada de Fourier de la ondícula de Cauchy es positiva solo en $\xi >0$ , significa que: (1) cuando $p$ es bajo entonces la convolución de la ondícula de Cauchy es un filtro de paso bajo, y cuando $p$ es alta la convolución de la ondícula de Cauchy es un filtro de paso alto. Dado que la transformada de ondícula es igual a la convolución a la ondícula madre y la convolución a la ondícula madre es igual a la multiplicación entre la transformada de Fourier de la ondícula madre y la función por el teorema de convolución . Y, (2) el diseño de la transformada de ondícula de Cauchy se considera con el análisis de la señal analítica.

Dado que la señal analítica es biyectiva a la señal real y solo hay frecuencia positiva en la señal analítica (la señal real tiene frecuencia conjugada entre positiva y negativa), es decir,

${\overline {FT\{x\}(-\xi )}}=FT\{x\}(\xi )$

dónde $x(t)$ es una señal real ( $x(t)\in \mathbb {R}$ , para todos $t\in \mathbb {R}$ ) Y la biyección entre la señal analítica y la señal real es que

$x_{+}(t)=x(t)+jx_{H}(t)$

$x(t)=Re\{x_{+}(t)\}$

dónde $x_{+}(t)$ es la señal analítica correspondiente de la señal real $x(t)$ , y $x_{H}(t)$ es la transformada de Hilbert de $x(t)$ .

Unicidad de la reconstrucción

Problema de recuperación de fase

Un problema de recuperación de fase consiste en reconstruir una función compleja desconocida. $f$ a partir de un conjunto de mediciones lineales sin fase. Más precisamente, dejemos $V$ Sea un espacio vectorial , cuyos vectores son funciones complejas, en $\mathbb {C}$ y $\{L_{i}\}_{i\in I}$ un conjunto de formas lineales de $V$ a $\mathbb {C}$ . Se nos da el conjunto de todos $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}$ , por algún desconocido $f\in V$ y queremos determinar $f$ . Este problema puede estudiarse desde tres puntos de vista diferentes: ^{[ 1 ]} (1) Es $f$ determinado de forma única por $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}$ (hasta una fase global)? (2) Si la respuesta a la pregunta anterior es positiva, ¿es la aplicación inversa? $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}\implies f$ ¿Es “estable”? Por ejemplo, ¿es continuo ? ¿ Uniformemente Lipschitz ? (3) En la práctica, ¿existe un algoritmo eficiente que recupere $f$ de $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}$ ¿

El ejemplo más conocido de un problema de recuperación de fase es el caso en el que $L_{i}$ representar los coeficientes de Fourier: por ejemplo:

$L_{n}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-jnt}\,dt$ , para $n\in \mathbb {Z}$ ,

dónde $f$ es una función de valor complejo en $[-\pi ,\pi ]$ Entonces, $f$ puede reconstruirse por $L_{n}(f)$ como

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }L_{n}(f)e^{jnt}$ .

y de hecho tenemos la identidad de Parseval

$||f||^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|L_{n}(f)|^{2}$ .

dónde $||f||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(t)|^{2}\,dt$ es decir, la norma definida en $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ Por lo tanto , en este ejemplo, el conjunto de índices $I$ es el número entero $\mathbb {Z}$ , el espacio vectorial $V$ es $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ y la forma lineal $L_{n}$ es el coeficiente de Fourier . Además, el valor absoluto de los coeficientes de Fourier $\{|L_{n}(f)|\}_{n\in \mathbb {Z} }$ solo puede determinar la norma de $f$ definido en $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ .

Teorema de unicidad de la reconstrucción

En primer lugar, definimos la transformada wavelet de Cauchy como:

$W_{\psi _{p}}[x(t)](a,b)={\frac {1}{b}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi _{p}({\frac {t-a}{b}})}}\,dt$ .

Entonces, el teorema es: Teorema. ^{[ 1 ]} Para un fijo $p>0$ , si existen dos números diferentes $b_{1},b_{2}>0$ y la transformada wavelet de Cauchy definida como se indicó anteriormente. Entonces, si hay dos funciones de valor real $f,g\in L^{2}(\mathbb {R} )$ satisfecho

$|W_{\psi _{p}}[f(t)](a,b_{1})|=|W_{\psi _{p}}[g(t)](a,b_{1})|$ , $\forall a\in \mathbb {R}$ y

$|W_{\psi _{p}}[f(t)](a,b_{2})|=|W_{\psi _{p}}[g(t)](a,b_{2})|$ , $\forall a\in \mathbb {R}$ ,

entonces hay un $\alpha \in \mathbb {R}$ de tal manera que $f_{+}(t)=e^{j\alpha }g_{+}(t)$ . $f_{+}(t)=e^{j\alpha }g_{+}(t)$ implica que

$Re\{f_{+}(t)\}=Re\{e^{j\alpha }g_{+}(t)\}\implies f(t)=\cos {\alpha }g(t)-\sin {\alpha }g_{H}(t)$ y

$Im\{f_{+}(t)\}=Im\{e^{j\alpha }g_{+}(t)\}\implies f_{H}(t)=\sin {\alpha }g(t)+\cos {\alpha }g_{H}(t)$ .

Por lo tanto, obtenemos la relación

$f(t)=(\cos {\alpha }-\sin {\alpha }\tan {\alpha })g(t)-\tan {\alpha }f_{H}(t)$

y $f(t),g_{H}(t)\in span\{f_{H}(t),g(t)\}=span\{f(t),f_{H}(t)\}=span\{g(t),g_{H}(t)\}$ . Volviendo al problema de recuperación de fase, en el caso de la transformada wavelet de Cauchy, el conjunto de índices $I$ es $\mathbb {R} \times \{b_{1},b_{2}\}$ con $b_{1}\neq b_{2}$ y $b_{1},b_{2}>0$ , el espacio vectorial $V$ es $L^{2}(\mathbb {R} )$ y la forma lineal $L_{(a,b)}$ se define como $L_{(a,b)}(f)=W_{\psi _{p}}[f(t)](a,b)$ . Por eso, $\{|L_{(a,b)}(f)|\}_{a,b\in \mathbb {R} \times \{b_{1},b_{2}\}}$ determina el subespacio bidimensional $span\{f,f_{H}\}$ en $L^{2}(\mathbb {R} )$ .

Referencias

1 2 3 Mallat, Stéphane; Waldspurger, Irène (2015). "Recuperación de fase para la transformada wavelet de Cauchy" . Journal of Fourier Analysis and Applications . 21 (6): 1251– 1309. arXiv : 1404.1183 . Bibcode : 2015JFAA...21.1251M . doi : 10.1007/s00041-015-9403-4 .
↑ Argoul, Pierre; Le, Thien-phu (2003). "Indicadores instantáneos del comportamiento estructural basados en el análisis continuo de ondículas de Cauchy" . Mechanical Systems and Signal Processing . 17 (1): 243– 250. Bibcode : 2003MSSP...17..243A . doi : 10.1006/mssp.2002.1557 .

[joci-Phase-retrieval-for-the-Cauchy-wavelet-transform-1] 1 2 3 Mallat, Stéphane; Waldspurger, Irène (2015). "Recuperación de fase para la transformada wavelet de Cauchy" . Journal of Fourier Analysis and Applications . 21 (6): 1251– 1309. arXiv : 1404.1183 . Bibcode : 2015JFAA...21.1251M . doi : 10.1007/s00041-015-9403-4 .

[joci-INSTANTANEOUS-INDICATORS-OF-STRUCTURAL-BEHAVIOUR-BASED-ON-THE-CONTINUOUS-CAUCHY-WAVELET-ANALYSIS-2] Argoul, Pierre; Le, Thien-phu (2003). "Indicadores instantáneos del comportamiento estructural basados en el análisis continuo de ondículas de Cauchy" . Mechanical Systems and Signal Processing . 17 (1): 243– 250. Bibcode : 2003MSSP...17..243A . doi : 10.1006/mssp.2002.1557 .

[ 1 ].

[ 2 ]