Teorema de Carlson

En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Carlson es un teorema de unicidad descubierto por Fritz David Carlson . De manera informal, establece que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápido en el infinito no pueden coincidir en los enteros . El teorema se puede obtener a partir del teorema de Phragmén-Lindelöf , que a su vez es una extensión del teorema del módulo máximo .

El teorema de Carlson se suele invocar para defender la unicidad de un desarrollo en serie de Newton . El teorema de Carlson tiene análogos generalizados para otros desarrollos.

Declaración

Supongamos que $f$ satisface las siguientes tres condiciones. Las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de $f$ en el infinito, mientras que la tercera establece que $f$ se anula en los enteros no negativos.

$f (z)$ es una función entera de tipo exponencial , lo que significa que $|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C}$ para algunos valores reales $C$ , $τ$ .
Existe $c < π$ tal que $|f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R}$
$f (n) = 0$ para todo entero no negativo $n$ .

Entonces $f$ es idénticamente cero.

Nitidez

Primera condición

La primera condición puede relajarse: basta con suponer que $f$ es analítica en $Re z > 0$ , continua en $Re z \geq 0$ , y satisface $|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \operatorname {Re} z>0$ para algunos valores reales $C$ , $τ$ .

Segunda condición

Para comprobar que la segunda condición es precisa, consideremos la función $f (z) = sin(π z)$ . Se anula en los números enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de $c = π$ , y de hecho no es idénticamente cero.

Tercera condición

Un resultado debido a Rubel (1956) relaja la condición de que $f$ se anule en los enteros. Es decir, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si $f$ se anula en un subconjunto $A \subset {0, 1, 2, ...}$ de densidad superior 1, lo que significa que

\limsup _ {n\to \infty }

{\frac {\left|A\cap \{0,1,\ldots ,n-1\}\right|}{n}}=1.

Esta condición es estricta, lo que significa que el teorema falla para conjuntos $A$ de densidad superior menor que 1.

Aplicaciones

Supongamos que $f (z)$ es una función que posee todas las diferencias finitas hacia adelante. $\Delta ^{n}f(0)$ Consideremos entonces la serie de Newton . $g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\,\Delta ^{n}f(0)$ dónde ${\textstyle {z \choose n}}$ es el coeficiente binomial y $\Delta ^{n}f(0)$ es la $n$ -ésima diferencia hacia adelante. Por construcción, se tiene que $f (k) = g (k)$ para todo entero no negativo $k$ , de modo que la diferencia $h (k) = f (k) - g (k) = 0$ . Esta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si $h$ cumple las demás, entonces $h$ es idénticamente cero, y las diferencias finitas para $f$ determinan de forma única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para $f$ , y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces $f$ es única.

Véase también

Referencias

F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor , (1914) Disertación, Uppsala, Suecia, 1914.
Riesz, M. (1920). "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 20 : 205-107 ., cor 21 (1921) pág. 6.
Hardy, GH (1920). "Sobre dos teoremas de F. Carlson y S. Wigert" . Acta Mathematica . 42 : 327–339 . doi : 10.1007/bf02404414 .
EC Titchmarsh , Teoría de las funciones (2.ª ed.) (1939) Oxford University Press (Véase la sección 5.81)
RP Boas, Jr. , Funciones completas , (1954) Academic Press, Nueva York.
DeMar, R. (1962). "Existencia de funciones interpolantes de tipo exponencial" . Trans. Amer. Math. Soc . 105 (3): 359– 371. doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6 .
DeMar, R. (1963). "Diferencias centrales que desaparecen" . Proc. Amer. Math. Soc . 14 : 64–67 . doi : 10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2 .
Rubel, LA (1956), "Condiciones necesarias y suficientes para el teorema de Carlson sobre funciones enteras", Trans. Amer. Math. Soc. , 83 (2): 417– 429, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8 , JSTOR 1992882 , MR 0081944 , PMC 528143 , PMID 16578453